概率论与数理统计课后答案 北邮 .docx

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1、概率论与数理统计课后答案 北邮 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1g= 322280 1 8110 21C3g=3/8 22211110 = 22282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3gC23 =4C7352C3gC1C1122g2 =4C73522C3

2、gC23 =4C7353 0 C3C123g2 =4C735C3C123g2 =4C7350 1 0 C1C1C263g2g2 =4C7351 352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22g2/C7=C1C2C163g2g2 =4C7353.设二维随机变量的联合分布函数为 sinxsiny,0x,0yF=22 其他.0,求二维随机变量在长方形域0x如图P0X,y内的概率. 463,0,y0,0,其他. 求： 常数A； 随机变量的分布函数； P0X1，0Y0,x0,0,0,其他(3) P0X1,0Y2 =P0X1,0Y2=120012e-(3x+4y)dxdy=(1-e-3)(1-e-8)0.

3、9499.5.设随机变量的概率密度为 f=k(6-x-y),0x2,2y4,0,其他. 确定常数k； 求PX1，Y3； 求PX1.5； 求PX+Y4. 由性质有 2 -+-f(x,y)dxdy=2042k(6-x-y)dydx=8k=1, 故 R=1 8 PX1,Y3= =(3) PX1.5=1313-f(x,y)dydx x0,fY= 其他.0,求： X与Y的联合分布密度； PYX. 题6图 因X在上服从均匀分布，所以X的密度函数为 1,0x0,fY(y)= 其他.0,所以 f(x,y)XY,独立fXx(gf)Yy( )1-5y =5e25e-5y,0x0,0.2= 0,0,其他.(2) P

4、(YX)=f(x,y)dxdy如图yx25e-5ydxdy D0.2x-5y=0dx25edy=0.2(-5e-5x00+5)dx=e-10.3679.7.设二维随机变量的联合分布函数为 F=(1-e-4x)(1-e-2y),x0,y0,0,其他.求的联合分布密度. f(x,y)=2F(x,y)xy=8e-(4x+2y),x0,y0, 0,其他.8.设二维随机变量的概率密度为 f=4.8y(2-x),0x1,0yx,0,其他.求边缘概率密度. fX(x)=+-f(x,y)dy =x(2-x)dy=2.4204.8yx(2-x),0x1, 0,0,其他. fY(y)=+-f(x,y)d x1 =

5、y4.8y(2-x)dx=2.4y(3-4y+y2),0y1,0,0,其他. 4 题8图 题9图 9.设二维随机变量的概率密度为 =e-yf,0x0, 0,0,其他.fY(y)=+-f(x,y)dx y-y-x =0edx=ye,y0, 0,0,其他. 题10图 10.设二维随机变量的概率密度为 f=cx2y,x2y1,0,其他. 试确定常数c； 求边缘概率密度. +-f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdy D =1-1dx124x2cxydy=21c=1. 得c=214. (2) fX(x)=+-f(x,y)dy 5 =121x2x2ydy=21x2(1-x4),-1x1, 40,80

6、,其他.fY(y)=+-f(x,y)dx =y21x2ydx75-y=y2,0y1, 40,20, 其他.11.设随机变量的概率密度为 f=1,yx,0x1,0,其他. 求条件概率密度fYX，fXY. 题11图 fX(x)=+-f(x,y)dy x =-x1dy=2x,0x1,0,其他.1-y1dx=1+y,-1y0,ff(x,y)dx=Y(y)=+-1y1dx=1-y,0y1,0,其他.所以 ff(x,y)1,|y|x1,Y|X(y|x)=f=2x X(x)0,其他. 6 11-y, yx1,f(x,y)1 fX|Y(x|y)=,-yx0, 其他.求X和Y的联合概率密度； 设含有a的二次方程

