无穷级数习题.docx

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1、无穷级数习题第七部分 无穷级数 第 1 页 共 20 页 第七部分 无穷级数 填空题 1数项级数11的和为 。 2n=1(2n-1)(2n+1)(-1)n2数项级数的和为 cos1 。 (2n)!n=0 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3设an0,p1,且lim(n(e-1)an)=1，若级数an收敛，则p的取值范围pn1nn=1是(2,+)。 分析：因为在n时，(e-1)与1n1n1是等价无穷小量，所以由n1np-1lim(n(e-1)an)=1可知，当n时，an与

2、np是等价无穷小量。由因为级数an收敛，故n=11p-1n=1n收敛，因此p2。 4幂级数an(x-1)2n在处x=2条件收敛，则其收敛域为 0,2。 n=0 分析：根据收敛半径的定义，x=2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。2n由因为在x=0时，级数an(x-1)n=0=an条件收敛，因此应填0,2。 n=05幂级数 n2n的收敛半径为 3。 xnnn=12+(-3)分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为 nnn+1122(n+1)2+(-3)limn+1x=x， n23+(-3)n+1nx2n所以，根据比值判敛法，当x3时，原级数1 第七部分 无穷级数 第 2 页

3、 共 20 页 发散。由收敛半径的定义，应填3。 116幂级数+nxn的收敛域为 -1,1)。 2n=2nlnn分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数1nx收敛半径为1，收敛域为n=2nlnn-1,1)；幂级数1nx收敛域为(-2,2)。因此原级数在-1,1)收敛，在nn=22(-2,-1）U1，2）一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在(-,-2U2,+)也一定发散。故应填-1,1)。 7已知f(x)=anxn,x(-,+)，且对任意x，F(x)=f(x)，则F(x)在原点n=0的幂级数展开式为 F(0)+an-1nx,x(-,+)。 n=1n分析：根据幂级数的逐项积分性质，及f(x)=anxn

4、,x(-,+)，得 n=0F(x)-F(0)=故应填F(0)+x0anf(t)dt=antdt=nxn+1， 0n=0n+1n=0xan-1nx,x(-,+)。 n=1nx11n+(x-1)8函数f(x)=xe在x=1处的幂级数展开式为 e1+ 。(n-1)!n!n=1分析：已知e=x1nx(x(-,+)，所以 n=0n!x-1xe=e(x-1)ex+ex-111n=e(x-1)(x-1)+(x-1)n n=0n!n=0n!11n=e1+(n-1)!+n!(x-1)。 n=1 根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。 2 第七部分 无穷级数 第 3 页 共 20 页 9已知f(x)=x+

5、1,x0,1，S(x)是f(x)的周期为1的三角级数的和函数，则133S(0),S的值分别为 ，。 2221x,0x,210设f(x)= 12(1-x),x0，正项级数an收敛，则级数(-1)n=1n=1na2n-1n+a2 (A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与a的值有关。 答 C 分析：因为a2k-1k=1n2n-1k=1ak，且正项级数an收敛，所以a2n-1收敛。又n=1n=1因为 (-1)na2n-1n2+a11a+2n-1， 22n+a所以原级数绝对收敛。 12设an=cosnpln(1+1n)(n=1,2,3,L)，则级数 2(A) an与a都收敛。 (

6、B) an与an都发散。 2nn=1n=1n=1n=12(C) an收敛，a发散。 (D) an发散，an收敛。 2nn=1n=1n=1n=1 答 C 3 第七部分 无穷级数 第 4 页 共 20 页 分析：因为an=cosnpln(1+1n)=(-1)ln(1+n1n)，所以级数an是满足莱n=12=ln2(1+布尼兹条件的交错级数，因此an收敛。因为 an1n)在n时与n=11n12是等价无穷小量，且调和级数发散，所以an发散。 n=1nn=113设0an1(n=1,2,3,L)，则下列级数中肯定收敛的是 nnan2(A)an。 (B) (-1)an。 (C) 。 (D) anlnn。 l

