数值分析教教.docx

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1、数值分析教教第2章 数值积分 本章介绍数值积分的计算方法。数值积分内涵丰富，包括牛顿-柯特斯求积公式、梯形求积公式、抛物形求积公式、复合抛物形求积公式、龙贝格求公式和高斯求积公式。 设F(x)为f(x)的原函数，由牛顿-莱布尼兹公式知，对定义在区间a,b上的定积分，有： baf(x)dx=F(b)-F(a) 但是并不是区间a,b上的所有可积函数的积分值的计算都可由牛顿-莱布尼莱公式解决的，比如说有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数e-x2、sinxx等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。但是理论上，定积

2、分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。本章讨论的数值分析是建立定积分的近似计算公式，以解决定积分的近似计算。由微分知识知定积分的定义： bnaf(x)dx=limnf(xk)Dxkk=1可知，若等式的右边取某一近似值，即： bnaf(x)dxAk=0kf(xk)其中Ak(k=0,1,2,L,n)与函数f(x)无关，称为求积系数，而式称为求积公式。要确定一个求积公式，最主要的就是要确定求积系数Ak，或者说不同的求积系数决定不同的求积公式。 2.1 机械求积 2.1.1 数值求积的基本思想 众所周斯，积分值I在几何上可解释为由x=a,x=b,y=0,

3、y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。积分计算之所以有困难，就在于这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的。 依据积分中值定理，对于连续函数f(x)，在a,b内存在一点x，成立 baf(x)dx=(b-a)f(x)就是说，底为b-a而高为f(x)的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I。问题在于点x的具体位置一般是不知道的。因而难以准确地算出f(x)的值。称f(x)为区间a,b上的平均高度，这样，只要对平均高度f(x)提供一种数值算法，相应地便获得一种数值求积方法， 按照这种理解，人们所熟知的梯形公式 中矩形公式 baf(x)dxb-a2f(a)+f(b) (2-2) 和辛甫生公式 bbaf(x)dx

4、(b-a)f(a+b2) (2-3) ab-aa+bf(x)dxf(a)+4f+f(b) (2-4) 62a+b2分别可以看作a,b,c=b-a三点高度的加权平均值f(a)+f(b)，f(c)21和6f(a)+4f(c)+f(b)作为平均高度f(x)的近似值。 更一般地，取a,b内若干个节点xk处的高度f(xk)，通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(x)，这类求积公式的一般形式是 bnaf(x)dxAk=0kf(xk)式中xk称为求积节点，Ak称为求积系数，亦称为伴随节点xk的权。 值得指出的是，求积公式具有通用性，即求积系数Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形

5、式。这类求积方法通常称作机械求积法，其特点是直接利用某些节点上的函数值计算积分值，而将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。 2.1.2 代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供的求积公式对于尽可能多的函数是准确的。如果求积公式对于一切次数m的多项km+1式是准确的，但对于次多项式不准确，或者说，对于x均能准确成立，但对于xm+1不准确，则称它具有m次代数精度。 直接验证易知，梯形公式与中矩形公式均具有一次代数精度，而辛甫生公式则具有3次代数精度。 我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式，譬如两点公式 有 baf(x)dx

6、A0f(a)+A1f(b) (2-6) 中含有两个待定参数A0,A1，令它对于f(x)=1与f(x)=x准确成立，A0+A1=b-a122A0a+A1b=(b-a) 2解之得A0=A1=b-a2。这说明，形如(2-6)且具有一次代数精度的求积公式必为梯形公式(2-2)。这一论断从几何角度来看是十分明显的。 一般地说，对于给定的一组求积节点xk，可以确定相应的求积系数Ak，使求积公式(2-5)至少具有n次代数精度。 事实上，令式(2-5)对于f(x)=1,x,L,x准确成立，即得 nA0+A1+L+An=b-a22b-aA0x0+A1x1+L+Anxn=2Ln+1n+1 (2-7) -aAxn+

7、Axn+L+Axn=b0011nnn+1这一方程组的系数行列式是范德蒙行列式，当xk互异时它的值异于0。可见，在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个解线性方程的代数问题。 2.1.3 插值型的求积公式 设已给出f(x)在节点xk的函数值，作插值多项式 npn(x)=式中 k=0nf(xk)lk(x)lk(x)=j=0jkx-xjxk-xj b由于多项式pn(x)的求积是容易的，可取apn(x)dx作为af(x)dx的近似值，即令 bbaf(x)dxbapn(x)dxnk=0nAkf(xk)=anbnf(xk)lk(x)dxbk=0Ak=0kf(xk)=k=0f(xk)lk(x)dxa

8、则这类求积公式具有式的形式，而其求积系数 Ak=是插值型的。 balk(x)dx上述求积公式，即依式给出求积系数的求积公式称作我们知道，对于任意次数n的多项式f(x)，其插值多项式pn(x)就是它本身，因此插值型的求积公式至少有n次代数精度。 反之，如果求积公式至少有数lk(x)是准确成立的，即有 n次代数精度，则它对于插值基函l(xj)具有bnalk(x)dx=Aj=0jk注意到lk(xj)=dkj，上式右端即等于Ak，因而式成立，可见至少n次代数精度的求积公式必为插值型的。 综上所述，我们的结论如下： 定理1 形如的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值形的。 这样，一旦求

9、积节点xk已被给出，那么，求积系数Ak的确定有两条可供选择的途径：求解线性方程组或者计算积分。 2.2 牛顿-柯特斯求积公式 并非所有定积分都能应用牛顿-莱布尼兹公式得出理想结果，大多数实际问题的积分需要用数值积分方法求出近似结果。数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，无论被积函数是解析解形式还是数表形式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，用对多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。由于所选多项式形式是不同的，可以有许多种数值积分方法，下面介绍一种最常用的插值型数值积分方法。 用一个容易积分的函数j(x)去代替被积函数f(x)，即找出满足baf(x)dxj(x)dx的j(

