数学强化班高数第三章 一元函数积分学.docx

《数学强化班高数第三章 一元函数积分学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学强化班高数第三章 一元函数积分学.docx（95页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、数学强化班高数第三章 一元函数积分学第三章 一元函数积分学 第一节 不定积分 1两个概念: 1）原函数： F(x)=f(x) 2）不定积分：f(x)dx=F(x)+C 2基本积分公式： 1) 3) dxxdx22 2)=arcsin+C.=ln|x+xa|+C 2222aa-xxadx1xdx1a+x=arctan+C.=ln| 4) a2+x2aa2-x22aa-x|+C. a5) secxdx=ln|secx+tanx|+C. 6) cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C. 3三种主要积分法 1）第一类换元法 若f(u)du=F(u)+C,则f(j(x)j(x)dx=F(j(x)+

2、C 2）第二类换元法： f(x)dxx=j(t)f(j(t)j(t)dt=F(t)+C=F(ji)-1(x)+C a2-x2,x=asint(acost)ii)a2+x2,x=atantiii)x2-a2,x=asect 3）分部积分法 udv=uv-vdu“适用两类不同函数相乘” axp(x)edx,nxpn(x)sinaxdx,naxp(x)cosax,ensinbxdx， nneacosbxdx,p(x)lnxdx,p(x)arctanxdx,p(x)arcsinxdx 4三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 R(x)dx 部分分式法； 简单方法； 2) 三角有理式积分 R(sinx,

3、cosx)dx 万能代换 令tan=t x2 64 简单方法 3) 简单无理函数积分 R(x,nax+b)dxcx+d 令 nax+b=t cx+d例一 基本题 例3.1 I=dxx(4-x)dx4x-x2=dx4-(x-2)2=arcsinx-2+c 2解法1 I=解法2 I=2d(x)x=2arcsin+c 4-x2dxcosxsinx. 例3.2 I=解 I=dxcosxdxdsinxdsinx=2cosxsinxcos2xsinx(1-sin2x)sinx1-sin2x dtdt11=2=(+)dt 422221-t(1-t)(1+t)1-t1+tdx 令sinx=t 2例3.3 I=

4、x51+x2解法1 令x=tant ，则 dx=sec2tdt tan5tsec2tdtI=tan4t(tantsect)dt=tan4td(sect) sect =(sect-1)d(sect)=(u-1)du (u=sect) 222212531 =(8-4x2+3x4)1+x2+c 15 =u5-u2+u+c 1x4dx2解法2 I=x4d(1+x2) 21+x265 =x41+x2-4x31+x2dx =x41+x2-2(x2+1)-11+x2d(1+x2) =x41+x2-(1+x2)例3.4 I=455234+(1+x2)2+c 3dx e-1xxex解 I=2xdex-1=2xe

5、x-1-2ex-1dx 2t2xe-1dx=dt 21+tx =2t-2arctant+C 则 I=2xex-1-4ex-1+4arctanex-1+c 例3.5 lnxdx 1+x解法1 原式=2lnxd1+x =21+xlnx-21+xdx x1+xt2dx1+x=t22dt xt-1 =2dt+2 =2t+lndtt2-1 t-1+C t+11+x-1+C 1+x+1原式=21+xlnx-41+x-2ln解法2 令1+x=t，则 ln(t2-1)2tdt=2ln(t2-1)dt 原式=t2t2 =2tln(t-1)-22dt t-12 66 =21+xlnx-41+x-2ln1+x-1+

6、C 1+x+1arctanexdx 例3.6 2xe解法1 原式=-1arctanexde-2x 21-2x1e-xxdx =-earctane+221+e2x1-2x1dexx =-earctane+2x 22e(1+e2x) =-e-2xarctanex+e-x+arctanex+C 解法2 令ex=t，则 原式=12arctant11dt=-arctantd t32t2 =- =-arctant11+dt 2222t(1+t)2tarctant11-arctant+c 22t22t1 =-e-2xarctanex+e-x+arctanex+C 21dx 例3.7 I=x+x9dxx7dx