7、nnn=1n=1n=2n=2 答 D 分析：因为0an1lnnlnn2lnn2。又因为lim2nn=0，且，所以0annnnn1，可以说明不能选(A)及(C)；2nnn=11n2收敛，所以an另外，取an=lnn收敛。n=2取a2n-11114na=， ，因为 ()=a-a=(1-)发散，2n2n2n-1224n(2n-1)(2n-1)n=1n=14n所以(-1)nan发散。 n=114下列命题中正确的是 (A)若unvn(n=1,2,3,L)，则 unvn。 n=1n=1(B) 若unvn(n=1,2,3,L)，且vn收敛，则un收敛。 n=1n=1un(C)若lim=1，且vn收敛，则un

8、收敛。 nvn=1n=1n(D) 若wnunvn(n=1,2,3,L)，且wn与vn收敛，则un收敛。 n=1n=1n=1 答 D 分析：因为wnunvn，所以0un-wnvn-wn。又因为wn与vn收n=1n=1 4 第七部分 无穷级数 第 5 页 共 20 页 敛，所以(vn-wn)收敛，因而(un-wn)收敛。故un收敛。 n=1n=1n=1 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)11将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数-与2可nn=1nn=1以说明(B)不对，取级数n=1(-1)n(-1)n1与n+n就可以说明(C)不对。 nn

9、=115下列命题中正确的是 (A) 若u与v都收敛，则(un+vn)2收敛。 2n2nn=1n=1n=12(B) 若unvn收敛，则u与vn都收敛。 2nn=1n=1n=1(C) 若正项级数un发散，则unn=11。 n(D) 若un0，且 nnn+1lnn=1lim， n1n 8 第七部分 无穷级数 第 9 页 共 20 页 11n+1所以在n时是等价无穷小。又因为级数收敛，ln与nnnnn=1nn1所以，根据比阶判敛法知级数n=11n+1ln收敛。 nn另解：因为 n+111ln=ln1+， nnn所以 11n+1。 ln0)的敛散性。 n=1nann!解：记 un=n，则un0，且 nu

10、n+1aaan+1(n+1)!nn=lim=， lim=limnn1nun(n+1)n+1ean!n(1+)nn所以根据比值判敛法，当ae时级数发散。 当a=e时，因为limun+1=unun+1=1，所以此时比值判敛法失效，但由于 nune11，(因为数列(1+)n单调递增趋于e) 1n(1+)nn所以limun0，因而当a=e时，级数发散。 nan25讨论级数p，p0的敛散性。 n=1n9 第七部分 无穷级数 第 10 页 共 20 页 解：因为 limnan+1p(n+1)npan=a， an所以根据比值判敛法，当a1时，由于limp=+，所以级数p发散。 nnn=1n 当a=1时，级数

11、为p1时级数收敛。 1，由p级数的敛散性，当0p1时级数发散，当pnn=1(-1)n当a=-1时，级数为p，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当n=1n01时级数绝对收敛。 26已知函数y=y(x)满足等式y=x+y，且y(0)=1，试讨论级数 11 y-1-nnn=1的收敛性。 解：因为 y=x+y，所以 y=1+y。由y(0)=1，得y(0)=1,y(0)=2。根据泰勒公式，得 11111y=y(0)+y(0)+y(0)2+o(2)nn2nn111=1+2+o(2)，nnn1111所以y-1-在n时与2等价，且级数2收敛，因此级数 nnnn=1n11y-1-n nn=1绝对收敛。 10 第七

12、部分 无穷级数 第 11 页 共 20 页 y-y=x注：本题也可先解定解问题，得到y(x)=2ex-x-1后再用泰勒公y(0)=1式讨论。 27求下列幂级数的收敛域 (1) (-1)n=1n2nnx，(2) (-nx)，(3) nnn=11nx。 n=1n!解： 2n(1) 记an=(-1)，因为 nnan+12nlim=lim=2, nann+1n所以收敛半径为 R=111，收敛区间为 (-,)。 2221又因为当x=时， 级数2n11n(-1)=发散。 nnn=1(-1)n=1n11条件收；当x=-时， 级数2n(-1)n=1故级数(-1)n=1n2n11xn的收敛域为(-,。 22nn

13、na1(2) 记an=(-1)n, 由limn+1=lim(n+1)1+=+, 得收敛半径为nannnnR=0, 所以幂级数(-nx)n仅在x=0处收敛。 n=1(3) 记an=a11=0, 得收敛半径为R=+, 故级数 , 由limn+1=limnann+1n!n1nx的收敛域为(-,+)。 n!n=128求幂级数12n-1的收敛域。 xnn=1311 第七部分 无穷级数 第 12 页 共 20 页 解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。 因为 klim13k+1x2k+112k-1x2x2, =lim=kxk333x2x212n-1所以，当绝对收敛；当1

