排列,组合巩固练习.docx
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1、排列,组合巩固练习巩固练习: 1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2.书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书 若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? 若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? 若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法? 3.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 说明
2、:解含排列数的方程和不等式时要注意排列数Anm中,*m,nN且mn这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围; 公式Anm=n(n-1)(n-2)L(n-m+1)常用来求值,特别是m,n均为已知时,公式An=mn!(n-m)!,常用来证明或化简 例1+1!5+2化简:+2!123n-1+L+;3!4n!+2L!+n3n 3解:原式=1!- 图二 12!+12!-13!+13!-14!+L+1(n-1)!-1n!=1-1n! 图一 提示:由(n+1)!=(n+1)n!=nn!+n!,得 ! =(n+1)!-n!, nn图三 原式=(n+1)!-1 若变为图二,图三呢? 5.五名
3、学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种? 6若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 A5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部 322例2解方程:3Ax=2Ax+1+6Ax 说明:n-1n!=1(n-1)!-1n! 课堂练习: 1若x=3n!3!,则x= n-3n (C)A3 (A)An (B)An(D)An-3 372与A10A7不等的是 3解:由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), x3, 3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x-1x+
4、72(A)A10 (B)81A8 (C)10A9 =1,0 239890解得 x=5或x=,x3,且xN*,原方程的解为x=5 (D)A10 533若Am=2Am,则m的值为 10xx-2例3解不等式:A96A9 (A)5 (B)3 (C)6 解:原不等式即9!(9-x)!69!(11-x)!6, (D)7 也就是1(9-x)!(11-x)(10-x)(9-x)!,化简得:4计算:2A9+3A99!-A10656= ; (m-1)!Am-1(m-n)!n-1= x-2x1+2, 0104*5若2(m+1)!Am-1m-142,则m的解集是 解得x13,又2x9,且xN, 所以,原不等式的解集为
5、2,3,4,5,6,7 nmn-m例4求证:An=AnAn-m;m6已知A10=109L5,那么m= ; (2n)!2n!n=135L(2n-1) 7已知9!=362880,那么A9= ; 证明:AnAn-m=(2n)!2n!nnmn-mn!(n-m)!2已知An=56,那么n= ; n(n-m)!=n!=An,原式成立 22已知An=7An-4,那么n= =2n(2n-1)(2n-2)L43212n!n7一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法? 8一部纪录影片在4个单位轮映,每一单位放映1场,有多少种轮映次序? 补充例题 例2某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖
6、直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? =2n(n-1)L21(2n-1)(2n-3)L312n!n=n!13L(2n-3)(2n-1)n!=135L(2n-1)=右边 原式成立 解:分3类:第一类用1面旗表示的信号有A13种; 第二类用2面旗表示的信号有A23种; 第三类用3面旗表示的信号有A33种, 由分类计数原理,所求的信号种数是:A13+A23+A333=3+23+2, 11=5答:一共可以表示15种不同的信号 例3将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多
7、少种不同的分配方案? 分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上,即从4个不同元素中取出4个元素排成一列,有A44种方法; 第二步:把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有A44种方法, 利用分步计数原理即得分配方案的种数 解:由分步计数原理,分配方案共有N=A444A4=576 答:共有576种不同的分配方案 例47位同学站成一排,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:7个元素的全排列A775040 7位同学站成两排,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:76543217!5040 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不
8、同的排法? 解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列A66=720 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有A22种; 第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种,所以,共有A252A5=240种排列方法 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法1:第一步从其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列有A5种方法,所以一共有A2555A52400种排列方法 解法2:若甲站在排头有A666种方法;若乙站在排尾有A6种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方
9、法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有A76572A6A5=2400种 说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑 例5从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法? 解法一:A159A9=136080; 解法二:若选:5A569;若不选:A9, 则共有5A569+A9=136080种; 解法三:A6510-A9=136080 例6 7位同学站成一排, 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素
10、一起进行全排列有A66种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A222种方法所以这样的排法一共有A66A2=1440种 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? 解:方法同上,一共有A535A3720种 甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有A25种方法;将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A245A4A22960种方法 解法二:将甲、乙
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