微分几何习题全解.docx
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1、微分几何习题全解微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 2 向量函数 5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) rrrrrrrr(t)= 0。 r 分析:一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=l(t)e(t)的形式,其中e(t)为单位向rr量函数,l(t)为数量函数,那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向,rr即e(t)为常向量,。 rrrrr 证 对于向量函数r(t),设e(t)为其单位向量,则r(t)=l(t)e(t),若r(t)具有固rrrrrrrr定方向,则e(t)为常向量,那么r(t)=l(t)e,所以 rr=ll=0。 rrrrrrrrrer反之,
2、若rr=0 ,对r(t)=l(t)e(t) 求微商得=le+l,于是rrrrrrrrrr2r=l=0,则有 l = 0 或ee=0 。当l(t)= 0时,r(t)=0可与任意方向平行;当lrrrrrrr2r2rrr20时,有ee=0,而 ,所以 =0,即e为常向量。所以,r(t)具有固定方向。 rrr6向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是=0 。 rr分析:向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t),使rrrrrrr(t)n = 0 ,所以我们要寻求这个向量n及n与r,r的关系。 rrr证 若r(t)平行于一固定平面,设n是平面的一个单位法向量,则n为常向rrrr
3、rrrr量,且r(t)n = 0 。两次求微商得rn = 0 ,rn = 0 ,即向量r,r,r垂直rrr于同一非零向量n,因而共面,即=0 。 rrrrrrrrrrr反之, 若=0,则有rr=0 或rr0。若rr=0,由上题知rrrr(t)具有固定方向,自然平行于一固定平面,若rrr0,则存在数量函数l(t)、rrm(t),使r= lr+mr 1 微分几何主要习题解答 rrr令n=rr,则nrrrrrr0,且r(t)n(t)。对n=rr求微商并将式代入得rrrrn=rr=m=mrrrrrrn,于是nn=0,由上题知n有固定方向,而r(t)rrn,即r(t)平行于固定平面。 3 曲线的概念 1
4、求圆柱螺线x=cost,y=sint,z=t在的切线和法平面。 r解 令cost=1,sint=0, t=0得t=0, r(0)= -sint,cost,1|t=0 =0,1,1,曲线在(0,1,1)的切线为 x-1=y=z ,法平面为 y + z = 0 。 011r2求三次曲线r=at,bt2,ct3在点t0的切线和法平面。 23x-at0y-bt0z-ct0r2解 r(t0)=a,2bt0,3ct0,切线为, =2a2bt03ct0223法平面为 a(x-at0)+2bt0(y-bt0)+3ct0(z-ct0)=0。 3. 证明圆柱螺线r= a cosq,asinq,bq (-pqp+)
5、的切线和z轴作固定角。 rr证明 = -asinq ,acosq,b,设切线与z轴夹角为j,则cosj rrrrkb=rr=22为常数,故j为定角。 |r|e|a+b4. 求悬链线r=tt,acosha从t=0起计算的弧长。 t解 r= 1,sinha,|r | =rr1+sinh2tat = cosha, cosh0ttatdt=asinha 。 求曲线x=3ay,2xz=a322ay=在平面3 与y = 9a之间的弧长。 arx3a2解 曲线的向量表示为rx,2,,曲面与两平面y=3 与y = 9a的交3a2x2 微分几何主要习题解答 rrx2a2x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a
6、 , r1,2,-2,r1+42+2,a2xa44xa2x所求弧长为s=3aax2a2(2+2)dx=9a 。 a2x10. 将圆柱螺线r=acost,asint,bt化为自然参数表示。 rr解 = -asint,acost,b,s = sa+b22t0r|r|dt=a2+b2t,所以t=sbsa+b22sa+b22, 代入原方程得 r=acos, asina+b22, 11.求用极坐标方程r=r(q)给出的曲线的弧长表达式。 r解 由x=r(q)cosq,y=r(q)sinq知r=r(q)cosq-r(q)sinq,r(q)sinqs=qq0rr+r(q)cosq,| = r2(q)+r2(
7、q),从q0到q的曲线的弧长是r2(q)+r2(q)dq 。 4 空间曲线 1求圆柱螺线x=acost,y=asint,z= bt在任意点的密切平面的方程。 r解 r= -asint,acost,b,r=-acost,- asint,0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 x-acost-asint-acosty-asintacost-asintz-btb0r = 0 ,即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 . 2. 求曲线r = tsint,tcost,tet 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 , r(0)= sint+tcost
