正难则反让数学解题柳暗花明.docx

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1、正难则反让数学解题柳暗花明“正难则反”让数学解题“柳暗花明” 浙江省绍兴县实验中学 章国金 解题一般总是从正面入手，习惯正向思维；但有些数学问题如果从正面入手，求解繁琐、难度较大，不妨打破思维常规，实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能柳暗花明，开拓解题思路、简化运算过程。本文就数学解题中，对运用“正难则反”策略解题的几种具体方法作简单阐述。 一、反证 反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。 例1. 设a

2、，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式abcd，中至少有一个不正确。 证明：假设不等式、都成立，因为a，b，c，d都是正数，所以由不等式、得，。 由不等式得，因为，所以综合不等式，得，即 由不等式，得，即，而由a，b，c，d均为正数可知前者不可能小于后者，所以假设错误。 不等式、中至少有一个不正确。 说明：本例因为从假设反向得到的结论与从已知条件正面直接得到的结论不符，从而推翻假设，说明原命题成立。 例2已知证明：由知0，假设，则求证：，又因为。，所以，即矛盾。 假设不成立，从而同理，可证，从而，与已知。 说明：本题由假设而得的结论直接与题目已知条件相矛盾，从而反之说明假设错误。 例3.

3、若证明：假设因为故又，即，即。 ，不成立。 ，则所以，求证：，即 。 。 故假设不成以立，即说明：本题因为得到了与我们的认知规律或已有公式、定律相矛盾的结论，从而可知假设不成立。 二、反例 反证法是通过系统的理论去否定结论的反面，而反例则是反证法的特殊化和事例化，它不需要太多的理论支持，只需一个强有力的事例否定。反例法更多用来说明一个命题的真假性。 例4 “若2x+y=0，判断x=y=0”的真假。 分析：要说明此例题是假例题，直接举反例否定显然比正面理论说明更直接有效。可取x=1,y=2,则2x+y=2(-1)+2=0，但x0,且y0，命题是假命题。 例5 判断命题“不相交的两条直线叫做平行线

4、”的真假。 反例：教室前墙与地面平行的直线和教室后墙与地面垂直的直线，这两条直线不相交但也不平行，说明命题不真。 分析：学生常常对“不相交”这点印象深刻，而容易忽略“在同一平面内”的条件。因此，与其从定义上正面去说明命题为假，还不如针对“同一平面内”这个条件直接引导学生找出在空间中虽然不相交，但并不平行的实例，去加深对这个定义的理解和记忆。 三、补集 若将题目需要解决的答案看作一个集合，有时从正面无法入手时， 我们还可以反过来求它的补集，补集得求，原题也就自然得解。 例6 如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积 本题思路：根据题目条件，正方形面积可求，空白部分面积易求，用正方形面积减空白部分

5、面积可得解。 说明：此题所求阴影部分为不规则图形，若从正面入手，无法求解，若从反面入手，将整个正方形看成一个全集，则空白部分为所求阴影部分的补集，显然，易得空白部分面积为正方形面积的一半。 APQCBD例7 求代数式11111+10的值 248162解题思路：利用数形结合思想，如右图，将边长为1的正方形纸板 上，依次贴上面积为11111，10的小长方形纸片，则正方形被24816211111+10的值。又易求正方形中未覆盖248162覆盖部分面积即为代数式部分面积为1111111023，所以被覆盖部分面积为1-=即+101024816102422+11023。 10=21024说明：本题利用数形

6、结合思想，将正方形看成一个全集，则正方形中未被覆盖部分可看成被覆盖部分面积的补集，248162显然，易得未覆盖部分的面积。 四、逆推 当我们无法从问题提供的条件将思路延伸到结论时，若再纠缠着想从正面步步推进，往往会让我们不得其门而入。此时，需要我们将思路反过来，从结论出发进行逆推，步步倒回并最终回到起点，站在起点我们总会恍然大悟，原来如此，其实这也就是我们数学解题当中常用的分析法。 例8 如图，AB是圆O的直径，PC是圆O的切线，C是切点，作PEAB,交AC于F,交AB于点E,交圆O于点G。 求证:PFC=PCF 分析：不能够直接证明PFC=PCF，因此需分别找出与它们相关的桥梁，把已知条件与

7、结论联系起来。 因为PC是圆O的切线，PCF是弦切角，可以考虑作铺助线BC。 倒推如下： 假设PFC=PCF, PFC=AFE ，由于PC是圆O的切线，AB是直径，所以PCF=ABC,ACB=900 AFE+A=900 PEAB 这样，将上例过程逆推就可以得到本题的证明 证明： PEAB 0 AFE+A=90 PFC=AFE PFC+A=900 PC是圆O的切线 PCF=ABC 又AB是圆O的直径 ACB=900 ABC+A=900 PCF+A=900,由PFC+A=900 PFC=PCF 说明：本题的逆向思维是结合一些已知条件的推理，最后推理出另一已知条件，在考虑各步的可逆性时要灵活变动援用

8、过的已知条件，使各步均可逆推。 例9 因式分解a5a41 分析：此题若从正面下手，会给人毫无头绪之感，若先用待定系数法倒回去做整式乘法，则问题可解。，对称轴为x1给出四个结论：b4ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是 解：由图可知，图象与x轴必有两个交点，所以b2-4ac0,故成立，又由对称轴为x=-1可得b-2a=0，故错误，由此可排除答案A、C。又因为当x=-1时y0，故错误，可排除D。综上所述，答案应为B。 说明：本题对学生来讲较难判断的是结论，而通过排除却可以回避对的判断但仍然能在较短时间内得到正确选项。 “正难则反”策略解题是数学解题中很重要的方法，是一种迂回策略，它要求我们在解题时必须解放思维、拓宽思路、灵活应对。本文旨在抛砖引玉，期待着大家共同关注、思考。