无穷乘积的收敛性.docx

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1、无穷乘积的收敛性 无穷乘积的收敛性 郭州雄 摘 要 在无穷乘积的研究中，确定无穷乘积的敛散性问题是一个很重要的问题， 本文通过无穷级数与无穷乘积的关系浅谈一下判断无穷乘积敛散性的一些方法。 关键词 无穷乘积 无穷级数 The abstract in the infinite product research, determined the infinite product collects the divergence question is a very important question, this article through the infinite series and the

2、infinite product relations discussed shallowly judges the infinite product to collect the divergence some methods. Key word infinite product infinite series 一 预备知识 定义1 设p1,p2,.,pn.(pn0)是无穷可列个实数，我们称他们的“积”p1.p2.pn.pn称为无穷乘积的通项或一般项. 为无穷乘积，记为pn，其中n=1从定义我们可以看出，这里有无穷多个实数相乘，当然我们无法对无穷多个实数逐一地进行乘法运算，所以必须对无穷乘积求

3、积给出一个合 理地定义，为此构作无穷乘积pn的部分积数列Pn： n=1P1=p1P2=p1.p2 . Pn=p1.p2.pn.1 定义2 如果部分积数列Pn收敛于一个非零的有限数P，则称无穷乘积pn收敛，且称P为它的积，记为pn=P，如果Pn发散或收n=1n=1敛于零，则称无穷乘积pn发散。 n=1注意这里当limPn=0时，我们称无穷乘积pn发散于0，而不是xn=1收敛于0，以后我们将会看到这样做的好处仅仅是使无穷乘积的收敛性和无穷级数的收敛性统一，下面给出无穷乘积收敛的一个必要条件： 定理1 如果无穷乘积pn收敛，则 n=1limPn=1 xlimmn=m+1pn=1 证明 设无穷乘积pn

4、 的部分积数列为Pn ，则 n=1limpn=limnPn=1nPn-1pn=limn=1mmn=1mlimn=m+1ppn=1n 证毕 由定理1知，若无穷乘积的通项不趋于0，则无穷乘积必定发散，而当通项趋于0时，必定在某一项以后大于0，而无穷乘积的收敛性与前面有限项无关，只不过若收敛的话“积”不同罢了，所以下面我们假定无穷乘积的通项pn0，而下面的定理将无穷乘积与无穷级数的敛散性统一起来： 定理2 无穷乘积pn收敛的充分必要条件是无穷级数lnpnn=1n=1 2 收敛。 证明：设无穷乘积pn的部分积数列为Pn ，无穷级数lnpn n=1n=1的部分和数列为Sn ，则 pn=eSn 所以Sn

5、收敛的充分必要条件是Pn 收敛，而Pn 收敛于0，既pn 发散于0的充分必要条件是lnpn 发散于。 n=1n=1由定理2 ，我们建立了pn 与lnpn 之间的关系，于是我们n=1n=1可以通过判断无穷级数lnpn的敛散性来判断无穷乘积pn的敛散n=1n=1性，下面给出两个重要的推论： 推论1 设an0，则 无穷乘积(1+an) 收n=1敛的充分必要条件是级数 an 收敛。 n=1证明：显然级数ln(1+an)与级数an 都是正项级数或都是负n=1n=1项级数，它们都以liman=0 为收敛的必要条件，而当liman=0 时，我nn们有 limln(1+an)=1 nan于是由正项级数的比较判

6、别法，级数ln(1+an) 收敛的充分必要n=1条件是 an 收敛。 n=1 证毕 3 推论2 设级数 an收敛，则 无穷乘积(1+an)收敛的充分n=1n=1必要条件是级数an2 收敛。 n=1证明：由an收敛，可知liman=0，由ln(1+an)an及 n=1n122an+o(an)an-ln(1+an)12， lim=lim=22nnanan2根据正项级数的比较判别法，当ln(1+an)与an收敛时，必有n=1n=1an=12n的收敛性，反过来，当an 收敛时 ，由于an的收敛性，必定2n=1n=1可得到ln(1+an)的收敛性。 n=1 证毕 我们由定理2 可以看到，要判断一个无穷乘

7、积的敛散性我们只需要判断对应的级数的敛散性，而由推论1及推论2可以看到正项级数在数项级数中占有重要的地位，于是我们先讨论正项级数的判别法，进而再讨论一般的数项级数的判别法. 二 正项级数的判别法 定理3 正项级数xn收敛的充分必要条n=1件是它的部分和数列有上界。 定理4设xn与yn是两个正项级数，若存在常n=1n=1数A，成立 xnAyn,n=1,2,3. 则 4 当yn收敛时，xn也收敛 n=1n=1当xn发散时，yn也发散。 n=1n=1证明：设级数xn 的部分和数列为Sn，级数yn的部分和数列为Tn，n=1n=1则显然有 SnATn,n=1,2,3. 于是当Tn有上界时，Sn也有上界，

