数值分析1绪论习题课.docx

《数值分析1绪论习题课.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析1绪论习题课.docx（10页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、数值分析1绪论习题课绪论与非线性方程求根习题课 一、假设x1=4.8675,x2=4.08675,x3=0.08675是由四舍五入得到的近似数，求下列各近似数的误差限 1x1+x2+x3；2. x1x2; 3.x1x2 111-5-5-4e(x)10e(x)10Qe(x)10解：,22,32 121、e(x1+x2+x3)=e(x1)+e(x2)+e(x3) e(x1)+e(x2)+e(x3) 111-4-510+10+10-5=610-5 2222由e(x1x2)x2e(x1)+x1e(x2)得 e(x1x2)x2e(x1)+x1e(x2) x2e(x1)+x1e(x2)11-4-5-4 4

2、.0867510+4.867510=2.286751022x11x13e(x2)x2e(x1)-x22e(x2) x11e(x1)+2e(x2)x2x2114.86751-4-5-510+101.3692104.0867524.0867522e*x*-x二、.说明把相对误差的计算公式er=x=x用公式e*x*-xer=*=来代替的合理性，并指出这种替代的条*xx件。 证明： x*-xx*-x11*(x*-x)2er-er=-*=(-*)(x-x)=xxxxxx* 因而 22x-x2xx1erer-er=(*)=er*=er=e(x)1-erxxx-e(x)1-*x*2或 x*-x2xx2er-

3、er=*=erxxx+e(x)2e1=er2=re(x)1+er1+x说明只要er1或er1就可以替换。 三、设n次多项式 Pn(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 试构造一个计算Pn(x)的算法，使其计算量尽可能小。 四、设y0=28,按递推公式 1yn=yn-1-783,n=1,2, 100计算到y100，取78327.982，试问计算到y100将有多大误差？ 解 y0=281yn=yn-1-783n=1,2, 100*y0=28*1*27.982,yn=yn-1-100n=1,2, *e=y-y记n和相减，得 nn，e0=0e=e-1(783-27.982),nn-1100n

4、=1,2, 递推可得 nen=-(783-27.982),100因而 e100=-(783-27.982)e100110-32n=1,2, 非线性方程求根 1,1，由不动一、证明：对任意初始值x03点迭代xk+1=2-xk，k=0,1,2,产生的序1-xx列k都收敛于方程x=2在3,1的唯一根p。 若要求p的近似值的误差不超过102，试估计迭代次数。 -xk-xx=jx=2jx=2()()解：由k+1知迭代函数 k-4对x1/3,1，有 j(x)j(1),j(1/3)=0.5,0.79371/3,1 另外有 j(x)=-2-xln22-1/3ln2=0.55011 由定理得本题证明部分。 -4

5、x为使解p的近似值k的误差不超过10，根据误差估计式： Lkxk-px1-x0, 1-LLk-4x-x lnL取k=12可使近似解的误差不超过10 二、证明： 设j(x)在a,b上连续可微，且0j(x)1，*xxxa,bx=j(x)在a,b上有根x，0，但0，*-4则由 xk+1=j(xk),k=0,1,2. *产生的迭代序列xk单调收敛于x。 *x=jxx=jxa,b()x()，证明：因为在上有根，故有*x设x0b，则由 *x1-x*=j(x0)-j(x*)=j(x0)x0-x ()及0j(x)1知 0x1-xx0-x 于是 *x*x1x0 同理可得xx2x1,L,xxk+1xkxk存在，记

6、为x。 单调下降并以x*为下界，所以limk*x，因而kk=0 由0j(x)1知方程在a,b内的根是唯一的，显然有xk=x* x=x*。所以 limk 三、设函数f(x)的导数满足00，f(x)为单调函数，又f(x)=0的*f(x)=0x根存在，所以方程的根是唯一的。 由迭代格式xk+1=xk-lf(xk)可以得到迭代函数 j(x)=x-lf(x)和|j(x)|=|1-lf(x)|。 又0mf(x)M及0l2得 M0lmlf(x)lM2 所以有 -11-lM1-lf(x)1-lm1 故 |j(x)|L=max|1-lm|,|1-lM|0 (1)写出解方程f(x)=0的Newton迭代公式； (2)证明迭代格式是收敛的。 解：(1) Qf(x)=(x3-a)2，f(x)=6x2(x3-a) 有Newton迭代公式 xk+1 (2) 3xk-aQxk+1=xk-26xk3xf(xk)k-a=xk-=xk-26xkf(xk)k=0,1,LL2, 令 x3-aj(x)=x-6x2 *3f(x)=0x=a0x因为是的根，必存在的某个5a邻域，使j(x)连续可微。由 j(x)=6-3x3，显然 |j(x*)|=10，只要初值x0满足|x-x*|d，迭代序列xk就收敛于x*。 得证。 1因为j(x)=20，是线性收敛。 *