10、x)。j(x)自然以多项式pn(x)为最佳，这样的ab因为多项式能很好地逼近任何连续函数，而且容易求出其原函数。下边介绍的牛顿-柯特斯求积公式，就是用多项式函数pn(x)近似地代替被函数f(x)，用对pn(x)的积分代替对f(x)的积分推出的一种数值积分方法。 2.2.1 牛顿-柯特斯求积公式推导 1. 牛顿-柯特斯求积公式 用代数多项式pn(x)近似代替被积函数f(x)时，有： 的自变量为 baf(x)dxbapn(x)dx 为了用pn(x)近似代替f(x)，可以用前面讲过的插值法，先将被积函数f(x)x离散化，即把a,b区间分成n等份，步长为h，等分点的坐标则xi=a+ih，其中i=0,1

11、,2,L,n,h=(b-a)/n,x0=a,xn=b 再用y=f(x)的关系，求出函数在这(n+1)个等分点的取值yi=f(xi)=f(a+ih)，i=0,1,2,L,n。于是，在区间a,b上构造出了一个逼近函数f(x)的n次Lagrange插值多项式： npn(x)=式中， (x-xi=0w(x)w(xi)inf(xi)=(x-xi=0w(x)w(xi)iyiw(x)=(x-x0)(x-x1)L(x-xn)w(xi)=(xi-x0)L(xi-xi-1)(xi-xi+1)L(xi-xn)于是有： baf(x)dxbanw(x)dxpn(x)dx=f(x)i a(x-x)w(x)iii=0b调换

12、积分符号和累加和符号，并令Ki=nbadx，则得出： (x-xi)w(xi)nw(x)baf(x)dxbabw(x)f(xi)=pn(x)dx=dxa(x-x)w(x)i=0iiKi=0if(xi)对Ki进行变量代换：令x=a+th,t0,n，则dx=hdt。把x-xi=(t-i)h和xi-x0=ih代入w(x)和w(xi)，可得出： w(x)=w(a+th)=hn+1t(t-1)(t-2)L(t-n)， w(xi)=hih(i-1)h(i-2)Lh(2)hh(-1)h(-2)Lh(i-n) 整理得 w(xi)=h(-1)则： Ki=nn-i(i!)(n-i)! bw(x)(x-xi)w(xi

13、)n-iadx=nhn+1t(t-1)(t-2)L(t-n)n-i0(-1)h(i!)(n-i)!h(t-i)nhdt=(n)i(-1)i!(n-i)!=(-1)hnt(t-1)(t-2)L(t-n)(t-i)n0dtn-i引入记号 ci!n(n-i)!n0t(t-1)(t-2)L(t-n)(t-i)0dt=i!n(n-i)!(-1)n-it(t-1)L(t-i+1)(t-i-1)L(t-n)dt(n)i (2-10) (n)注意h=(b-a)/n，于是Ki=nhc=(b-a)ci(n)，而ci与被积函数，称它为柯f(x)、积区间a,b毫无关系，仅取决于插值多项式的次数n特斯求积系数。这样便于

14、得出牛顿-柯特斯求积公式： baf(x)dxbnnapn(x)dx=(n)i=0Kif(xi)=(b-a)cii=0(n)f(xi) (n)=(b-a)c0f(x0)+c1f(x1)+c2f(x2)+L+cn-1f(xn-1)+cnf(xn)(2-11) (n)(n)(n)2.柯特斯求积系数 既然柯特斯系数跟被积函数、积分区间无关，只与代替被积函数的多项式次数n有关，就可以在求积分前预先算出来。例如，用4次多项式代替被积函数，即取n=4，牛顿-柯特斯求积公式为 baf(x)dxb44ap4(x)dx=(4)i=0Kif(xi)=(b-a)cii=0(4)(4)f(xi) (4)=(b-a)c0

15、(4)f(x0)+c1f(x1)+c2f(x2)+c3(4)f(x3)+c4f(x4) 式中的系数cf(xi)(i=0,1,2,3,4)是被积函数在a,b区间等分点上的取值，,c(4)1(4)0,c(4)2,c3和c4可以用式(2-10)计算，如计算系数c2(4)(4)(4)时，将n=4,i=2,代入式(2-10)即可得出： c(4)2=42!(4-2)!(n)(-1)4-240t(t-1)(t-2)(t-4)dt=215 利用柯特斯求积系数ci的这个特性，可以预先把它们都计算出来列成表格，使用时只要查表即可。表2-1就部分柯特斯系数取值表。 表1 部分柯特斯系数取值表 n 0 1 2 ci(

16、n)(0in) 1 11,22141, 6661331,88887,16,23 4 ,16,790451545905 6 7 8 1928841840,25961441449,9,34,25,25,25969280,19288,9,41,35280105,35840,132317280,-7511728098928350n3577172805888,-,132317280928298917280,-298917280,357717280,75117280,1049628350454028350104962835092828350588828350989283502835028350柯特斯系数ci还具有下述特性。 在ci定义式中作代换t=n-i后其值不变，所以它具有对称性，即ci(n)(n)=cn-i。 n(n)i=0ci(n)=1。将f(x)1代入牛顿-柯特斯求积公式可得出该性质。将表(n)i2-1同一行中的c 由于当n取值相加，也可以验证该性质。 8时，柯特斯系数出现负值，根据误差理论此时将导致舍入误差的急剧增大。因此，一般都采用次数较低的插值多项式逼近被积函数，通常n的取值不得大于8。