7、1du8解法1 I= = 888x(1+x)x(1+x)8u(1+u)(1+x8)x8dx1x7dx =-解法2 I=88x(1+x)x1+x1dx-81解法3 I=-=-ln|1+x-8|+c -8181+x8x9(1+8)xdx1+x41+x4-x2+x2dx1dx3dx=dx=+例3.8 I= 66261+x1+x1+x31+x例3.9 I=dx1+sinx67 解法1I=解法2I=1-sinx1dcosxdx=dx+cos2xcos2x cos2xdxdxxp=tan-+C ppx241+cos-x2cos2-242x2dt2t=t dx= sinx= 21+t21+t22dt1dt-

8、2-2I=2=+C=+C (1+t)21+tx1+t21+2t1+tan21+t2dx例3.10 1+sinx+cosxx解 令tan=t，则 2解法3令tan2dt21+t原式= 2t1-t21+21+t2+t2dt1+t=ln(1+t)+C x =ln(1+tan)+C 2dx例3.11 I= 4sinxcosx =解法1I=sinxdxdcosxdu=-sin2xcos4x(1-cos2x)cos4x(1-u2)u4 (1-u4)+u4 =- 24(1-u)u解法2 sin2x+cos2xsinxdx1sin2x+cos2xI=dx+ =+ dx sinxcos4xcos4xsinxco

9、s2x3cos3xsinxcos2x1sinxdxdx+ 323cosxcosxsinx1dx 例3.12 I=2asin2x+b2cos2xdx1=-ctgx+c 解 1）若a0, b=0 I=2asin2xa211dx=tgx+c 2) 若a=0, b0 I=222bcosxb =68 3）若a0, b0 I=dxdu=cos2x(b2+a2tg2x)b2+a2u2 例3.13 1x+1xx-1dx。 x+1=t, x-1解法1令t2 原式=-42dt 2(t+1)(t-1)(t2+1)+(t2-1)=-22dt (t+1)(t2-1) =ln1+t-2arctant+c 1-t1x+1x

10、x2-1dx 解法2 原式= =dxx-12+dx1x21-2x1x =lnx+x2-1-arcsin+c 例二 变花样 例3.14 若xf(x)dx=arcsinx+c 求I=解 由xf(x)dx=arcsinx+c知 1dx f(x)+icn)= xf(x)=(arcs11-x2则 I=311222dx=x1-xdx=-(1-x)+c f(x)3(+1+x2)为f(x)的一个原函数， 求I=xf(x)dx. 例3.15 若lnx解 I=xf(x)dx=xf(x)-f(x)dx 69 =xln(x+1+x2-ln(x+1+x2)+C=()x2-ln(x+1+x)+C 21+xxex例3.16

11、 设F(x)为f(x)的原函数，且当x0时，F(x)f(x)= ，已知22(1+x)F(0)=1,F(x)0.求f(x). 12xex解法1由 F(x)f(x)=(F(x)= 222(1+x)xex(x+1)-1xexex F(x)=dx= edx=dx-dx (1+x)2(1+x)21+x(1+x)22exexexexdx-+dx=+c =1+x1+x1+x1+x由F(0)=1 c=0 xeee F2(x)= F(x)= f(x)=F(x)= 1+x1+x1+xxxxex1x解法2 F(x)= dx=-(xe)d21+x(1+x)2xexex(1+x)+dx =-(1+x)1+xxex+ex

12、+c =-(1+x)ex+c =1+xex1xex F(x)=，f(x)=. 1+xF(x)2(1+x)2例3.17 设f(ex)=sinx,求f(x)。 解法1 令ex=t，则f(t)=sinlnt f(t)=sinlntdt 70 =tsinlnt-tcoslntdt =tsinlnt-tcoslnt-tsinlntdt 则f(t)=sinlnt-coslnt+c 解法2 由f(ex)=sinx知 1t1tt2f(ex)=sinxdex =exsinx-excosxdx =exsinx-excosx-sinxdex ex则f(e)=sinx-cosx+c 2xxf(x)=sinlnx-co

