新课程数学选修21第三章课后习题解答].docx

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1、新课程数学选修21第三章课后习题解答新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 31空间向量及其运算 练习 1、略. 2、略. 3、AC=AB+AD-AA，BD=AB-AD+AA，DB=AA-AB-AD. 练习 1、AD； AG； MG. 112、x=1； x=y=； x=y=. 223、如图. CP A BQ RS O练习 21、B. 2、解：因为AC=AB+AD+AA， 所以AC=(AB+AD+AA)2 =AB+AD+AA+2(ABAD+ABAA+ADAA)=42+32+52+2(0+10+7.5)=85所以AC=85 3、解：因为ACa 所以ACBD，ACAB，

2、又知BDAB. 所以ACBD=0，ACAB=0，又知BDAB=0. CD=CDC D2222=(CA+AB+ =CA+AB+22B)D(+CA+AB)BDBD2=a2+b2+c2所以CD=a2+b2+c2. 练习 a-b一定构成空间的一个基底. 否则c与a+b，1、向量c与a+b，a-b共面， 于是c与a，b共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、解：O=B+O=BB+B；+ 新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 = BA=BA+BB=-OC+OO=c-b CA=CA+AA=OA-OC+OO=a-b+c 1111 OG=OC+CG=OC+CB=b+(a+c)=a+b+c. 2222练习 1、(

3、-2,7,4)； (-10,1,16)； (-18,12,30)； 2. 2、略. 3、解：分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 1则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，M(1,0)，C(0,1,0) 21所以，DB1=(1,1,1)，CM=(1,-,0). 211-+0DB1CM152所以，cos=. =151DB1CM31+4习题3.1 A组 1、解：如图，AB+BC=AC； AB+AD+AA=AC+AA=AC+CC=AC； 设点M是线段CC的中点， 1则AB+AD+CC=AC+CM=AM； 2设点G是线段AC的三等分点，则11(AB+AD+AA)=

4、AC=AG. 33 向量AC,AC,AM,AG如图所示. 2、A. 3、解：AC=(AB+AD+AA)2 2DCBGMADCAB=AB+AD+AA+2(ABAD+ABAA+ADAA)122=52+32+72+2(53+57+37)222=98+562所以，AC13.3. 4、ABAC=ABACcos60=22212a； 21ADDB=ADDBcos120=-a2； 21GFAC=GFACcos180=-a2 2(GF=11AC=a)； 22新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 1211a (EF=BD=a)； 422111FGBA=FGBAcos120=-a2 (FG=AC=a)； 422

5、11GEGF=(GC+CB+BA)CA 22111=(DC+CB+BA)CA222111=DCCA+CBCA+BACA424 111=DCCAcos120+CBCAcos60+BACAcos604241=a245、60； 略. 6、向量a的横坐标不为0，其余均为0；向量b的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为0，其余均为0. 7、9； (14,-3,3). 108、解：因为ab，所以ab=0，即-8-2+3x=0，解得x=. 39、解：AB=(-5,-1,10)，BA=(5,1,-10) 119设AB的中点为M，OM=(OA+OB)=(,-2)， 22219所以，点M的坐标为(,-2)

6、，22EFBC=EFBCcos60=AB=(-5)2+(-1)2+102=126 10、解：以DA,DC,DD1分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角1坐标系O-xyz.则C,M,D1,N的坐标分别为：C(0,1,0)，M(1,0,)，21D1(0,0,1)，N(1,1,). 211CM=(1,-1,)，D1N=(1,1,-) 2213所以CM=12+(-1)2+2=，2213D1N=12+12+(-)2= 2211-1-4=-1 cos=994由于异面直线CM和D1N所成的角的范围是0, 21因此，CM和D1N所成的角的余弦值为. 9新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 p3111、(,-

7、,3) 22习题3.1 B组 1、证明：由已知可知，OABC，OBAC OABC=0，OBAC=0，所以OA(OC-OB)=0，OB(OC-OA)=0. OAOC=OAOB，OBOC=OBOA. OAOC-OBOC=0，(OA-OB)OC=0，BAOC=0. OCAB. 2、证明： 点E,F,G,H分别是OA,OB,BC,CA的中点. 11 EF=AB，HG=AB，所以EF=HG 22四边形EFGH是平行四边形. 1111EFEH=ABOC=(OB-OA)OC=(OBOC-OAOC) 2244 OA=OB，CA=CB，OC=OC. DBOCDAOC BOC=AOC OBOC=OAOC EFEH