8、而当Sn无上界时，Tn必定无上界。 证毕 定理 4设xn与yn是两个正项级数，如n=1n=1果xn与yn是同阶无穷小量，即 limnxn=l(0l+) yn则xn与yn同时收敛或同时发散。 n=1n=1 证明：由limnxnl=l(0lN时， yn213lynxn0 ，使得当nn0时ln1an1+a(an0)，则级数lnna(ann=1n0) 收敛；若nn0时ln1an1 ，则级数发散。 lnn1a11证明：若n1+a，则n1+a 或an ，由于级anlnn1+n1+aln数ln11+an=1n 收敛，故级数an也收敛 n=11an111若1，则n或an 。由于级数 发散，故级数 anlnnn

9、n=1nan=1n也发散. 证毕 6 如果我们把比较对象取为几何级数，则可得到下面的Cauchy判别法： 定理7 设xn是正项级数，r=limnxn ，则 n=1n当r1，级数xn发散 n=1当r=1，判别法失效，级数既可能收敛，也可能发散。 证明：当r1时，取q满足rqN，成立 nxnq， 从而 xnqn，0q1，由于r是数列x的极限点，可知存在无穷多个n满足nnnxn1，这说明xn不是无穷小量，从而xn发散。 n=1对于r=1，级数11与 的敛散性说明判别法失效 nn2 证毕 引理 设xn是正项数列，则 lim证明：设 r=limxn+1nxnxn+1xlimnxnlimnxnlimn+1

10、 nxnnnxnn则对任意给定的e0，存在N，对一切nN，成立 xn+1r+e xn7 于是 xnN) 从而 limnxnlimn(r+e)n-N-1.xN=r+e nn由e的任意性，就得到 limnxnr=limnxn+1nxn同理可证 limxn+1limnxn nxnn证毕 通过上面的引理，我们可得到如下定理： 定理8 设xn (xn0)是正项级数，则 n=1xn+1当r=lim1，级数xn发散 当r=limnxn=1n当r1或r1时，判别法失效，级数可能收敛，可能发散 对于某些级数xn，成立limn=1xn+1=1，这时定理6与定理7 都失nxn效，下面给出针对这类情况的判别法： 定理

11、9 设xn是正项级数，r=limn(n=1nxn-1)，则 xn+1当r1，级数xn收敛 n=1当rt1，f(x)=1+sx-(1+x)t,由f(x)的连续可微性与f(0)=0，f(0)=s-t0,可知存在d0，对一切0x(1+x)t x当r1时，取s,t满足rst1。由r=limn(n-1)st与不等式nxn+11+sx(1+x)t，可知当n充分大时， xns1tn+1t1+(1+)=t xn+1nnn这说明正项数列ntxn从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设 ntxnA 于是 xnA nt1由于t1，因而t收敛，根据比较判别法就得到xn的收敛。 n=1nn=1当r=limn(nxn-1

12、)1，则对于充分大的n， xn+1xn1n+10,使对一切nN成立，于是 xnan1由于发散，根据比较判别法就得到xn发散. n=1nn=1 证毕 无穷级数与反常积分结合，便有下面的积分判别法： 定理10 设 f(x) 定义于a,+),f(x)0, 且f(x) 9 在任意有限区间a,A上Riemann可积，取一单调增加趋于+ 的数列an：a=a1a2a3.ana n=1存在整数n 成立anAan+1 于是 Sn-1f(x)dxSn aA当 Sn 有界时 即 un 收敛时，则有limn=1A+aAf(x)dx 收敛 ，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限；当 Sn 无界时。即un发n=1散于

13、+时，则同样有 limA+aAf(x)dx=+ 。由此得到下列关系 an+1+af(x)dx=un=n=1n=1anf(x)dx 特别，当f(x)单调减少时取an=n ，则当 nN=a+1 ， f(n+1)unf(n) 由比较判别法可知 f(n) 与un 同时收敛或同时发散，从而与 n=Nn=N+af(x)dx 同时收敛或同时发散。 证毕 10 由积分判别法可得下面的马尔可夫判别法： 定理 11 设f(x)为单调减少的正值函数，又设 exf(ex) xlim=l +f(x)若l1，则级数f(n)发散。 n=1n=1exf(ex)=l，故对任意的e0，总存在N0，使证明：由于xlim+f(x)得

14、当xN 时，有exf(ex)(l+e)f(x) 当l1时，取e使得l+e=r1，则有exf(ex)N时有 mNef(e)dxrf(x)dx xxNemNm即ef(x)dxrNf(x)dx，也即 (1-r)Nf(x)dxN，故m0，故emm，从而 f(x)dx0emeNeN(1-r)Nfx(dx)rfxdxemeNf(x)dx1时，则取N为充分大，可得exf(ex)f(x) (xN)， 从而Nef(e)dxNf(x)dx，即 xxmmemeNemf(x)dxf(x)dx 或N+N, 故 NemNemmemeNmmf(x)dx0eNNf(x)dx (mN) 1k今设e0=N+1,e1=ee,e2=

