抽象函数习题精讲.docx

《抽象函数习题精讲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抽象函数习题精讲.docx（19页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、抽象函数习题精讲习题精选精讲 含有函数记号“由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)”有关问题解法 f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。 表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生x)=2x+1,求f(x). x+1xuu2-u=u,则x=+1=解：设f(u)=2x+11-u1-u1-u例1：已知 f(f(x)=2-x 1-x2.凑合法：在已知f(

2、g(x)=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知11f(x+)=x3+3xx，求f(x) 解：1111111f(x+)=(x+)(x2-1+2)=(x+)(x+)2-3)又|x+|=|x|+1 xxxxxx|x|f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3 已知解:设f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x). f(x)=ax2+bx+c，则f(x+1)+f(x-1)=a

3、(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c 2(a+c)=4131322a=,b=1,c=f(x)=x2+x+ =2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得2a=122222b=24.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:y=f(x)为奇函数,当 x0时,f(x)=lg(x+1),求f(x) f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x0,f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x), f(x)为奇函数，lg(1-x)=f(-x)=-f(x)当x0时f(x)=-lg(1-x)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有

4、f(x)+g(x)=lg(1+x),x0 f(x)=-lg(1-x),x0例5一已知解：1， 求f(x),g(x). x-1f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), f(x)+g(x)=1 中的x, x-1不妨用-x代换习题精选精讲 11即f(x)g(x)=- -x-1x+11x显见+即可消去g(x),求出函数f(x)=2再代入求出g(x)=2 x-1x-1f(-x)+g(-x)=5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例6：设解：f(x)的表达式 f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求

5、f(x) f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1 f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3f(n)=f(n-1)+n n(n+1)1以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=f(x)=x(x+1),xN 22二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)0,求证f(x)为偶函数。 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 证明：令x=0, 则已知等式变为在中令y=0则2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)+f(-y)=2f

6、(y)f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由f(x)在定义域内递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的取值范围。 f(1-m)+f(1-m2)0得f(1-m)-f(1-m2)，f(x)为函数，f(1-m)f(m2-1) -11-m1又f(x)在内递减，-1m2-110mm2-13.解不定式的有关题目 例9：如果f(x)=ax2+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 f(2+t)=f2-t)x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 解：对任意t有又其开口向上f(2)最小，f(1)=f(3)在

7、2，)上，f(x)为增函数 f(3)f(4),f(2)f(1)f(4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f对任意实数x，y，均有fff，且当x0时，f0，f2，求f在区间2，1上的值域。 分析：由题设可知，函数f是的抽象函数，因此求函数f的值域，关键在于研究它的单调性。 习题精选精讲 解：设在条件中，令yx，则为奇函数， ff2，又f2 f4， f的值域为4，2。 例2、已知函数f对任意，满足条件ff2 + f，且当x0时，f2，f5，求不，即，当， ，f为增函数。 ，再令xy0，则f2 f， f0，故ff，f， 等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f是yx2的抽象函数，且f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当， 即，f为单调增函数。 ， 又f5，f3。，则，2、指数函数型抽象函数 ， 即，解得不等式的解为1 a 0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。