8、=0 EFEH 平行四边形EFGH是矩形. 3、已知：如图，直线OA平面a，直线BD平面a，O,B为垂足. 求证：OABD 证明：以点O为原点，以射线OA方向为z轴正方向， 建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k分别为沿x轴、 y轴、z轴的坐标向量，且设BD=(x,y,z). BDa. BDi，BDj. BD=(0,0,z). BD=zk. BDk，又知O,B为两个不同的点. BDOA. BDi=(x,y,z)(1,0,0)=x=0，BDj=(x,y,z)(0,1,0)=y=0. 32立体几何中的向量方法 新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 练习 1、b=3a，l1l2； ab=0，l

9、1l2； b=-3a，l1l2. 2、uv=0，ab； v=-2u，ab； uvuv=-2929，a与b相交，交角的余弦等于. 22472247练习 1、证明：设正方形的棱长为1. D1F=DF-DD1，AE=BE-BA. 因为D1FAD=(DF-DD1)AD=0-0=0，所以D1FAD. 因为D1FAE=(DF-DD1)(BE-BA)=0+11-+0=0，所以22D1FA. E因此D1F平面ADE. 2、解：CD=CD=(CA+AB+BD)2 2=CA+AB+BD+2CAAB+2CABD+2ABBD=36+16+64+268cos(180-60)=68222CD=68 练习 11、证明：MN

10、AB=(MB+BC+CN)AB=(MB+BC+CD)AB 211=(MB+BC+AD-AC)AB22111=a2+a2cos120+a2cos60-a2cos60=0222 MNAB. 同理可证MNCD. 2、解：l2=EF=(EA+AA+AF)2=m2+d2+n2+2mncosq 2d2=l2-m2-n22mncosq， 所以 AA=d=l2-m2-n22mncosq. 新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 3、证明：以点D为原点，DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、建立坐标系，得下列坐标：D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，z轴正方向，11C(0,1,1)，O(,

11、1,). 2211 DOBC=(-,-1,-)(-1,0,1)=0 DOBC 22习题3.2 A组 1、解：设正方形的棱长为1 1MNCD=(MB+BN)(CC+CD)=，2121MNCD=2=1 ,cosq=2=，q=60. 212122MNAD=(MB+BN)AD=，MNAD= 1=22212，q=45. cosq=2=2222、证明：设正方体的棱长为1 因为DB1AC=(DB+BB1)AC=0+0=0，所以DB1AC. 因为DB1AD1=(DA1AD1. 1+AB11)AD1=0+0=0，所以DB因此，DB1平面ACD1. 3、证明： OABC=(OC-OB)OA=OCOAcosq-OB

12、OAcosq=0， OABC. 4、证明： 因为AC1LE=(A1A+AC)LE=0+0=0， 所以ACLE. 1因为AC1EF=(AB1+BC)EF=0+0=0， 所以ACEF. 1因此，AC平面EFGHLK. 1新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 设正方体的棱长为1 因为AC1DB1=(A1A+AC)(DB+DB1)=-1， 2ACDB=(3)=3 111所以 cosq=-. 3因此DB1与平面EFGHLK的 所成角a的余弦cosa=22. 3211AC-AB)2 2211111=(OA+AC+AB)2=(1+1+1-1+1-1)= 222422所以，DE= 2111113AEAO=

13、(AC+AB)AO=(+)=，AEAO= 222222163，sinq= cosq=2=3335、解：DE2=DE=DEDE=(DA+AB+266. =336、解：设AB=1，作AOBC于点O，连接DO. 以点O为原点，OD,OC,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系，得下列坐标： 1333O(0,0,0)，D(,0,0)，B(0,0)，C(0,0)，A(0,0,). 22223333，DODA=(-,0,0)(-,0,)=2224182，cosq=. DODA=42 AD与平面BCD所成角等于45. 点O到平面ABC的距离OH=OAsinq=1BCDA=(0,1,0)(-33,