15、ee,.,ek+1=ee,.,并分别取m=e0,e1,e2,.，则 最后得 e2e1e3f(x)dxf(x)dxeNNeNf(x)dxf(x)dxe2N .ek+1ekf(x)dxeNNf(x)dx.+0+e0f(x)dx=limnk=1ekek-1f(x)dxlimnneNNf(x)dx=+， 即ef(x)dx为发散的，并由积分判别法知级数f(n)发散。 n=1 证毕 三 一般项级数的判别法 上面浅谈了正项级数的收敛判别法，接下来讨论一般项级数的收敛判别法，对于一般项级数，判断敛散性最本质的方法是Cauchy收敛原理: 定理12 级数 xn收敛的充分必要条件是：n=1对任意给定的e0，存在N

16、 ，使得 |xn+1+xn+2+.+xm|=|xn|nN 成立。 12 定义3 如果级数xn=(-1)un(un0)且un单调减少收n=1n+1n=1敛于0，则称此级数为Leibniz级数 由Cauchy收敛原理，可以得到： 定理13 Leibniz级数必定收敛 证明： |xn+1+xn+2+.+xn+p| =|un+1-un+2+.+(-1)p+1un+p| 当p是奇数时 un+1-un+2+.+(-1)n+1un+p =(un+1-un+2)+(un+3-un+4)+.+un+p =un+1-(un+2-un+3)-(un+4-un+5)-.-(un+p-1-un+p) 所以 0un+1-

17、un+2+.+(-1)n+1un+pun+1 当p是偶数时 un+1-un+2+.+(-1)n+1un+p =(un+1-un+2)+.+(un+p-1-un+p) =un+1-(un+2-un+3)-.-un+p 因而成立 |xn+1+xn+2+.+xn+p|=|un+1-un+2+.+(-1)p+1un+p|un+1 由成立 |xn+1+xn+2+.+xn+p|un+10,$N,nN:un+10,$N,nN 和pN ，应用 Abel 引理，即得 n+p+k=n+1bn+pke，对 k=n+1abkk|k=n+1abkk|0,$N,nN：ane 设biM。令Bk=i=1n+ki=1ni=n+

18、1b(k=1,2,.),则 inin+k Bk=b-bii=12M 应用Abel引理，同样可得 n+p|k=n+1abkk|2M(an+1+2an+p)N与一切正整数p成立 根据定理10 ，可知anbn收敛。 n=1 证毕 四 例题 n!en例1 讨论无穷乘积1+n+pnn=13的敛散性。 p2 14 n!en解：根据定理2的推论1 ，无穷乘积1+n+pnn=1的敛散性与无穷级数n!enn!en的敛散性是等价的，于是我们只需说明无穷级数n+p的敛散性n+pn=1nn=1n即可， n!enn+pn+pan1n+1n= an+1(n+1)!en+1en(n+1)n+1+p由于 1n+1anenli

19、mn-1=limn1an+1nnn+p-11+pln(1+x)11+pxxe-1(1+x)-1ee =lim=limx0x0xx111+(p-2)x+o(x)e-11e=lim=p- x0x21由Raabe判别法知 n!en13当p-1即p时，级数n+p收敛 22n=1nn!en所以无穷乘积1+n+pnn=1收敛， 1例2 讨论无穷乘积1+的敛散性。 1n=1ln2(sin)n1解： 根据定理2推论1，无穷乘积1+的敛散性与12n=1ln(sin)n 15 无穷级数11n=1ln2(sin)n的敛散性等价， 考虑级数11n=1ln2n，由于 11ln2n11lnsinn =1ln1nln2(s

20、in)n1cosxlnsinn=limlnsinx=limsinx=1 并且 limnx0+x0+11lnxlnnx2所以 11ln2(sin)nn=11ln21n=1 2lnn111又当n1时，0lnn，由于级数发散，lnnnn=1n11所以级数2发散，从而级数发散，所以无穷乘积1n=1lnnn=1ln2(sin)n11+发散。 1n=1ln2(sin)n(-1)n+1例3 讨论1+x的敛散性。 nn=1(-1)n+1解：由无穷乘积收敛的必要条件，可知当x0时，1+xnn=1是发散的， (-1)n+111当x0时，an=x收敛，而an=2x在0时收敛，于是由推论2，得到 (-1)n+1(-1)n+111 当x时，1+x收敛，当x时，1+xnn22n=1n=112发散。 参考文献 。北京：高等教育出版社，2000。 1陈纪修，於崇华，金路。数学分析2吉米多维奇，数学分析习题集。山东科学技术出版社，2005 17