曹广福实变函数第一章习题解答.docx

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1、曹广福实变函数第一章习题解答第一章习题参考解答 第一章习题参考解答 3等式(A-B)C=A-(B-C)成立的的充要条件是什么？ 解： 若(A-B)C=A-(B-C)，则 C(A-B)C=A-(B-C)A. 即，CA. 反过来, 假设CA, 因为B-CB. 所以, A-BA-(B-C). 故, (A-B)CA-(B-C). 最后证，A-(B-C)(A-B)C 事实上，xA-(B-C), 则xA且xB-C。若xC，则x(A-B)C；若xC，则xB，故xA-B(A-B)C. 从而, A-(B-C)(A-B)C. C(A-B)C=A-(B-C)A-=A. 即 CA. 反过来，若CA，则 因为B-CB所

2、以A-BA-(B-C) 又因为CA，所以CA-(B-C)故 (A-B)CA-(B-C) xA-(B-C)xA且xB-C，另一方面，如果xC则 x(A-B)UC；如果xC,因为xB-C，所以xB故xA-B. 则 x(A-B)C. 从而A-(B-C)(A-B)C 于是，(A-B)C=A-(B-C) 4对于集合A，定义A的特征函数为cA(x)=一集列 ，证明： climinfA(x)=liminfcAn(x) n1,xA， 假设A1,A2,L,AnL是0,xAnnclimsupA(x)=limsupcAn(x) nnn证明：xliminfAn=(An)，$n0N，mn0时，xAm. nnNmn所以c

3、Am(x)=1，所以infcAm(x)=1故liminfcAn(x)=supinfcAm(x)=1 mn0nbNmn1 第一章习题参考解答 xliminfAnnN，有xAn$knn nmnupnif有xAkmcAk=0infcAm(x)=0，故snmnbNmnficA(x)=0 ，cA(x)=0 ，即limnmnn从而climinfA(x)=liminfcAn(x) nnn5设An为集列，B1=A1，Bi=Ai-Aj(i1) 证明 j=1i-1Bn互相正交 nN,UAi=UBi i=1i=1nn证明：n,mN,nm；不妨设nm，因为Bn=An-UAiAn-Am，又因i=1n-1为BmAm，所以

4、BnAn-AmAn-Bm，故 BnIBm=，从而 Bnn=1相互正交. 因为i(1in)，有BiAi，所以BiAi，现在来证：AiBi i=1i=1i=1i=1nnnn当n=1时，A1=B1； 当n1时，有：UAi=UBi i=1i=1nn则UAi=(UAi)UAn+1=(UAi)U(An+1-UAi)=(UBi)U(Bn+1-UBi) i=1i=1i=1i=1i=1i=1n+1nn+1nnn事实上，xAi，则$i(1in)使得xAi，令i0=mini|xAi且1ini=1i0-1i=1ni0-1i=1nnn 则 xAi0-UAi=Bi0UBi，其中，当i0=1时，UAi=，从而， UAi=U

5、Bi i=1i=1i=16设f(x)是定义于E上的实函数，a为常数，证明： Ex|f(x)a=Uf(x)a+ 1n=1n1(ii)Ex|f(x)a=If(x)a- n=1n证明：xEx|f(x)axE且f(x)a 11a且xExEx|f(x)a+ nn11xUEx|f(x)a+Ex|f(x)aUEx|f(x)a+ n=1n=1nn11反过来，xUExx|f(x)a+,$nN，使xEx|f(x)a+ n=1nn$nN,使得f(x)a+2 第一章习题参考解答 1a且xE 故xEx|f(x)a n1所以 Ex|f(x)a+Ex|f(x)a 故 n=1n即f(x)a+1Ex|f(x)aUEx|f(x)

6、a+n=1n 7设fn(x)是E上的实函数列，具有极限f(x)，证明对任意常数a都有： 11Ex|f(x)a=IliminfEx|fn(x)a+=IliminfEx|fn(x)a=Efn(x)a n=1证明： xEf(x)a，即：xE且f(x)a，因为limfn(x)=f(x) n所以$n0N,nn0，恒有：fn(x)a且xE，从而，xEfn0(x)a UEfn(x)a n=13 第一章习题参考解答 反过来，xUEfn(x)a,$n0N，使xEfn0(x)a，故nn0，因此， n=1limfn(x)=f(x)fn0(x)a且xE,即，xEf(x)a， n从而，Ef(x)a=UEfn(x)a n

7、=110证明：R中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 设Q为有理数集，由定理6：Q是不可数的。 现在证：QQQ=(x,y,z)|x,y,z都是有理数可数xQ，因为QQ 3=U(xQ)是可数个有理数集的并，故可数， xQxQQQQ，所以又因为QQQ=U(xQQ)并且xQ，xQxQQ可数 故QQQ可数 14证明：可数集的有限子集的全体仍是可数 证明： 设Q为可数集，不妨记为：Q=r1,r2,r3,L,rn,L nN,令An=a|ar1,r2,r3,L,rn则 An为有限集，则 A=UAn为正交可数集，即AnC0 nN又因为Qx|xQA，所以C0=QA ，故A=C0 A是Q上一切有限子集的全体。

