平行四边形典型例题.docx
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1、平行四边形典型例题平行四边形典型例题 1已知如图12-1-19,所示ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE上AD于E,OFBC于F 求证:四边形AECF是平行四边形 错证:在AOE和COF中 OEAD,OFBC AEO=CFO=90 四边形ABCD为平行四边形 OAOC,ADBC EACACF AOECOF OF=OE 四边形AECF是平行四边形 错误分析:上面证明由OFOE,OA=OC不能说明EF与AC互相平分,因为原题设中没有说明E、O、F三点共线,因此先证E、O、F三点共线 正确证明:在AOE和COF中 OEAD OFBC AEOCFO90 四边形ABCD为平行四边形 OAOC,AD
2、BC EAC=ACF AOECOF OFOE 又ADBC,OEAD,OFBC E、O、F三点共线 四边形AECF是平行四边形 2如图12-1-22所示,现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形 分析:运用三角形全等,平行四边形的识别方法来解答,在证明时不要忽略证明F,E,D共线 解:取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来,如图使点E不变,点C与点A重合,再焊接上去最简单 证明:在RtABC中 ACBC B=45 又E、D分别为AC、BC的中点 ECDC CEDCDE45 AE
3、FCED45 AEF+AED=CED+AED180 F、E、D在一条直线上 EAFC90 AFCD 又AFCDDB 四边形AFDB是平行四边形,且B45 3如图12-1-23,在ABCD的对角线上取两点E、F,且BFDE,请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形,并指出哪种方法最简便 分析:可证两组对边分别相等,也可证对角线互相平分 证明方法 在ABF和CDE中,ABCD,BFDE,ABFCDE ABFCDE AFCE 同理可证AECF,故四边形AECF是平行四边形 方法 连AC交BD于O 在ABCD中,OAOC,OBOD BFDE OE=OF 四边形AECF为平行四边形 4如果一
4、块木板两边是线段,把两把曲尺的一边紧靠木板边缘,再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等,就可以判断木板的两个边缘是否平行,这是为什么? 分析:这是一道生活实践题,运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题,此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行 解:如果曲尺的刻度相等,则木板的两个边缘就平行,因为,两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形,当曲尺的刻度相等,则四边形中就有一组对边平行且相等,所以四边形为平行四边形,则木板的两边缘平行 如果曲尺的刻度不相等,则木板的两个边缘就不平行,因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形 5已知如图12-1-4所示,ABCD中,AB的延长线上
5、取一点E,使BEAB,在CE上取一点M使CMCD,连结DM并延长交AE的延长线于点F 求证:BDBF 分析:由于BD,BF是BDF的两边,所以要证BDBF,可由证BDF中BDFF入手,易知FCDM=CMDEMF,故只要证BDCE,由此由证法一又注意到BFBE+EF,易知BEABCDCM,EFEM,故BFCE,从而只要证BDCE,由此有证法二 证法:四边形ABCD为平行四边形 AB又E点在AB延长线上,且BEAB ABCD CD 四边形BECD是平行四形 BDCE BDFEMF EMFCMD BDFCMD 又CMCD CMD=CDM BDFCDM AFCD CDMF BDFF 即BDBF 证法:
6、四边形ABCD为平行四边形 AB又E点在AB延长线上且BEAB BECD CD 四边形BECD是平行四边形 BDCE,BECD 又EMF=CMD,CDCM CMD=CDM EMF=CDM BECD FEMF EFEM BFBE+EFCD+EM=CM+EMCEBD 即BFBD 习题精选 一、填空题 1过ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线,垂足为E、F,则四边形AECF是 . 2延长ABC的中线AD到E,使DEAD 则四边形ABEC是 四边形 3在四边形ABCD中A50欲使四边形为平行四边形,则B= ,C ,D . 4在四边形中,任意相邻两个内角互补,则这个四边形是 四边形 5如图12-
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