14、0,-)=0. 所以，AD与BC所成22角等于90. 设平面ABD的法向量为(x,y,1)， 13则(x,y,1)AB=(x,y,1)(0,-)=0， 2233(x,y,1)AD=(x,y,1)(,0,-)=0. 22解得 x=1，y=3 显然(0,0,1)为平面BCD的法向量. 新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 (0,0,1)(1,=3，,1cos)q1=因此，二面角15. =1+3+15A-BD-C的余弦cosa=cos(p-q)=-5. 57、解：设点B的坐标为(x,y,z)，则AB=(x-1,y+2,z). x-1y+2z=. 因为ABa，所以-3412因为AB=2a=26，所

15、以(x-1)2+(y+2)2+z2=26. 解得x=-5，y=6，z=24，或x=7，y=-10，z=-24. 8、解：以点O为原点建立坐标系，得下列坐标：A(a,-a,0)，B(a,a,0)，C(-a,a,0)， aahD(-a,-a,0)，V(0,0,h)，E(-,). 2223aaha3ah(-,-,)(,)22h-6a222222=cos=. 22h+10aBEDE3aahh22=0，h2=2a2 VCBE=(-a,a,-h)(-,-,)=a-2222h2-6a2-4a21cos=2=- h+10a212a23A(0,0,0)，B(0,1,0)，9、解：以点A为原点建立坐标系，得下列坐

16、标：111O(-,)， 2221A1(0,0,1)，D1(-1,0,1)，M(0,0,). 2因为OMAA1=0，OMBD1=0， 所以OMAA1，OMBD1，OM=112. +=44210、解：以点A为原点建立坐标系，得下列坐标：A(0,0,0)，B(0,7,0)，C(0,0,24)， D(x,y,z). 因为BDAB=(x,y-7,z)(0,7,0)=0，所以y=7. 由BD=x2+z2=24，CD=x2+72+(z-24)2=25 新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 解得z=12，x=123 cosq=BDACBDAC=1，q=60 2因此，线段BD与平面a所成的角等于90-q=3

17、0. 11、解：以点O为原点建立坐标系，得下列坐标：O(0,0,0)，3A(4,0,0)，B(0,3,0)，O(0,0,4)，A(4,0,4)，B(0,3,4)，D(2,4)，239P(0,3,z).由OPBD=(0,3,z)(2,-,4)=0，解得z=. 289PB83所以，tanq=. OB3812、解：不妨设这条线段MN长为2，则点M到二面角的棱的距离MP=1，点N到二面角的棱的距离NQ=1，QM=PN=3，PQ=2. PQ(MP+PQ+QN)PQ2， q=45. cosq=22222PQMNPQMN2习题3.2 B组 1、解：SDABC=122=2， 2ADBE=(AB+BD)BE=2

18、2cos45+0=2， ADBE=AD2cosq=VABCD20AD，AD=20，BD=20-4=4. 1018=42= 332、解：以点B为原点建立坐标系，得下列坐标：B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，F(1,1,0)，M(22a,0,1-a)，2222a,a,0). 22222MN=(0,a,a-1)2=a2-2a+1，MN=a2-2a+1. 222212)+，当a=a2-2a+1=(a-时，MN的长最小. 222N(新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 1112时，MN的中点为G(,)， 2442GAGB1所求二面角的余弦值cosq=-. 3GAGB当a=3、证明

19、：设AE=BF=b. 以点O为原点建立坐标系，得下列坐标：O(0,0,0)，A(0,a,0)，B(-a,a,0)，C(-a,0,0)，O(0,0,a)，A(0,a,a)，B(-a,a,a)，C(-a,0,a)，E(-b,a,0)，F(-a,a-b,0). AFCE=(-a,-b,-a)(a-b,a,-a)=0，AFCE. 1111SDBEF=b(a-b)=a2-(a-b)2，当a=2b时， 2242SDBEF最大，三棱锥体积最大. 此时，EF的中点G与点B的连线 BB2tanq=22. BG=a，BG4新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 第三章 复习参考题A组 1、B. 11111a+b

