数学推导公式.docx

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1、数学推导公式和差化积公式推导 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2c

2、osa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设

3、为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 三倍角公式推导过程 tan3=sin3/cos3 =(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) =(2sincos2()+cos2()sin-sin3()/(cos3()-cossin

4、2()-2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得： tan3=(3tan-tan3()/(1-3tan2() sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos2()+(1-2sin2()sin =2sin-2sin3()+sin-2sin3() =3sin-4sin3() cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin =(2cos2()-1)cos-2cossin2() =2cos3()-cos+(2cos-2cos3() =4cos3()-3cos 即 sin3=3sin-4sin3() cos3=4cos3()-3cos 万能公式推导过程 s

5、in2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*， (因为cos2()+sin2()=1) 再把*分式上下同除cos2()，可得sin2=2tan/(1+tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 一次函数常用公式 1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和) 一次函数的表达式的确定方法 已知点A(x1，

6、y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一次函数的图像及性质 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，

7、都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线只通过一、三象限;当k0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象; 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=

8、a(x-h)2+k的图象; 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，开口向上，当a0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小;当x -b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x| 当=0.图象与x轴只有一个交点; 当0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左; 当a与b

9、异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当 k0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 当 k0,b0时，直线必通过一、二象限; 当b0时，直线只通过一、三象限;当k0时，y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到， 当h0,k0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；

10、 当h0,k0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2-k的图象； 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象； 当h0,k0时，开口向上，当a0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2A | 当=0图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象落

11、在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(a0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(

12、a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 二次函数抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。

13、4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时，对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 6.抛物线与x轴交点个数 = b2;-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _ = b2-4ac0时，抛

14、物线与x轴没有交点。X的取值是虚数 当a0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0) 7.特殊值的形式 当x=时 y=a+b+c 当x=-1时 y=a-b+c 当x=2时 y=4a+2b+c 当x=-2时 y=4a-2b+c 8.定义域：R 值域：(4ac-b2)/4a，正无穷）；t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： y=ax2+bx+c一般式 a0 a0，

15、则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下； 极值点：； =b2-4ac, 0，图象与x轴交于两点： 和； 0，图象与x轴交于一点： ； 0，图象与x轴无交点； y=a(x-h)2+k顶点式 此时，对应极值点为，其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a； y=a(x-x1)(x-x2)交点式 对称轴X=(X1-X2)/2 当a0 且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X/2时Y随X的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式。 二次函数的图像及画法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境

16、的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数yax2的图像的画法 用描点法画二次函数yax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数yx2的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线yx2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线yx2的顶点是图象的最低点.因为抛物线yx2有最低点.所以函数yx2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a0时，yax2的图像 当a0时

17、，y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到， 当h0,k0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2-k的图象； 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象； 当h0,k0时，yax2的图像 当a0时，yax2的图像 开口方向：a0向上，a0向下 顶点坐标：(0,0) 对称轴：Y轴 函数变化： 当a0 x0时，y随x增大而增大； x

18、0时，y随x增大而减小. 当a0 x0时，y随x增大而减小； x0时，y随x增大而增大. 最大(小)值： 当a0，当x0时，y最小0. 当a0，当x0时，y最大0. 关于二次函数的概念：定义与定义表达式 二次函数概述 二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：y=ax2;+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a) 顶点式：y=a(x-h）2+k或y=a(x+m)2+k (两个式

19、子实质一样,但初中课本上都是第一个式子) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念： 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=-b根号下(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式 求根的方法还有十字相乘法和配方法 反比例函数 解读确定二次函数的解析式 确定二次函数的解析式，是初中数学学习的一个重要的内容。因此，同学们要认真把这部分的内容学好，掌握起来。要想学好这部分内容，同学们要解决如下四个问题； 一、熟记常见的二次函数关系式 常见的二次函数的关系式有如下六种表达形式，具体为： 二、理解确定二次函数关系式的基本内涵 所谓确定二次函数的关系式

20、，具体来说就是： 这是最基本的理解，同学们要体会准确。 三、掌握确定二次函数关系式的基本条件 确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是： 2对于表达式是y=ax的,要确定出待定字母a的值的基本条件是： 知道图像上一个点的坐标。 2对于表达式是y=ax+bx的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是： 知道图像上两个点的坐标。 2对于表达式是y=ax+c的, 要确定出待定字母a、c的值的基本条件是： 知道图像上两个点的坐标。 2对于表达式是y=a(x-h)的, 要确定出待定字母a、h的值的基本条件是： 知道图像上两个点的坐标。 2对于表达式是y=a(x-h)+k(a0）的, 要确定出待定字母a

21、、h、k的值的基本条件是： 知道图像上三个点的坐标。 特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标 2对于表达式是y=ax+bx+c中, 要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是： 知道图像上三个点的坐标。 这是最基本的理解。 四、确定二次函数关系式的基本题型 4.1二次函数关系式设为：y=ax 例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。 解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点， 2所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax， 因为，AB=20，所以

22、，FA=FB=10， 因为，CD=10，所以，EC=ED=5 所以，点A的坐标为，点C的坐标为， 所以， 2y2= a2=25a， y1= a2=100a， 因为，EF=3，所以，y2-y1=3， 所以，25a -100a=3， 解得：a=-112，所以，所求函数的解析式：y=- x。 2525小结： 当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下： 设二次函数的解析式为：y=ax 把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程； 解方程，求得a值； 把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。 4.2二次函数关系式设为：y=ax+bx 例2、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物22线y=-128x+x，其中y是球的飞行高度，x是球飞出的水平距离，结果球55离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴 请求出球飞行的最大水平距离 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式 解： y=-128x+x 551