数列通项公式的求法.docx

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1、数列通项公式的求法数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如an-an-1=f(n) (n=2、3、4.) 且f(1)+f(2)+.+f(n-1)可求，则用累加法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列an中，a1=1，an-an-1=n-1 (n=2、3、4) ，求an的通项公式。 解：n=1时，a1=1 a3-a2=2n(n-1) a4-a3=3 这n-1个等式累加得：an-a1=1+2+.+= 2 . an-an-1=n-1n(n-1)n2

2、-n+2n2-n+2*+a1= 故an= 且a1=1也满足该式 an= (nN). 222例2在数列an中，a1=1，an+1-an=2n (nN),求an。 *n2时,a2-a1=1 a3-a2=223 解：n=1时, a1=1 a4-a3=2 以上n-1个等式累加得 . n-1 an-an-1=22(1-2n-1)n=2-2，故an=2n-2+a1=2n-1 且a1=1也满an-a1=2+2+.+2=1-22n-1n2时,a2-a1=2足该式 an=2n-1 (nN)。 二、累乘法 形如*an=f(n) (n=2、3、4)，且f(1)+f(2)+.+f(n-1)可求，则用累乘法an-1求a

3、n。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3在数列an中，a1=1，an+1=nan，求an。 解：由已知得an+1=n ，分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即anaaa2a3a4.n=123(n-1)=(n-1)!所以时，n=(n-1)!故an=(n-1)! a1a2a3an-1a1且a1=0!=1也适用该式 an=(n-1)! (nN). 例4已知数列an满足a1=解：由已知得*2nan，求an。 ，an+1=3n+1an+1n，分别令n=1，2，3，.(n-1),代入 =ann+1123n-1aa2a3a4 .n= .234na1a2a3a

4、n-1 上式得n-1个等式累乘，即 所以22an1。 =，又因为a1=也满足该式，所以an=33na1n三、构造等比数列法 原数列an既不等差，也不等比。若把an中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出an。该法适用于递推式形如an+1=ban+c或an+1=ban+f(n)或an+1= ban+cn其中b、c为不相等的常数，f(n)为一次式。 例5、已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1 (nN)，求数列an的通项公式。 解：构造新数列an+p，其中p为常数，使之成为公比是an的系数2的等比数列 即an+1+p=2(an+p) 整理得：an+1=2an+p使之满足a

5、n+1=2an+1 p=1 即an+1是首项为a1+1=2，q=2的等比数列an+1=22例6、设数列an的首项a1(0,1)，an=求an的通项公式。 n-1* an=2-1 n3-an-1，n=2、3、4 21的等比数列 23-an-1113即an+p=-(an-1+p) 整理得：an=-an-1-p满足an= 2222解：构造新数列an+p，使之成为q=-331p= p=-1 即新数列an-1首项为a1-1，q=-的 2221n-11n-1等比数列 an-1=(a1-1 故 an=(a1-1+1 ）22得 -例7、已知数列an中，a1=2，an+1=(2-1)(an+2) nN 求an的

6、通项公式。 解：构造新数列an+p，使之成为q=2-1的等比数列 *an+1+p=(2-1)(an+p) 整理得：an+1=(2-1)an+(2-2)p 使之满足已知条件 an+1=(2-1)an+2(2-1)(2-2)p=2(2-1)解得p=-2 an-2是首项为2-2 q=2-1的等比数列，由此得 an-2=(2-2)(2-1)n-1 an=2(2-1)n+2 例8、已知数列an中，a1=1，an+1=2an+3n，求数列的通项公式。 分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3是变量，而不是常量了。故应构造新数列an+l3n，其中l为常数，使之为公比是an的系数2的等比数列。 解：构造数

7、列an+l3n，l为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列 即an+1+l3n+1=2(an+l3n) 整理得：an+1=2an+(2l3n-l3n+1) 满足 an+1=2an+3n 得2l3-l3nn+1n=3n l=-1新数列an-3n是首项为a1-31=-2，q=2的等比数列 an-3n=-22n-1 an=3n-2n 例9、在数列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1 ，求数列的通项an。 解：构造新数列an+ln，使之成为q=4的等比数列，则an+1+l(n+1)=4(an+ln) 整理得：an+1=4an+3ln-l满足an+1=4an-3n+1，即3ln-l=-3n+1得

