数学和差化积公式.docx

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1、数学和差化积公式sin +sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin =2cos(+)/2sin(-)/2 cos +cos =2cos(+)/2cos(-)/2 cos -cos =-2sin(+)/2sin(-)/2 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 法1 sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2的证明过程 因为 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 设 +=，-= 那么 =(+)/2, =(-

2、)/2 把，的值代入，即得 sin +sin =2sin(+)/2cos(-）/2 法2 根据欧拉公式，e Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e I=eia*eib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos+isin 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 正切的和差化积 tantan=sin()/(coscos) cotcot=sin()/(sinsin) tan+cot=cos(-)/(cossin) tan-cot

3、=-cos(+)/(cossin) 证明：左边=tantan=sin/cossin/cos =(sincoscossin)/(coscos) =sin()/(coscos)=右边 等式成立 注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然 生动的口诀： 帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅 哥+哥=哥哥 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然 语文老师教的口诀： 口口之和仍口口 cos +cos =2cos(+)/2cos(-)/2 赛赛之和赛口留 sin

4、+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 口口之差负赛赛 cos -cos =-2sin(+)/2sin(-)/2 赛赛之差口赛收 sin -sin =2cos(+)/2sin(-)/2 另一口诀： 正和正在先，sin +sin=2sin(+)/2cos(-)/2 正差正后迁，sin -sin =2cos(+)/2sin(-)/2 余和一色余，cos +cos =2cos(+)/2cos(-)/2 余差翻了天，cos -cos =-2sin(+)/2sin(-)/2 记忆方法 和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。 如何只记两个公式甚至一个 我

5、们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。 而第二个公式中的-sin =sin，也就是sin -sin =sin +sin，这就可以用第一个公式解决。 同理第四个公式中，cos -cos =cos +cos，这就可以用第三个公式解决。 如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。 用的时候想得起一两个就行了。 结果乘以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是-1,1，其积的值域也应该是-1,1，而和差的值域却是-2,2，因此乘以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有

6、系数2，如： cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin 故最后需要乘以2。 只有同名三角函数能和差化积 无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。 乘积项中的角要除以2 在和差化积公式的证明中，必须先把和表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于和，这两个角应该是(+)/2和(-)/2，也就是乘积项中角的形式。 注意和差化积和积化和差的公式中都

7、有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。 使用哪两种三角函数的积 这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”(-)/2的三角函数名。 是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。 (-)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(-)/2的形式出现；反之，以sin(-)/2的形式出现。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么和调换位置对结果没有影响，也就是若把(-)/2替换为(-)/2，结果应当是一样的，从而(-)/2的形式是cos(-)/2；另一种情况可以类似说明。 余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。 当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当大于时，cos小于cos。但是这时对应的(+)/2和(-)/2在(0,)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cos放到cos前面，要么就在式子的最前面加上负号。