14、, 即|x|1, 即|x|3333n=1时，级数 12n-1发散。 xn3n=112n-1的收敛半径为R=3。 xnn=13根据收敛半径的定义知级数又，当x=3时, 112n-1(3)=, 级数发散；当x=-3时, 一般项为3n311-, 级数也发散。 故级数nx2n-1的收敛域为(-3,3)。 3n=13112n12 注：还可以将级数变形为nx，再令u=x，研究幂级数nun的收xn=13n=13敛半径和收敛域，最后得到12n-1的收敛域。 xn3n=129求幂级数102n(2x-3)2n-1的收敛域。 n=1解：因为10(2x-3)2nn=12n-113=202n(x-)2n-1，且 2n=

15、12un+1(x)102n+2(2x-3)2n+1322lim=lim=20(x-)， nu(x)n102n(2x-3)2n-12n3313所以，当202(x-)21，即x-0.05=0.05时，22202时，级数发散。故幂级数102n(2x-3)2n-1的收敛区间为(1.45,1.55)。 n=1 12 第七部分 无穷级数 第 13 页 共 20 页 又当x-3原级数的一般项分别是un=-10和un=10，所=0.05时，2因此级数102n(2x-3)2n-1的收敛域为(1.45,1.55)。 n=130设a0,a1,a2,L为一等差数列，且a00，求级数anxn的收敛域。 n=0解：记a0

16、,a1,a2,L的公差为d，则 an=a0+nd， 所以 an+1=1。 nanlim因此收敛半径为R=1，又当x=1时，级数成为(1)nan，liman0，所n=0n以(1)nan发散，于是级数anxn的收敛域为(-1,1)。 n=0n=01-x531将函数ln展开为x=0处的幂级数。 1-x(-1)n-1n解：因为ln(1+x)=x,x(-1,1。 nn=1所以 1-x5ln=ln(1-x5)-ln(1-x) 1-x=(-1)n=1n-1n(-x5)nn-1(-x) -(-1)nnn=1x5nxn (-1x1)。 =-+n=1nn=1n32将函数f(x)=arctan解：因为 2x在x=0

17、点展开为幂级数。 1-x2 13 第七部分 无穷级数 第 14 页 共 20 页 2n2nf(x)=2(-1)x,(x1)，f(0)=0， 21+xn=0所以 f(x)=x0(-1)n2n+1f(t)dt=2(-1)tdt=2x (x1)。 0n=0n=02n+1nx2n(n)x-133将函数f(x)=在x0=1点展成幂级数, 并求f4-x(1)。 11解：将f(x)视为(x-1), 因此只需将展成bn(x-1)n即可。 4-x4-xn=0 因为 111=4-x3-(x-1)3且 1, x-11-31=1+x+x2+L+xn+L x1， 1-x所以 11=4-x311x-1(x-1)2(x-1

18、)n=1+L+L， 2nx-133331-3于是 x-11(x-1)2(x-1)3(x-1)n+1f(x)=(x-1)+L+L, |x-1|3。 2n4-x3333 由于f(x)的幂级数an(x-1)的系数an=nn=0f(n)(1), 所以 n!f(n)(1)=(n!)an=n!。 n-1334求幂级数(-1)n+1n(n+1)xn在收敛区间(-1,1)内的和函数S(x), 并求数项n=1 14 第七部分 无穷级数 第 15 页 共 20 页 级数(-1)n+1n=1n(n+1)的和。 2n解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分, 得 xn+1nS(x)dx=(-1)n(n+1)x

19、dx(|x|1)00n=1x=(-1)n=1n+1nxn+1=(-1)n+1(xn)x2n=1=x2(-1)n+1xnn=1xx22=x。=2(1+x)1+x将上式两端对上限x求导, 得 S(x)=2x, |x|1。 (1+x)3 令x=1, 得 2(-1)n+1n=1n(n+1)18。 =S=n2227求幂级数nxn的和函数S(x)。 n=1令 S1(x)=nxn-1， n=1则S1(x)的定义域为(-1,1)，且S(x)=xS1(x)。任给x(-1,1)，由逐项积分公式得， 因此， x0S1(t)dt=ntn=10xn-1dt=xn=n=1x,x(-1,1)。 1-x1xS1(x)=,x(