8、,cost- tsint,et+tett=0=0,1,1, r3 微分几何主要习题解答 rr(0)=2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tett=0 =2,0,2 , 所以切线方程是 xyz= ,法面方程是 y + z = 0 ; 011xyz密切平面方程是011=0 ,即x+y-z=0 , 202x+y-z=0yxz= ; 主法线的方程是 即=2-11y+z=0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式xyz= 。 11-13证明圆柱螺线x=acost,y=asint,z= bt的主法线和z轴垂直相交。 rrr证 r= -asint,acost,b, r=-acost
9、,- asint,0 ,由rr知r为rrrr主法线的方向向量,而rk=0 所以主法线与z轴垂直;主法线方程是 x-acosty-asintz-bt= costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。 4.在曲线x = cosacost ,y = cosasint , z = tsina的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 r= -cosasint, cosacost, sina , r= -cosacost,- cosasint , 0 rrrrg=rr=sinasint ,- sinacost , cosa |rr|rrr新曲线的方
10、程为r= cosacost + sinasint ,cosasint- sinacost ,tsina + cosa 对于新曲线r=-cosasint+ sinacost ,cosacost+ sinasint,sina =sin(a-t), rcos(a-t), sina , r= -cos(a-t), sin(a-t),0 ,其密切平面的方程是 x-cosacostsin(a-t)-cos(a-t)y-cosasintcos(a-t)sin(a-t)z-tsinasina0=0 r即 sina sin(t-a) x sina cos(t-a) y + z tsina cosa = 0 .
11、4 微分几何主要习题解答 5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一: r设一曲线为一球面曲线,取球心为坐标原点,则曲线的向径r(t)具有固定长,所以rr= 0,即曲线每一点的切线与其向径垂直,因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径,也就通过其始点球心。 若一曲线的所有法平面通过一定点,以此定点为坐标原点建立坐标系,rr则rr= 0,r(t)具有固定长,对应的曲线是球面曲线。 方法二: r=r(t)是球面曲线存在定点r0和常数R使(r-r0)2=R22(r-r0)r=0 ,即(r-r0)r=0 而过曲线r=r(t)上任一点的法平面方程为(r-r)r=0 。可知法平
12、面过球面中心成立。 所以,曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 6.证明过原点平行于圆柱螺线r=acost,asint,bt的副法线的直线轨迹是锥面a2(x2+y2)=bz2. rrrrrr证 = -asint,acost, , =-acost,- asint,0 ,rr=-a-bsint,bcost,-a为副法线的方向向量,过原点平行于副法线的直线的方程是yxz= ,消去参数t得a2(x2+y2)=bz2。 bsint-bcosta7求以下曲面的曲率和挠率 r r=acosht,asinht,at, r r=a(3t-t3),3at2,a(3t+t3)(af0)。 rrr解
13、 r=asinht,acosht,a,r=acosht,asinht,0,r=asinht,cosht,0,rrrr|rr|2a2cosht1rr=a-sinht,cosht,-1,所以k=r3= =23|r|2acosht(2acosht)5 微分几何主要习题解答 rrr(r,r,r)a21 。 t=rr2=4=22(rr)2acosht2acoshtrrr r=3a1-t2,2t,1+t2,r=6a-t,1,t,r=6a-1,0,1, rrrr18a22(t2+1)|rr|222 rr=18at-1,-2t,t+1 ,k=r3=223|r|27a22(t+1)rrr(r,r,r)186a3
14、21 。 t=rr2=24=2222(rr)18a2(t+1)3a(t+1) 1 223a(t+1)rrrr33 8已知曲线r=cost,sint,cos2t,求基本向量a,b,g;曲率和挠率;验证伏雷内公式。 分析 这里给出的曲线的方程为一般参数,一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率,我们也可以利用定义来求。 r解 r=-3cos2tsint,3sin2tcost,-2sin2t=sintcost-3cost,3sint,-4, rrrdsr334=|r(t)|=5sintcost,, 则a=r=-cost,sint,-, dt|r|555rdadt133aa=sint,cost,0
15、 , b=sint,cost,0, rdtds5sintcost55|a|rrr443g=ab=cost,-sint,-, 555rrrr34-sint,-cost,0 ,由于g与b方 k=|a|= ,g=25sintcost25sintcostr4向相反,所以 t=|g|= 25sintcostrrrrrrr 显然以上所得 a,kb,g,t满足 a=kb,g=-tb,而 rrrb=rrr1cost,-sint,0=-ka+tg 也满足伏雷内公式 。 5sintcost9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点,则此曲线是直线。 r证 方法一:取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为rr(t),
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