13、slnx+c 2例3.18 求不定积分 e-|x|dx -e-x+c1,x0,解 edx=x e+c2,x0.-|x|e-|x|连续,原函数F(x)必连续, F(x)在x=0连续. x0-xlimF(x)=lim(-e+c1)=-1+c1 +x0x0xlimF(x)=lim(e+c2)=1+c2 -x0 -1+c1=1+c2 令 c1=c, 则c2=-2+c. -e-x+c,x0,故 edx=x e-2+c,x0.-|x|第二节 定 积 分 1。定义：baf(x)dx=limf(xk)Dxk l0k=1n2。可积性： 1）必要条件：f(x)有界； 71 2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第

14、一类间断点；3。计算： 1）baf(x)dx=F(b)-F(a) 2）换元法 3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性 5）利用公式 n-1n-31p,n偶(1)2sinnxdx=2cosnxdx=nn-22200n-1n-32,n奇 nn-23pp(2) xf(sinx)dx=0p20pf(sinx)dx4变上限积分：xaf(t)dt 1) 连续性：设f(x)在a,b上可积，则2）可导性：设f(x)在a,b上连续，则xaxaf(t)dt在a,b上连续。 f(t)dt在a,b上可导且 (f(t)dt)=f(x). ax变上限求导的三个类型： y(x)(1)f(t)dt=f(y(x)y(x)-f(

15、j(x)j(x)j(x)y(x)x(2)f(x,t)dt例1:F(x)=(t-x)f(t)dx 0j(x)bdx2(3)f(x,t)dt例2:sin(x-t)dta0dx3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则x0f(t)dt为偶函数。 x0 ii）若f(x)为偶函数，则f(t)dt为奇函数。 例1：设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是第一类间断点，则x0f(t)dt是： . (A)连续的奇函数; (B)在x=0间断的奇函数; 72 (C)连续的偶函数; (D)在x=0间断的偶函数. 12(x+1),若0x1,x2例2(XX年,数3，4)设g(x)=f(u)du,其中f(x)=则01

16、(x-1),若1x2,3g(x)在区间内 无界 递减 不连续 连续 例3 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 f(x)是奇函数 F(x)必是偶函数； f(x)是偶函数 F(x)必是奇函数； f(x)是周期函数 F(x)必是周期函数； f(x)是单调增函数 F(x)必是单调增函数. 5。性质： 1)不等式：i) 若f(x)g(x), 则baf(x)dxg(x)dx. ab ii) 若f(x)在a,b上连续，则m(b-a) iii) baf(x)dxM(b-a). baf(x)dx|f(x)|dx. ab2)中值定理： i） 若f(x)在a,b上连续，则baf(x)dx=f(c)

17、(b-a),acb ii） 若f(x),g(x)在a,b上连续，g(x不变号，则 baf(x)g(x)dx=f(c)g(x)dx,acb ab例设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且1bf(x)dx=f(b)。求证：在(a,b)内至少存在一点x，使f(x)=0. b-aa例 题 例一 基本题 73 2x2+sinx例3.19 I=dx; 2-11+1-x1x2解 I=4dx 201+1-x1 =41-1-x2dx 01 =4-4101-x2dx =4-p np01-sin2x dx; 解法1 原式=n =n =np01-sin2xdx (cosx-sinx)2dx cosx-sinx