20、-1,1)， 2(1-x)1-x所以， 15 第七部分 无穷级数 第 16 页 共 20 页 S(x)=xS1(x)=x,x(-1,1)。 2(1-x)xn+1 求幂级数的和函数。 n=1n令 xnS1(x)=， n=1n则S1(x)的定义域为-1,1)，且S(x)=xS1(x)。任给x-1,1)，由逐项求导公式得， xn(x)=S1n=1n1n-1=x=,x(-1,1)。 1-xn=11dt=-ln(1-x),x(-1,1)。 01-tx因此， S1(x)=S1(x)-S1(0)=所以， S(x)=xS1(x)=-xln(1-x),x(-1,1)。 由S(x)C-1,1)得，S(-1)=li

21、m+S(x)=lim+-xln(1-x)=ln2。 x-1x-1(-1)n 求数项级数的和。 n=02n+1(-1)n2n+1考虑幂级数x，则其收敛域为-1,1。若记其和函数为S(x)，则n=02n+1(-1)n。 S(1)=n=02n+1 由于 S(x)=S(x)-S(0)=S(t)dt0xx x1n2n=(-1)tdt=dt=arctanx,x(-11)。001+t2n=0又因为S(x)C-1,1，所以 S(1)=limS(x)=limarctanx=-x1x1p4。 16 第七部分 无穷级数 第 17 页 共 20 页 故 (-1)np=。 4n=02n+1n235求级数的和。 n=1n

22、!xn解：由于 e=n=0n!x,x(-,+)。 对上式两边求导，得 ne=xn-1， n=0n!xn所以 xe=xn， n=0n!x此式两边再求导，得 n2n-1xe+e=x， n=0n!xxn2=2e。 在上式中令x=1，有 n=1n!x,0x1,36 设f(x)时周期为2的周期函数，且f(x)=，写出f(x)的傅里0,1x2叶级数与其和函数，并求级数1的和。 2n=0(2n+1)解：根据傅里叶系数的计算公式，得 an=201f(x)cosnpxdxxcosnpxdx0(-1)n-1=(n=1,2,3,L)，22npa0=f(x)dx=xdx=00211， 2 17 第七部分 无穷级数 第

23、 18 页 共 20 页 bn=f(x)sinnpxdx02=xsinnpxdx01(-1)n+1=(n=1,2,3,L)，np所以f(x)的傅里叶级数为 11(-1)n-1n+1+cosnpx+(-1)sinnpx。 4n=1npnp其和函数的周期为2，且 x,0x1,1S(x)=,x=1, 20,1x0，使得对任意的n，有 nbnM， 于是anbnMan，又级数an收敛，由比较判敛法知anbn收敛，故级数n=1n=1n=1anbn 绝对收敛。 38已知an0,且an+1an(n=1,2,3,L)，若级数(-1)nan发散，证明级数n=11收敛。 nn=1(1+an)证：因为00。所以存在N

24、0，使得当nNn=1时，有anA1，故当nN时，0，级数40证：令 tanx=t，得 n1t1n0an=4tanxdx=dttdt=， 0001+t2n+1n1p所以 0an11。 0时，级数n=11n1+a1p2xn40已知 2=, f(x)=2 ,证明 6n=1nn=1nf(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)=p26。 xn证：因为幂级数2 为-1,1，所以函数f(x)定义域是-1,1，函数f(1-x)定n=1n义域是0,2。 令F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)，则其定义域为(0,1)。根据幂级数的可导性及逐项求导公式，得 n-1xnx1f(x)= =-ln(1

25、-x)， n2nxn=1n=1 19 第七部分 无穷级数 第 20 页 共 20 页 (1-x)n(1-x)n-1f(1-x)=n2=-nn=1n=1 n11n-1(x-1)=(-1)=lnx,1-xn=1n1-x又 (lnxln(1-x)=11ln(1-x)-lnx， x1-x所以 F(x)=f(x)+f(1-x)+(lnxln(1-x)=0,x(0,1)。 因此F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)C,x(0,1)。 在上式两端令x1-取极限，得 C=limF(x)-x1=f(1)+f(0)+limln(1+(x-1)ln(1-x) -x11p2=f(1)=2=,6n=1n所以f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)=p26,x(0,1)。 20