数值分析第二章小结.docx

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1、数值分析第二章小结第二章小结 对于n元线性方程组Ax=b(*),其中A为非奇异矩阵,当detA0时,方程组有唯一的解向量。求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。 一 、直接法 1、Gauss消去法:(1) 顺序Gauss 消去法:将矩阵化为上三角矩阵 (2) 列主元素Gauss消去法:将增广矩阵A(k),b(k)中绝对值最大的元素交换到底k行的主对角线上。 比较：顺序Gauss 消去法的计算结果数值稳定性没有列主元素Gauss消去法的好。 2、直接三角分解法： (1)定义 Doolittle分解法和Crout分解法:如果方程组Ax=b的系数矩阵A可以分解为A=LU,其中L是下三角矩阵

2、U是上三角矩阵,这样方程组Ax=b就化为两个容易求解的三角方程组:Ly=b,Ux=y。 定理3 Doolittle分解法的充要条件是矩阵A的前n-1阶顺序主子式DK0(k取1,2,3,4.,n-1) 推论 矩阵A有唯一Crout分解的充要条件是A的前n-1阶顺序主子式DK0(k取1,2,3,4.,n-1) Doolittle分解计算公式为: 对于k=1,2,3.,n ukj=akj-lktutj(j=k,k+1,.,n) t=1k-1 lik=(akj-litutk)/ukk(i=k+1,k+2,.,n;kn) t=1k-1则求解下三角方程组Ly=b和上三角方程组Ux=y的计算方程式: y1=

3、b1i-1yi=bi-lityt(i=2,3,L,n)t=1 xn=yn/unnnxi=(yi-uitxt)/uii,i=n-1,n-2,L,1t=i+1Crout分解计算公式为: 对于k=1,2,3.,n lik=aik-litutk(j=k,k+1,.,n) t=1k-1 ukj=(akj-lktutj)/lkk(j=k+1,k+2,.,n;kn) t=1k-1则求解下三角方程组Ly=b和上三角方程组Ux=y的计算方程式: y1=b1/l11i-1yi=(bi-lityt)lii(i=2,3,L,n)t=1 x=ynnnxi=yi-uitxt,i=n-1,n-2,L,1t=i+1(2)选主

4、元的Doolittle分解法 优点:对A的要求低,只要矩阵A可逆即可,即只要矩阵A非奇异便可通过对A做适当变换就可以了. 二、迭代法 1、思想：通过构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组Ax=b的解向量，通过求迭代矩阵，再通过迭代公式使解向量逐步逼近精确解。所以迭代法的缺点也很明显，凡是迭代法都存在收敛性与精度控制的问题。 2、迭代法的一般形式 把系数矩阵分为两个矩阵即A=N-P, (k+1)(k)X=GX+d,(k=0,1,2,L) 递推公式为:/li/为迭代矩阵G的谱半径 谱半径：=max1in定理 对任意矩阵dR,上述迭代法收敛的充要条件是谱半径小于1。 矩阵收敛的充分条件：迭代矩阵

5、的某种范数小于1。 Jacobi迭代法 -1G=-D(L+U) J 迭代矩阵:n(k+1)-1(k)-1x=-D(L+U)x+Db 迭代公式: Jacobi迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1 Jacobi迭代法收敛的充分条件:矩阵A是对角线按行或列严格占优势(则A也是非奇异矩阵)。 Jacobi迭代法收敛的充分条件:迭代矩阵的某种范数小于1。 GS迭代法 迭代矩阵:GG=-(L+D)-1U (k+1)-1(k)-1x=-(L+D)Ux+(D+L)b 迭代公式: GS迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1 GS迭代法收敛的充分条件:矩阵A是对角线按行或列严格占优势(则A也是非奇异

6、矩阵)。 GS迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵的某种范数小于1。 SOR迭代法 迭代矩阵:GS=-(L+D)-1U+(1-)D (k+1)x=-(L+ 迭代公式:1w1w1-11D)(1-)D+U) ww SOR迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1 SOR迭代法收敛的充分条件:矩阵A是对角线按行或列严格占优势,则用0w1的SOR方法求解必收敛。 SOR迭代法收敛的充分条件：如果系数矩阵A是正定矩阵，则用0w2的方法求解必收敛。 总结：很多问题最后都会归结为几个方程组的求解问题，对方程组的求解大学线性代数中介绍的克拉默法则条件苛刻，要求前提A0,而且计算量很大，所以克拉默法则是一个效率很低经济效益又很差的算法，在实际中用迭代法解方程组就是一个很现实的方法。迭代法的解法思想就是用逐次试探方程组的解，当相邻两次的解差值很小到可接受的范围时，此时的解即为最近似解，可以当做方程组的解。