8、l=-1新数列an-n的首项为a1-1=1，q=4的等比数列 an-n=4n-1 an=4n-1+n 四、构造等差数列法 数列an既不等差，也不等比，递推关系式形如an+1=ban+bn+1+f(n)，那么把两边同除以bn+1后，想法构造一个等差数列，从而间接求出an。 例10数列an满足an=2an-1+2n-1(n2)且a4=81。求1是否存在一个实数l，使此数列a3 (2)若不存在，说明理由。 解：(1)由a4=2a3+24-1=81 得a3=33；又a3=2a2+23-1=33得a2=13； 又a2=2a1+22-1=13，a1=5 a1、a2、an+l为等差数列？若存在求出l的值及a

9、n；2n(2)假设存在一个实数l，使此数列an+l为等差数列 2nan+lan-1+lan-2an-1-l1+l2n-1-l-1-即= = = 该数为常数 nn2n2n-12n22l=-1 即an-1a1-1=2，d=1的等差数列 为首项n122an-1n=2+(n-1)1=n+1 an=(n+1)2+1 n2*例11、数列an满足an+1= -2an+(-2)n+1 (nN)，首项为a1=-2，求数列an的通项公式。 解：an+1= -2an+(-2)n+1 两边同除以(-2)n+1得an+1an=+1 (-2)n+1(-2)n数列anan-2是首项为=1，d=1的等差数列=1+(n-1)1

10、=n n1n(-2)(-2)(-2)n故an=n(-2) 例12数列an中，a1=5，且an=3an-1+3n-1 ，试求数列an的通项公式。 解：构造一个新数列an+lan+lan-1+ll=+d ，为常数，使之成为等差数列，即nnn-1333nn 整理得an+l=3an-1+3nd+3l，让该式满足an=3an-1+3n-1取d3=3，1a+l12=3，2l=-1得l=-，d=1 ，即nn是首项为公差d=1的等差数列。 233121an-2=3+(n-1)1=n+1 a=(n+1)3n+1 故n223n22a1-例13、在数列an中，a1=2，且an+1=lan+ln+1+(2-l)2其中

11、l0，(I)求数列an的通项公式。 解：ln+1n*的底数与an的系数相同，则两边除以ln+1得an+1ln+1=anln+1+2n+1ln+1-2nln 即an+1-2n+1ln+1=an-2nln+1an-2nln是首项为a1-2l=0，公差d=1的等差数 列。 五、 an-2nln=0+(n-1)=n-1 an=(n-1)ln+2n。 取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有anan+1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以anan+1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an。 例14、已知数列an，a1= -1，an+1=an* nN，求an=？ 1-an11=+1

12、 anan+1解：把原式变形得an+1-an+1an=an 两边同除以anan+1得111是首项为-1，d=-1的等差数列故=-1+(n-1)(-1)=-nan=-。 nanan33nan-1*，且an=(I)22an-1+n-1例15、已知数列an满足a1=求数列an的通项公式。 解：把原式变形成2anan-1+(n-1)an=3nan-1 两边同除以anan+1得 即1n1n-12n=+ 构造新数列+l，使其成为公比q= 的等比数列 3an3an-13an22n1n-1nn-12+l=(+l)整理得：=-l 满足式使-l= l=-1 33an3an-1an3an-131n11-1是首项为-

13、1=-，q= 的等比数列 3ana13即数列n3nn11n-11n。 -1=-=- an=n3-1an333例16已知各项均为正数的数列an满足：a1=3，且2an+1-an=anan+1 2an-an+1nN*求数列an的通项公式。 解：把原式变形为2an+1-an=anan+1(2an-an+1) 两边同除以anan+1得1121-=2an-an+1 移项得：-an+1=2(-an) an+1ananan+1所以新数列1118-an是首项为-a1=-3=- q=2的等比数列。 ana133故111-an=-2n+2 解关于an的方程得an=(2n+1+22n+2+9)。 3an3六利用公式

14、an=Sn-Sn-1(n2)求通项 有些数列给出an的前n项和Sn与an的关系式Sn=f(an)，利用该式写出 Sn+1=f(an+1)，两式做差，再利用an+1=Sn+1-Sn导出an+1与an的递推式，从而求出an。例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足S11且6Sn= (an+1)(an+2) nN* 求an的通项公式。 解：由a1=S1=1(a1+1)(a1+2)解得a1=1或a1=2，由已知a1=S11，因此a1=2又由611an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2)得 66(an+1+an)(an-1-an

15、-3)=0 an0 an-1-an=3 从而an是首项为2，公差为3的等差数列，故an的通项为an=2+3(n-1)=3n-1. 例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列ak的前k项和为Sk，且Sk=其中a1=1，求数列ak的通项公式。 解：当k=1时，a1=S1=1akak+1(kN*)21a1a2及a1=1得a2=2； 当k2时， 2由ak=Sk-Sk-1=11akak+1-ak-1ak得ak(ak+1-ak-1)=2akak0ak+1-ak-1=2 22*从而a2m-1=1+(m-1)2=2m-1 a2m=2+(m-1)2=2m (mN) 故ak=k (kN). 例19.(07福

