微积分之幂级数.docx

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1、微积分之幂级数注意：对于级数un=1n，当un=1n收敛时，un=1n绝对收敛. (-1)n-1(-1)n-1例 证绝对收敛：令un=，则 22(2n-1)(2n-1)n=11111un=,收敛un收敛 (2n-1)2n+(n-1)2n2n=1n2n=1故 原级数绝对收敛. 7.5 幂级数 教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数. 重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程：

2、 一、函数项级数的概念 1设 u1(x),u2(x),L,un(x),L 是定义在区间I上的函数,则 u(x)=u(x)+u(x)+L+u(x)+L n12nn=1称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数. 2收敛域 (1) 收敛点x0I 常数项级数 (2) 发散点x0I常数项级数 u(x)收敛； n0n=1n0u(x)发散； n=1(3) 收敛域D 函数项级数un=1n(x)的所有收敛点形成的集合D； 1 (4) 发散域G un=1n(x)的发散点的全体构成的集合G. 3和函数S(x) S(x)=若函数项级数u(x), xD. nn=1un=1n(x)在收敛域内每一点都对应于S(x)的一个函数

3、值， 则称S(x)为函数项级数un=1n(x)的和函数. 4余项rn(x) rn(x)=S(x)-Sn(x), Sn(x)= 注: 只有在收敛域D上, rn(x)才有意义； limrn(x)=0, xD. nuk=1nk(x), xD. 二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1形如a(x-x)n0n=0n的函数项级数称为(x-x0)的幂级数.，其中 a0,a1,a2,数.当x0=0时, .an,为常数，称为幂级数的系 axnn=0n称为x的幂级数, 其中 常数an称为幂级数的系数. nn0结论：对于级数a(x-x)n=0nn，作代换t=x-x0可以将一般幂级数化 为标准幂级数atn=0，所以我们只研

4、究标准幂级数敛散性的判别方法. axnn=0n的收敛域：此级数的全体收敛点的集合. 显然: x0D(收敛域)，即幂级数总在x=x0点处收敛. (x-1)n 例如: x, 均为幂级数. n!n=0n=0n 2 显然: xn=0n的收敛域D=(-1,1),其发散域G=(-,-1U1,+). 且和函数S(x)=2.级数的收敛域 把级数xn=n=01, |x|1.此结论可当公式使用. 1-xaxnn=0n的各项取绝对值得正项级数axnn=0n， an+1xn+1an+1记 lim=l，则 lim=lx；于是由比值判别法知 nnnaaxnn1n若lx1,(l0)，即x1，即x=R，anx发散. ln=0

5、1n(3) 若lx=1，即x=R，比值法失效，anx敛散另行判定. ln=0若l=0，即lx=01(x0)， 由于 limn-1nunn(n-1)!xn 级数收敛域为 x=0或 0；独点集. 3 若axnn=0n对任意x都收敛，则R=+，级数的收敛域为(-,+). 当0R+时，要讨论级数在x=R处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：(-R,R),-R,R),(-R,R,-R,R. 3.设axnn=0n的收敛域为D，则 若x0D且x00, 则对|x|x0|,有xD即级数证明: (1) x0D由 axnn=0发散. axn=0nn0收敛， $M0axn=0nn0n收ax0(n)=

6、|anx0|M(M0的常数） nn0xxxn0|anxn|=|anx0x0x0x0|x|x0|xn从而 M收敛,正项级数|anx|收敛 x0n=0n=0nnnanx收敛xD即对|x|x0|=由(1)axn=0nn0收敛 x0D矛盾. 所以|x|x0|,有anxn发散，即xD. n=0 注意:(1) 若x0D, 则 (-|x0|,|x0|)D(收敛域), (x00)； (2) 若x0D, 则 (-,-|x0|)(|x0|,+)G(发散域). n4.若幂级数anxn系数满足条件 limn=0an+1=l或 an4 limn|an|=l，则 n (1) 当0l+时, 则R=； (2) 当l=0时,

7、则R=+. 当l=+时, 则R=0. 常用公式: R=lim1lan1，R=. nanlimann+1nn例如: 幂级数xn=0的收敛半径R=1,x=1时，级数发散，故其敛区 与敛域均为(-1,1). xn例1 求幂级数(-1)的收敛半径与收敛域. nn=1n-11解 (1) 级数的通项为 an=(-1) nan+1R=limn=lim=1. nnnan+1n-1(-1)n (2) 当x=1时, 级数为收敛； nn=11当x=-1时, 级数为发散. n=1n故收敛区间是(-1,1)，收敛域为(-1,1. xn例2 求幂级数的收敛半径与收敛域. n!n=0a1(n+1)!=lim(n+1)=+,