18、dx p0p0 =np40(cosx-sinx)dx+p(sinx-cosx)=22n. 45p4p解法2 原式=np1-sin2xdx (cosx-sinx)2dx 45p4 =np45p4 =n例3.21 I=解 I= =p(sinx-cosx)dx=22n. 4pp0xsinnxdx . p0xsinnxdx sinnxdx p20 =pp20sinnxdx 74 n-1n-31pLp,nn-222 =n-1n-3L2p,nn-23例3.22 I=1n为偶数n为奇数xdx0(2-x2)1-x2; 解 令x=sint，则 I=20psintcostdt 2(2-sint)costp-dco

19、stp2=-arctancost 2041+cost3 =p20例3.23 I=0arcsinxdx; 1+x解 令arcsinpx2=t，则x=tant， 1+xI=3tdtan2t 0 =ttant2p30-3tan2tdt=0xp4p-3. 3psintdt，计算f(x)dx。 例3.24 设f(x)=0p-t0pxsinxppdx 解法1 f(x)dx=xf(x)0-0p-x0psintpxsinxdt-dx =p0p-t0p-x =解法2 p0p0sinxdx= p0f(x)dx=f(x)d(x-p) =(x-p)f(x)0-pp0(x-p)sinxdx p-x =解法3 p0sin

20、xdx=2 p0p0f(x)dx=dxsintdt 0p-tx 75 psint=dtdx=sinxdx=2. 0tp-t012 f(x)=1+x例3.25 I=f(x-1)dx 其中01x1+eppx0 x0解 令x-1=t，则 1dtdtI=f(t)dt=+ -1-11+et01+t10e-t1dt+ln(1+t) = 0-11+e-t0 =-ln(1+e-t)例3.26 I=解法1，令则0-1+ln2=ln(1+e). p20sinxdx ； sinx+cosxsinxA(cosx-sinx)+B(sinx+cosx)dx=dx sinx+cosxsinx+cosx1=-A+B11，解得

21、A=-,B= 220=A+B1p(sinx-cosx)+(sinx+cosx)I=2dx 20sinx+cosxp1p2= =(-ln(sinx+cosx)+x)0 24解法2 令x=pp2-t，则 psinxcostI=2dx=2dt 0sinx+cosx0sint+costp1psinxcosxdx+2dx =20sinx+cosx20sinx+cosx1pp =2dx= 204xe4例3.27 I=2psinxdx ; -1+ex2p 76 pxee-t4422解 I=psinxdx=sintdtp-1+ex-1+e-t22p(x=-t) =p2p-214sintdt t1+epx1pe

22、1442sinxdx+sinxdx =2p pxx-221+e21+e1p =2psin4xdx 2-2 =p2031p3psin4xdx= 42216例3.28 已知f(x)连续，解 令x-t=u得 x0tf(x-t)dt=1-cosx,求2f(x)dx的值. 0px0tf(x-t)dt=(x-u)f(u)du 0x =xx0f(u)du-uf(u)du 0xxxdxtf(x-t)dt=f(u)du+xf(x)-xf(x)=f(u)du 000dx从而有令x=x0f(u)du=sinx p2得： p20f(u)du=sin2p2=1 例3.29 设f(x)=arcsin(x-1),f(0)=

23、0,求解法1 10f(x)dx. 10f(x)dx=xf(x)0-xarcsixn-12dx 011 =f(1)- = =10xarcsin(x-1)2dx 10101f(x)dx-xarcsin(x-1)2dx 2(1-x)arcsin(x-1)dx 011 =arcsinudu 20 77 =uarcsinu0-解法2 12111up1du=-. 202421-u10f(x)dx=f(x)d(x-1) 011 =(x-1)f(x)0- =以下同解法1 例二 综合题 例3.30 求 lim1+n(x-1)arcsin(x-1)dx 20110(1-x)arcsin(x-1)2dx 12n1+