16、建文21)数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn ( nN),求an的通项公式。 解：由a1=1，a2=2S1=2，当n2时an=Sn-Sn-1=首项为a2=2，q=3的等比数列。故an=23n-2*1a(an+1-an)得n+1=3，因此an是2an (n2),而a1=1不满足该式 1 (n=1) 所以an=。 n-223(n2)例20.(06全国理22)该数列an的前n项和Sn=an的通项公式。 解：由Sn=412an-2n+1+ (n=1、2、3) 求333412412an-2n+1+ (n=1、2、3)得a1=S1=a1-4+ 33333341n2所以a1=2 再Sn-1

17、=an-1-2+ 33341n+1n将和相减得：an=Sn-Sn-1=(an-an-1)-(2-2) 33整理得an+2n=4(an-1+2n-1) 因而数列an+2n是首项为a1+2=4,q=4 的等比数列。即an+2n=44n-1=4，因而an=4n-2n。 n七重新构造新方程组求通项法 有时数列an和bn的通项以方程组的形式给出，要想求出an与bn必须得重新构造关于an和bn的方程组，然后解新方程组求得an和bn。 31a=a+bn-1+1nn-144例21.：已知数列an，bn满足a1=2，b1=1且b=1a+3b+1nn-1n-144,求数列an，bn的通项公式。 解析：两式相加得a

18、n+bn=an-1+bn-1+2 则an+bn是首项为a1+b1=3，d=2的等差数列，故an+bn=3+2(n-1)=2n+1(1) 1111an-1-bn-1=(an-1-bn-1) 则an-bn是首项为a1-b1=1，q=22221n-1的等比数列，故an-bn=(2) 2而两式相减得an-bn=an+bn=2n-111n11na=n+b=n+-。 联立(1)、(2)得 由此得，1n-1nn2222a-b=nn2分析该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出an、bn的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出

19、一种通法。 an+1=2an-6bn+例22.在数列an、bn中a1=2，b1=1，且求数列an和bnb=a+7bnnn+1的通项公式。 解析：显然再把an+1与bn+1做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列an+lbn其中为l0的常数。则an+1+lbn+1=2an-6bn+l(an+7bn)=(2+l)an+(7l-6)bn=(2+l)(an+7l-6b)令l+2nl=7l-6得l1=2或l2=3 则an+lbn为首项a1+lb1，q=l+2的等比数列。 l+2n-1即l1=2时，an+2bn是首项为4，q=4的等比数列，故an+2bn=44 =4； nl2=3时，an+3bn是首项为5，

20、q=5的等比数列，故an+3bn=55n-1=5n nan+2bn=4nnnn联立二式解得，。 a=34-25b=5-4nnnan+3bn=5注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法 解：构造新数列an+lbn，则 31133+l1+3la+ban+lbn=(+l)an-1+(+l)bn-1+(1+l)=n-1n-1+(1+l) 444443+l令l=1+3l得l1=1或l2=-1即l1=1时，新数列an+bn中，an+bn=an-1+bn-1+2 3+l-(an-1+bn-1)=2 新数列an+bn是首项为a1+b1=3，d=2的等差数列 an+bn=3+2(n-1)=2n+1(1

21、) 当l2=-1时，新数列an-bn是首项为a1+b1=1，q=1的等比数列 21an-bn=2n-1(2) an+bn=2n+1nn1111n-1 联立(1)、(2) 1 得an=n+ ，bn=n+-。 2222an-bn=2例23.在数列an、bn中，a1=b1=1，且的通项公式。 解：构造新数列an+lbn，则 an+1=5an+15bn+，求an、bnbnbn+1=an+715+7l15+7l得l1 bn，令l=an+1+lbn+1=(5+l)an+(15+7l)bn=(5+l)an+5+l5+l=-3或l2 =5 an+lbn为首项a1+lb1，q=l+5的等比数列 即l1=-3时，an-3bn是首项为a1-3b1=-2，q=5+l =2的等比数列，故an-3bn=-22n-1=-2n； 当l2 =5时，an+5bn是首项为a1+5b1=6，q=l+5=10的等比数列，故an+5bn=610n-1n93an-3bn=-2n-1n-3n-1n-3a=10-52b=10+2联立二式得，。 nnn-144an+5bn=610