8、 R=limn=limnnnn!n!an+1故 收敛区间和收敛域均是 (-,+). 解: an= 求幂级数n!xn=0n的收敛半径. 5 解: na=n!R=limnn!1an=lim=lim=0. an+1n(n+1)!nn+1xn-1的收敛半径与收敛域. 练习：求幂级数提示：R=limn(-1)n=0n-1an=1R=1，又an+1x=1时级数发散.收敛域(-1,1). 例3 求幂级数(-1)n=0n-13nx2n的收敛半径与收敛域. nun+1(-1)n3n+1x2(n+1)n提示：lim =limn-1n2nnunn+1(-1)3xn3n2=limx=3x2 nn+11122当3x1x

9、1x时级数发散. 331n-11当 x=时，原级数是(-1)，收敛的交错级数. n3n=111111,)，收敛域-,. 所以 收敛半径R=，收敛区间(-33333注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径. (-1)n-1x2n-1求幂级数的收敛域. 2n-1n=1un+1x2n+12n-12n-122解：lim=lim2n-1=xlim=x nun2n+1xn2n+1n由x1即x1即x1时级数发散. 得 R=1 n1n当x=1时，收敛，当x=-1时，收敛， 11n=12nn=12n所以 收敛域为 -1,1. 22 6 (2x+1)n例4求幂级数的收敛半径与收敛域. nn=1tn解 令t=2x+

10、1,幂级数变形为, n=1n1an1Rt=limn=limn+1=lim=1Rt=1Rx= nannn+112n+1n1111t1x+1x+时级数发散， 22221t=1x=-1,x=0，当x=-1时原级数为(-1)n收敛， nn=111当x=0时，发散，故 原级数收敛半径R=，收敛域为-1,0. 2n=1n注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换. 提问：(02.3) 设幂级数anx与bnxn的收敛半径分别为nn=1n=15与32an1,则幂级数2xn的收敛半径为 3n=1bn(A) 5 (B) 答案 liman+1nan511 (C) (D) 33522bn+1an39111+1bn=3=l

11、im22= ,limRnbn+1an5955nbn(x-3)n (90.5) 求级数的收敛域. 2nn=1tnan+1n2=lim=1知Rt=1, 解 令t=x-3，级数2,由lim2nnan(n+1)n=1n因此当-1x-31即2x4时级数收敛. 7 1(-1)n当x=2时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛. x=422n=1nn=1n所以收敛域为2,4. (x-2)2n (92.3) 级数的收敛域为(0,4). nn4n=1tnan+1n4n1答 令t=(x-2) 对于,由, lim=lim=nn+1nnan(n+1)44n=1n4n于是收敛半径Rt=4,则-4(x-2)4,即0x4内收敛

12、. 当x=0和x=4时,原级数都为21发散,所以收敛域为(0,4). nn=1三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设 axnn=0n和bnxn的收敛半径分别为Ra和Rb n=01）加减法: axbx=(annnnn=0n=0n=0nbn)xn,x(-Rc,Rc). 其中: Rc=minRa,Rb. 2）乘法: axbx=cx=(ab)xnnnnnnijn=0n=0n=0n=0i+j=nn,x(-Rc,Rc). ,n=1,2,L. 其中: Rc=minRa,Rb, cn=abk=0nkn-kaxnn3）除法: bxnn=0n=0n=cnxn,x(-Rc,Rc). n=0n 其中: Rc待定, 而

13、cn由系列表达式an=此处, Ra=Rb=+, 但Rc=1. bck=0kn-k,n=1,2,L确定. 8 2.幂级数3.幂级数axnn=0n的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内是连续. 的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内可积，且 axnn=00n有逐项积分公式 x0S(x)dx=xantdt=nn=0ann+1x,|x|R=R. n=0n+1(积分前后的收敛半径不变). 例: 1=1+x+x2+L+xn+L, |x|1.逐项积分时在x=1处无 1-x意义. 4.幂级数axnn=0n的和函数S(x)在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 nn-1 S(x)=anx=nanx, |x|

14、R=R. n=0n=1说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式 xn=n=01收敛域为x1 1-xxn(-1)n例5 求幂级数的和函数S(x),并求. n=0n+1n=0n+1(-1)nann+2解：(1) R=lim级数为收 =lim=1.当x=-1时, nn+1nan+1n=1n+1敛；当x=1时, 级数为n+1发散. 故原级数收敛域是-1,1). n=11xn+11n(2) 当0|x|1时, 有xS(x)=. =x=n+11-xn=0n=0xx1dt=-ln(1-x), 于是 xS(x)=tS(t)dt=001-t9 由于S(0)=1且幂级数在其收敛域上连续,

