概率论大作业.docx

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1、概率论大作业概率论大作业 数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk,k=1,2,. 若级数 xk=1kpk 绝对收敛，则称级数xk=1kpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即 E(X)=xkpkk=1设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 -xf(x)dx 绝对收敛，则称-xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 E(X)=xf(x)dx. -问题：请解释定义数学期望为何需要绝对收敛。 答：由定义可以看出，当离散型随机变量X的分布律PX=xk=pk,k=1,2,.一旦确定，而且它的期望存在的话，xk=1kpk就是一个固定值，该值不因式子中

2、各项积的顺序更改而改变。故定义数学期望时要求级数 xk=1kpk绝对收敛而不是收敛。 附一：绝对收敛和条件收敛定义： 如果级数un=1n各项的绝对值所构成的正项级数un=1n收敛，则称级数un=1n绝对收敛；如果级数un=1n收敛，而级数un=1n发散，则称级数un=1n条件收敛. 附二：绝对收敛性质一： 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和. 证明过程如下： 先证定理对于收敛的正项级数是正确的. 设级数 u1+u2+un+ 为收敛的正项级数，其部分和为sn，和为s.并设级数 *u1+u2+un+ *为改变项的位置后构成的级数，其部分和为sn. *对于任何n，当它

3、固定后，取m足够大，使u1，u2，un各项都出现在sm=u1+u2+um中，于是得 *snsms， *所以，单调增加的数列sn不超过定数s，根据单调有界数列必有极限的准则，可知limsn*n*n存在，即级数*limsn=s*s， nun=1收敛，且 另一方面。如果把原来级数un=1n看成是级数un=1*n改变项的位置以后所成的级数，则应用刚才证得的结论，又有 ss*. 要使得上面两个不等式同时成立，必定有 s*=s. 再证定理对于一般的绝对收敛级数是正确的. 设级数un=1n收敛.已知 un=2vn-un， 而vn=1n是收敛的正项级数.故有 u=(2vnn=1n=1n-un)=2vn-un. n=1n=1若级数un=1n，改变项的位置后的级数为un=1*n，则相应的vn=1n改变为v，u*nn=1n=1n改变为un=1*n，由结论可知 v=vnn=1n=1*n，u=unn=1n=1*n*n. 所以 u=2v-u*n*nn=1n=1n=1=2vn-un=un. n=1n=1n=1证毕.附三： 对于条件收敛的级数，如果更改级数各项位置所得到的新级数的和可能会发生变化。 证明略。 附四：连续型随机变量同理 综上所述，在数学期望定义中要求绝对收敛，就是因为随机变量中的数学期望是一个确定的数值，不会因为改变级数各项顺序而发生变化，绝对收敛有这样的性质，而条件收敛则无法保证这一性质成立。