24、2L1+2; 2nnn2222221n1n解 令 yn=(1+12n)(1+)L(1+) 222nnn11222n2(+2)+ln1(+2)+L+ln1(+2) 则 lnyn=ln1nnnnnlimlnyn=ln(1+x2)dx 012x2pdx=ln2-2(1-) =xln(1+x)-001+x24211原式=eln2-2(1-)4pp=2e2-2x+2x+x例3.31设f(x)连续,且limf(x)=1,则limx+3tsinf(t)dt= . t解 lim3tsinf(t)dt x+xt3(xcx+2) =lim2csinf(c)x+cx+2 =6 例3.32 求极限 limxn1+x2

25、dx. n01解法1 由于 0xn1+x2dx0 注：说明积分2p0esintsintdt0最简单的方法是几何的方法. 例3.35 试证:F(x)=(t-t)sin20x2ntdt在x0上最大值不超过1. (2n+2)(2n+3)2n证 令F(x)=(x-x2)sinx=0 得 x=1，x=kp 由于在x=kp邻近两侧F(x)不变号，则x=kp不是F(x)的极值点，而 当0x0，当x1时，F(x)0,f(-t)=f(t). 令F(x)=a-a|x-t|f(t)dt.-axa 1) 试证曲线y=F(x)在-a,a上是凹的. 2) 当x为何值时,F(x)取得最小值. 3) 若F(x)的最小值可表示

26、为f(a)-a2-1,试求f(t). 解1) 证：由于 F(x)=x-tf(t)dt -aa =x-a(x-t)f(t)dt+(t-x)f(t)dt xa =xx-axf(t)dt-tf(t)dt+tf(t)dt-xf(t)dt -axxaxxaaF(x)=f(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)+xf(x)-f(t)dt -a =x-af(t)dt-f(t)dt xaF(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 则曲线y=F(x)在-a,a上是凹的 2) 令F(x)=x-af(t)dt-f(t)dt=0 xa得 F(0)=0 又F(x)0，则F(x)单调增，从而x=0为F(x)在-a,

27、a上唯一的驻点，又F(0)0，则F(x)在x=0取极小值，由唯一性知，F(x)在x=0取最小值. 3) F(x)在-a,a上最小值为 F(0)=tf(t)dt=2tf(t)dt -a0aa从而有 82 2tf(t)dt=f(a)-a2-1 0a上式两端对a求导得，2af(a)=f(a)-2a 解此一阶线性微分方程得f(a)=ce-1 又f(0)=1，则c=2，从而 a2f(t)=2et-1 例三 积分不等式 证明积分不等式常用的方法： 1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分； 4）柯希积分不等式； (例3.40 求证:证：2baf(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx

28、； aabb2p0sinx2dx0. 2p0sinxdx =22p0sintdt 2t =2pp02psintsintdt+dt p2t2t而 pp-sinusintdt=du 02tp+u则2p0sinx2dx=p0sint11-dt0 2tp+t例3.41 设f(x)在 0, 1上连续,非负，单调减。 求证:a0f(x)dxaf(x)dx (0a1) 01证法1 只要证即 (1-a)a0f(x)dxaf(x)dx+af(x)dx 0a1aa1a0f(x)dxaf(x)dx 由积分中值定理知 (1-a)f(x)dx=a(1-a)f(c1) 0c1a 0aaf(x)dx=a(1-a)f(c2)

29、 ac2f(c2) 则(1-a)a0f(x)dxaf(x)dx a11原题得证 证法2 a0f(x)dx=af(at)dt 0 =a10f(ax)dx 由于f(x)单调减，axf(x) 从而有 a即 10f(ax)dxaf(x)dx 0101a0f(x)dxaf(x)dx ba例3.42 设f(x)在a,b上连续，单调增。求证:xf(x)dx证法1，令F(x)=b+abf(x)dx a2xatf(t)-x+axf(t)dt 2a只要证明F(b)0，显然F(a)=0 2+a1xf(x)-f(t)dt 22ax1 =(x-a)f(x)-f(t)dt a21(acx) =(x-a)f(x)-(x-a)f(c)2 0 而F(x)=xf(x)-则F(b)F(a)=0 原式得证. 证法2 由于f(x)在a,b上单调增，