7、为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率. y1-21,0x1, 因fX(x)= fY(y)=2 0,其他;0,其他.1-y/2e故f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)=20,0x0,其他. 题14图 (2) 方程a+2Xa+Y=0有实根的条件是 2D=(2X)2-4Y0 故 X2Y， 从而方程有实根的概率为： PX2Y=x2yf(x,y)dxdy 1-y/2edy002 =1-2pF(1)-F(0) =0.1445.=dx1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 1000,x1000,f=x2 其他.0, 8 求Z=X/Y

8、的概率密度. 如图,Z的分布函数FXZ(z)=PZz=PYz (1) 当z0时，FZ(z)=0 当0z1时，(如图a) F106Z(z)=x2y2dxdy=+yz106103dyz103x2y2dx yxz =+103106z1032-3zyzydy=2 题15图 (3) 当z1时， FZ(z)=106+zy106yxx2y2dxdy=103dy103x2y2dx z =+1031061103y2-zy3dy=1-2z 1-12z,z1,即 fzZ(z)=,0z1, 2其他0,.12z2,z1,故 f1Z(z)=,0z1, 2其他0,.16.设某种型号的电子管的寿命近似地服从N分布.随机地选取

9、4 求其中没有一只寿命小于180h的概率. 只，9 设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则XiN， 从而 Pmin(X1,X2,X3,X4)180Xi之间独立PX1180gPX2180 PX3180gPX4180 =1-PXg-1PX118021g80-P1Xg1-8P0X1 344180180-160=1-PX11804=1-F 20=1-F(1)4=(0.158)4=0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 PX=k=p，k=0，1，2， PY=r=q，r=0，1，2，. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 PZ=i=p(k)q(i-k)，i=0，1，2，.

10、k=0i因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以 Z=i=X+Y=i =X=0,Y=iUX=1,Y=i-1ULUX=i,Y=0 于是 PZ=i=PX=k,Y=i-kX,Y相互独立PX=kgPY=i-k k=0ik=0ii =p(k)q(i-k) k=018.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布. 方法一：X+Y可能取值为0，1，2，2n. PX+Y=k=PX=i,Y=k-i i=0k 10 =P(X=i)gPY=k-ii=0kknnk-in-k+i=piqn-ipqi=0ik-iknnk2n-k=pqik-ii=02nk2n-

11、k=pqk方法二：设1,2,n;1,2,，n均服从两点分布，则 X=1+2+n，Y=1+2+n, X+Y=1+2+n+1+2+n, 所以，X+Y服从参数为的分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0； 求V=max的分布律； 求U=min的分布律； 求W=X+Y的分布律. PX=2|Y=2=PX=2,Y=2P

12、Y=2PX=2,Y=2=0.051=, 0.252 =PX=i,Y=2i=05PY=3|X=0=PY=3,X=0PX=0PX=0,Y=3=0.011=; 0.033 =PX=0,Y=jj=03PV=i=Pmax(X,Y)=iPX=i,Yi,Y=i=PX=i,Y=k+k=i3k=i+15PX=k,Y=i i=0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P W=X+Y 0 P 0 0 0.28 (4)类似上述过程，有 1 0.02 2 0.06 3 0.13 4 0.19 5 0.24 6 0.19 7 0.12 8 0.05 1 0.30 2 0.25 3 0.17 20.雷达的圆形屏幕半径为R

13、，设目标出现点在屏幕上服从均匀分布. 求PY0YX； 设M=maxX，Y，求PM0. 题20图 因的联合概率密度为 12222,x+yR, f(x,y)=R其他.0,PY0|YX=PY0,YXPYX =y0yxf(x,y)dsf(x,y)dsyx1/40R2rdr =5 R14/4dq0R2rdrdqR 12 =3/83=; 1/24(2) PM0=Pmax(X,Y)0=1-Pmax(X,Y)0 =1-PX0,Y0=1-x0y0f(x,y)ds=1-13=. 4421.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度在