15、 1-ln(1-x), -1x0,或0x1; S(x)=x1, x=0. (-1)n=S(-1)=ln2. 取 x=-1代入和函数可得 n+1n=0求幂级数nxn=1n-1=1+2x+3x2+nxn-1+的和函数S(x)， n2n并求级数n及级数n的和. n=12n=13解 1）r=limnan+1n+1=lim=1，所以R=1. nnann当x=1时，n发散，当x=-1时，(-1)n=1n=1n发散. 所以 级数敛域为(-1,1). 2）设S(x)=xnxn=1n-1,x(-1,1)，则 1x-1=,x(-1,1) 001-x1-xn=1n=1dxx1S(x)=S(t)dt=,x(-1,1)

16、为所求和函数. dx01-x(1-x)21n-111n3）令x=，则有 n=，所以n=2. 122n=12n=1(1-)221n-1112n34）令x=，则有 n=，所以n=. 1233n=13n=1(1-)23xn练习：求幂级数的和函数S(x)：n=1nS(t)dt=xntn-1dt=xn= 10 敛域1，1)S(x)ln(1-x) (2) (99.3) n(2)n=11n-1=_. x11=(xn)=(-1)=, 21-x1-x(1-x)n=1n=1111令x=，则有nn-1=S=4,所以答案为4. 222n=1因为S(x)=nxn-1p例6 (00.6) 设In=p40sinxcosxd

17、x,n=0,1,2,L,求In的和. nn=0解 由In=40sinnxdsinx=4112(sinx)n+1=n+1, n+12n+10p1n+112n+1x, 得In=,令S(x)=2n=0n+1n=0n=0n+11n则其收敛半径R=1,在(-1,1)内S(x)=x=, 1-xn=0x1于是 S(x)=dt=-ln1-x, 01-t22122令x=,则S(, )=n+1=-ln1-2222n=0n+1从而 In=4sinnxcosxdx=lnn=0n=00np11-22=ln(2+2). x2n(x1)的和函数f(x)及其极值. 例7 (03.9) 求幂级数1+(-1)2nn=1x2n(x

18、1) 解 依题意f(x)=1+(-1)2nn=1n 11 f(x)=(-1)xnn=12n-11x=(-x2)n=-, xn=11+x2上式两边从0到x积分,得 t1x1122dt=-d(1+t)=-ln(1+x), 201+t2021+t21由f(0)=1得f(x)=1-ln(1+x2),(x1).令f(x)=0,求得唯一驻 21-x2,f(0)=-10, 点x=0,由于f(x)=-22(1+x)可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为f(0)=1. 1例8(05.9) 求幂级数(-1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). n=12n+1f(x)-f(0)=-xx2n,S2(x)

19、=x2n, 解 设S1(x)=n=12n+1n=1x2, 则 S(x)=S1(x)-S2(x),x(-1,1), 由于S2(x)=x-21-xn=12n(xS1(x)=xn=1x2nx2=,x(-1,1), 1-x2t211+xdt=-x+ln, 又由于S1(0)=0, 因此 xS1(x)=01-t221-x11+x-1+ln, 0x1,所以 S1(x)= 2x1-x = 0.0, x111+x-, 0x1,ln故 S(x)=S1(x)-S2(x)=2x1-x1-x2 x=0. 0, 练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数: x3x5x7+-+L (1)x-357 12 (-1)n-12n-1

20、x,由 解 该级数为n=12n-1limun+1nunx2n+1+1=x2lim2n-1=x2,知当x21时幂级数绝对收敛. =lim2nnx2n-1n2n+12n-1(-1)n(-1)n-1当x=-1时,幂级数收敛;当x=1时,幂级数收敛, n=12n-1n=12n-1所以原幂级数的收敛域为-1,1. (-1)n-12n-1x,则当x(-1,1)时有 设S(x)=n=12n-1(-1)n-12n-11n-12n-2x)=(-1)x=(-x2)n-1=, S(x)=(22n-11+xn=1n=1n=1x1所以 S(x)=dt=arctanx. 01+t2357(2)2x+4x+6x+8x+L

21、解 该幂级数为2nxn=12n-1,由 un+1(2n+2)x2n+1n+12lim=lim=xlim=x2, 2n-1nunnn2nxn知当x1时幂级数绝对收敛. 当x=-1时,幂级数2(-2n)发散;当x=1时,幂级数2n发散, n=1n=1所以原幂级数的收敛区间为(-1,1). 设S(x)=2nxn=12n-1,则当x(-1,1)时,有 2nx22x. S(x)=(x)=(x)=2221-x(1-x)n=1n=12n小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别. 13 2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后 的收敛区间不变. 3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取x的特值代入和函数即得所求. 4对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级 数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间. 课后记：存在问题： 1.对缺项幂级数以及通项为an(x-x0)的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多. 2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四 个常用公式灵活变形找S(x)的表达式. 3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和. n 14