8、15设是两两不相交的集所组成的集列，证明： limEn=limEn= nn证明： 因为E1,E2,L两两不相交，所以，nN,UEm=，故 m=nlimEn=U(IEm)=U= nn=1m=nn=1另一方面，若limEn=I(UEm)，我们取x0limEn nn=1m=nn则kN,$nkk，使得xEnk.特别的，当 k=1N时，$n11,有xEn，当k=n1+1时：$n2N,n2k=n1+1n1，有xE2IEn是f(x)在a,b)上连续点的集合 n=1事实上，x0En,e0，取nn=11(即0,x,x(x0-d,x0+d)a,b)有|f(x)-f(x0)|0使得 xx+0x(x,x+dx)a,b

9、) ，|f(x)-f(x+0)|f(x)-f(x)|1，故，x,x(x,x+dx),有2n1，从而，(x,x+dx)En.现在证：A=(x,x+dx)|xS-En n是两两不相交的开区间集 x1,x2S-En，x1x2,不妨设 x1x2，如果 (x1,x1+dx1)I(x2,x2+dx2)，取x*(x1,x1+dx1)I(x2,x2+dx2) 则 x1x2x0，有O(x,dx)IE=x 现在先证：O(x,dx2)|xF是两两不相交的 7 第一章习题参考解答 事实上，x1,x2F,x1x2，如果$yO(x1,dx12)O(x2,dx22)，则 r(x1,x2)r(x1,y)+r(y,x2)0，O

10、(F,d)=xR|r(x,F)d是R中的开集，其中r(x,F)=infr(x,y)|yF xO(F,d)，则r(x,F)d，取e=d-r(x,F)d，故O(F,d)O(F,d) 事实上，tO(x,e)，所以O(F,d)是开集 现在证：F=IO(F,)、 n=111事实上，nN，FO(F,)，所以FIO(F,). n=1nn11反过来，xIO(F,)，有r(x,F)0，使O(x,d)R-F.所以O(x,d)IF=.故，r(x,F)d，这与r(x,F)=0矛盾.所以xF，从而F=IO(F,). n=11n再来证：每个开集必是可数个闭集的并. 事实上，若G是开集，则R-G是闭集.所以存在可数个开集O

11、nnN，使得 R-G=On，所以G=R-IOn=U(R-Qn).即G是可数个闭区间集 n=1n=1(R-Qn)n=1的并. 23.假设Iii=1是一列开区间，如果i=1IIi，证明UIi是一个开区间 i=18 第一章习题参考解答 证明：iN，记a=infai|iN，b=supbi|iN ，其中Ii=(ai,bi)，因为IIi，所以可取x0IIiIi(a,b) n=1n=1现在我们证：(a,b)=UIi i=1因为iN，Ii=(ai,bi)(a,b)，故UIi(a,b) i=1反过来，x(a,b)，即axb，当xx0时，因为ax，所以$i1N，有xai1axx0bi1b.所以xIi=(ai11,

12、bi1)UIi. 如果x0xb， i=1$i2N，使xi2x0xbi2，故x(ai11,bi1)=Ii2UIi，从而 i=1(a,b)=UIi i=124.设ER，Bl|lA是E的一个开覆盖，证明：Bl|lA中必存在至多可数个Bli|iN，使得EUBl. iNi证明：不妨设Bl|lA中每一个元都是开区间.xE，存在lxA，有xBlx，故有：$R端点的开区间dx=(rx,R)，使得xdxBlx.即，EUdxi. xE又因为dx=(rx,Rx)|xE(rx,Rx)|xEQQ 所以dx|xE可数.不妨设dx|xE=dx|nN，又记Bln|xE= Bln|nN.其中，dnBln(nN 故EUdx=Ud

13、nUBln xEnNnN1111-e1+e,2,Ln,L，,)，开区间列(1-e,1+e)，( 222221-e1+e1L,(n,n),L，覆盖了它，这里0e，从此覆盖中能否选出集E的有限子22225.已知：可数集E=1,答：不能，证明如下： 证明：如果$n1,n2,Lnk，kN，使得EU(i=1k覆盖. 1-e1+e,n)，不妨2n2设 111-e1-e1 n1n2Ln2=n+1，则2nk+12i2k2k2k1-9 第一章习题参考解答 1-e1+e1U(nk,nk).这与nk+1E矛盾.所以不真. i=1222k26.设Fl|lA是一簇集合，如果l1,l2,L,lnA，有IFli，则称集i=

14、1n合簇Fl|lA具有有限交性质. 证明：如果Fl|lA是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么IFl. lA证明：取l0A，令G=xRn|r(x,Fl0)0，使得 xEn则EUO(x,dx).由Borel有限覆盖定理，O(x,dx)IE=x，$x1,x2,L,xnE，有EUO(xi,dxi)，从而E=EIUO(xi,dxi)=UEIO(xi,dxi)=Uxi= i=1i=1i=1i=1mmmmx1,x2,L,xn，这与E为无穷集矛盾，从而E. 29.可数个开集的交称为Gd型集，可数个闭集的并称为Fs型集.证明：有理数集不是Gd型集，但是Fs型集. 证明：设Q为R中全体有理数所构成的集合.如果Q