14、x=2处的值为多少？ 题21图 区域D的面积为 S0=e211dx=lnxxe21=2.的联合密度函数为 112,1xe,00)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；二维随机变量的概率分布. mn-m(1) PY=m|X=n=Cm,0mn,n=0,1,2,L. np(1-p)(2) PX=n,Y=m=PX=ngPY=m|X=n 14 =Cp(1-p)mnmn-me-lngl,nmn,n=0,1,2,L. n!24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X21，而Y的概率密度为f(y)，

15、0.30.7求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 设F是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u)=PX+Yu=0.3PX+Yu|X=1+0.7PX+Yu|X=2 =0.3PYu-1|X=1+0.7PYu-2|X=2 由于X和Y独立，可见 G(u)=0.3PYu-1+0.7PYu-2 =0.3F(u-1)+0.7F(u-2). 由此，得U的概率密度为 g(u)=G(u)=0.3F(u-1)+0.7F(u-2) =0.3f(u-1)+0.7f(u-2). 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1. 解：因为随即变量服从0，3上

16、的均匀分布，于是有 11, 0x3, 0y3, f(y)=3 f(x)=30, x3;0, y3.因为X，Y相互独立，所以 1, 0x3,0y3, f(x,y)=90, x0,y3,y3. 推得 PmaxX,Y1=26. 设二维随机变量的概率分布为 Y X -1 0 1 -1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 1. 9其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求： 15 a,b,c的值； Z的概率分布； PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)=-

17、0.2，可得 -a+c=-0.1. 再由 PY0X0=PX0,Y0a+b+0.1=0.5, PX0a+b+0.5得 a+b=0.3. 解以上关于a，b，c的三个方程得 a=0.2,b=0.1,c=0.1. (2) Z的可能取值为-2，-1，0，1，2， PZ=-2=PX=-1,Y=-1=0.2， PZ=-1=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=-1=0.1， PZ=0=PX=-1,Y=1+PX=0,Y=0+PX=1,Y=-1=0.3， PZ=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=0.3， PZ=2=PX=1,Y=1=0.1， 即Z的概率分布为 Z P -2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0

18、.3 0.3 0.1 (3) PX=Z=PY=0=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4. 27. 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),求Z=maxX,Y的分布函数. 解：因为X,Y独立同分布，所以FX=FY(z),则FZ=PZz=PXz，Yz=PxzPYz=F2. 28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为 1PX=i=,3i=-1,0,1, 1,Y的概率密度为fY(y)=0,0y1,其他.记Z=X+Y. 16 求PZ1|X=0; 2求Z的概率密度fZ(z) 分析 题可用条件概率的公式求解.题可先求Z的分布函数，再求导得密度函数. 1PX=0,Z12 PZ|

19、X=0=解(1) 2PX=01PX=0,Y2 =PX=011=PY= 22FZ(z)=PZz=PX+Yz zX=-1+PX+Y,zX=0+PX+Y,z X= =PX+Y,1+PYz,X=0+PYz-1,X =PYz+1,X=- =+PY =PYz+1PX=-1+PYzPX=0131z)+F(z- 1) =FY(z+1)+FY(Y31=Yf(+z1+)Yf(z+)Yf-(z 1) fZ(z)=FZ(z)3 =PYz+1+PYz+PYz- 1z-1P= X1, =30,-1z2Y; 0x1,0y2Y=x2y10f(x,y)dxdy x20=dx(2-x-y)dy57=(x-x2)dx=.08241fZ(z)=+-f(x,z-x)dx, 其中 f(x,z-x)=2-x-(z-x)02-z00x1,0z-x1其他 =0x1,0z-x1其他当z0或z2时，fZ(z)=0； 当0z1时，fZ(z)=当1z2时，fZ(z)=z01(2-z)dx=z(2-z); (2-z)dx=(2-z)2, z-1z(2-z)0z121z2 即Z的概率密度为fZ(z)=(2-z)0其他 18