20、+c； AM=a+b+c； 222221114AN=a+b+c； AQ=a+b+c. 25553、证明：因为2、AP=AMBA1=(AB+BC+CM)(BA+AA1)=ABBA+CMAA1=-3+ 所以AMBA1 4、解：以点C为原点建立坐标系，得下列坐标： 6=0213C(0,0,0)，A(a,0,0)， AB(a,a,0)，C1(0,0,2a). 1(a,0,2a)，2233点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2(a,a,2a)， 44AC1AC23，q=30. cosq=2AC1AC25、解： cosq=ABACABAC=1，q=60，S=ABACsinq=73. 2设a的坐标为(x,

21、y,z)，则(x,y,z)(-2,-1,3)=0， (x,y,z)(1,-3,2)=0 解得a=(1,1,1)，或a=(-1,-1,-1) 6、解：cosp4=OAOCOAOC=m+n26=，m+n=； 223cosp4=OBOCOBOCn+p26=，n+p=. 223m2+n2=n2+p2=1，解得n=cosAOB= OAOBOAOB=62. 4n2m2+n2n2+p2=23. 4新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 7、D. 8、C. 9、解：以点C为原点建立坐标系，得下列坐标： 13C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(,0)， 221313,2)，M(,0)，N(0,0,z).

22、C1(0,0,2)，B1(,22441AB1MN=0，得z=. 811点N坐标为(0,0,)，即点N在CC1上，CN=. 88 10、证明：因为EFCF=(ED+DF)CF=EDCF+DFCF=0， 所以EFCF. 1解：因为EFCG=(ED+DF)(CB+BG)=，4EFCG15， cosq=15EFCG所以，EF与CG所成角的余弦值为解：CE=1+15. 1515. =4211、解：以点C为原点建立坐标系，得下列坐标： C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)， 11M(,2)，N(1,0,1). 22BN=1+2=3

23、. cos=BA1CB1BA1CB1=30. 1011因为A1BC1M=(-1,1,-2)(,0)=0，所以A1BC1M. 2212、解：以点O为原点建立坐标系，得下列坐标： 22,0,0)，B(0,0)， 2222222,0,)，F(-C(-,0,0)，E(,0). 44244O(0,0,0)，A(新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 1OEOF1cosq=8=-，EOF=120. 2OEOF1122-13、证明：因为FE=11(BA-BC)=CA，2211HG=(DA-DC)=CA 22所以FE=HG. 因此E,F,G,H四点共面. 因为BD在平面EFGH之外，BDEH，所以BD平面E

24、FGH. OM=1(OE+OG)=11(OA+OB)+1(OC+OD)=1(OA+OB+OC+OD). 22224第三章 复习参考题B组 1、解：AC=ACAC=(AB+BC+CC)2=2a2-2ab+b2. 设BD与AC的夹角为q， 则BDAC-abbb4a2+2b2.cosq=-=-2222224a+2bBDAC2a+b2a4a+2b由于BD与AC所成的角的范围为0,， 2pb4a2+2b2因此直线BD与AC夹角的余弦值为. 224a+2b2、证明：因为AC1AE=(AB1+BC)AE=BCAE=BC(AB+BE)=0 所以ACAE； 1 因AC+DC)AF=DCAF=BC(AD+DF)=

25、0 1AF=(AD1 所以ACAF， 因此，AC平面AEF. 11解：以点A1为原点建立坐标系，得下列坐标： A1(0,0,0)，B1(4,0,0)，C1(4,3,0)，D1(0,3,0)，A(0,0,-5)， B(4,0,-5)，C(4,3,-5)，D(0,3,-5). aAC1aAC1122 25为设平面D1B1BD的法向量为a=(x,y,0)，则aB1D1=0，得4x=3y. 令x=3,y=4，则a=(3,4,0)， 所以 cosq= 3、解：V=1. 4新课程标准数学选修21第三章课后习题解答 以点A为原点建立坐标系，得下列坐标： 1A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(,0,0)，S(0,0,1) 2设平面SDC的法向量为a=(x,y,1)，则aSC=0，aSD=0，得x=2,y=-1. 因此a=(2,-1,1). cosq=aADaAD=6. 3新课程标准数学选修21第三章课后习题解答