15、是Gd型集，即Q=IGn， n=1其中Gn是开集，由开集的结构，nN，Gn=U(ank,bnk)，其中(ank,bnk)k是k互不相交的开区间. 不是一般性，设an1bn1an1bn1Lankbn1L这是，必有 an1=- 10 第一章习题参考解答 故 事实上，如果an1-，即$r为有理数，ran1.因为kN，ran1ank，rU(ank,bnk)=GnIGn=Q，这与rQ矛盾. kn=1(2)kN,*bn,k=an,k+1 如果$kN，bn,k*an,k*+1.则bn,k*an,k*+1.因此，$rQ，有 *bn,kran,k+1.这有：rU(an,bn)=GnQ这是一矛盾. kkk(3)

16、bn=supbn,k=+. k事实上，若bn+，则bn为有限实数，$rQ，使得k，bn,kbnr，故rU(ank,bnk)=GnQ，这也是一矛盾. kR-Gn=R-U(an,k,bn,k)=Uan,k=Uan,k|k kkkR-Q=R-IGn=UR-Gn=Uan,k|k=an,k|nN,k为可数集，n=1n=1n=1这与R-Q=C矛盾. 因为在R中单点集是闭集，所以rQ，令Fr=r，则F为闭集，所以 rQQ=UFr，故Q为Fs型集. 30定义在0,1上的任何函数的连续点构成的集合是一个Gd型集. 29.证明：开区间(0,1)中有理点的全体不是一个Gd型集，但是一个Gd型集. 30.是否存在0,

17、1上的的函数满足：在有理点处连续，而在无理点处都不连续？是证明你的结论. 回答：不存在.为此，只需证明如下命题 命题：开区间(0,1)中的任何函数的连续点构成的集合是一个Gd型集.这是因xx为，如果存在0,1上的函数f，使得(0,1)IQ=x(0,1)|limf(x)=f(x). 当命题成立时，必有(0,1)IQ为Gd型集，这与29题的结论矛盾. 命题的证明： 设f(x)是开区间(0,1)有定义的一实函数，记E=x(0,1)|limf(x)=f(x)，xx11 第一章习题参考解答 下证：E是一个Gd型集. nN，令An=(a,b)|0ab1且x1,x2(a,b) |f(x1)-f(x2)|0，

18、使得 x(x-dn,x+dn)(0,1)，恒有|f(x)-f(x)|1，所以 2nx1,x2(x-dn,x+dn)(0,1)，恒有|f(x1)-f(x2)|f(x1)-f(x)|+ 1|f(x)-f(x2)|0,$d0,x(x-dn,x+dn) n=1|f(x)-f(x2)|0，取n0N，使得e.因为xIGnGn0=UAn0 n=1n0所以$a,bR：0ab1，使得x(a,b)，并且x1,x2(a,b)有 |f(x1)-f(x2)|10，故x：|x-x|d，即 n01e.从而limf(x)= xxn0x，x(x-d,x+d)(a,b)，所以|f(x)-f(x)|0使得(x-dx,x+dx)IA

19、=Bx是一个至多可数集，xA而AU(x-dx,x+dx) 由24题，$xi|iNA使得：AU(xi-dxi,x+dxi) n=112 第一章习题参考解答 又A=AIU(xi-dxi,x+dxi)=U(AI(xi-dxi,x+dxi)=UBxi.即A至多n=1n=1n=1可数. 32.证明下列陈述相互等价. (i) A是无处稠密集 (ii) A不包含任何非空开区间 (iii) A是无处稠密集 A的余集CA是稠密集 nn 无处稠密集：ER，E称为是无处稠密的，如果，d0，xR， O(x,d)E. 证明：(ii).设A是无处稠密集，即d0，xR有(x-d,x+d)A. 如果$a,bR(a0，故 (x

20、-d,x+d)=(a,b)A.这与(x-d,x+d)A得假设矛盾.所以i(ii)真. (iii).如果A不是无处稠密的，即$x0Rn，$d0，使得(x-d,x+d) =(a,b)A.这与A不包含任何非区间矛盾. (iii)(iv).设A无处稠密.现在我们证：R-A=R. xR,如果xR-A，则xA，所以d0，有(x-d,x+d)A=A. 故(x-d,x+d)I(R-A).所以xR-A. (iv)(i).设R-A=R，xR，d0，(x-d,x+d)IR-A. 所以(x-d,x+d)A.从而，A无处稠密. 33.证明：若集合E的聚点x0不属于E，则x0是E的边界点. 定义：x0称为E的边界点，如果d0，有O(x0,d)IE且 O(x0,d)IE. 证明：设x0E-E，则d0，O(x0,d)-x0IE=O(x0,d)IE.13 第一章习题参考解答 且x0O(x0,d)I(Rn-E)，即，x0是E的界点. 14