工程数学线性代数课后题答案第.docx

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1、工程数学线性代数课后题答案第工程数学-线性代数课后题答案_第五版 第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: 111(1)(a1, a2, a3)=124; 139 解 根据施密特正交化方法, 1b1=a1=1, 1-1b2=a2-b1=0, 1b1,b1b1,a2b1,a3b2,a311b3=a3-b1-b2=-2. b1,b1b2,b23111-10-11(2)(a1, a2, a3)=. -101110 解 根据施密特正交化方法, 10b1=a1=, -111b1,a21-3b2=a2-b1=, 2b1,b131-1b1,a3b2,a313b3=a3-b1-b2=.

2、 b1,b1b2,b2534 2. 下列矩阵是不是正交阵: 1-112311(1)-1; 2211-123 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. 1-8-4999814(2)-. 999447-999 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵. 证明 因为 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)

3、(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩阵. 4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵. 证明 因为A, B是n阶正交阵, 故A-1=AT, B-1=BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: 2-12(1)5-33; -10-2 解 2-l-12|A-lE|=5-3-l3=-(l+1)3, -10-2-l故A的特征值为l=-1(三重). 对于特征值l=-1, 由 3-12101A+E=5-23011, -10-1000得方程(A+E)x=0的基础

4、解系p1=(1, 1, -1)T, 向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量. 123(2)213; 336 解 1-l23|A-lE|=21-l3=-l(l+1)(l-9), 336-l故A的特征值为l1=0, l2=-1, l3=9. 对于特征值l1=0, 由 123123A=213011, 336000得方程Ax=0的基础解系p1=(-1, -1, 1)T, 向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量. 对于特征值l2=-1, 由 223223A+E=223001, 337000得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1, 1, 0)T, 向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值

5、向量. 对于特征值l3=9, 由 -82311-11A-9E=2-8301-, 33-32000得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量. 00(3)010010010010. 00 解 -l0010-l10|A-lE|=(l-1)2(l+1)2, 01-l0100-l故A的特征值为l1=l2=-1, l3=l4=1. 对于特征值l1=l2=-1, 由 10A+E=0101100110110000100100010010, 00得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 0, 0, -1)T, p2=(0, 1, -

6、1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值l1=l2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值l3=l4=1, 由 -10A-E=010-11001-10110000-1001000-100-10, 00得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=1的线性无关特征值向量. 6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 证明 因为 |AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|, 所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同. 7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)

7、+R(B)n, 证明A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设R(A)=r, R(B)=t, 则r+tn, 故a1, a2, , an-r, b1, b2, , bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1, k2, , kn-r, l1, l2, , ln-t, 使 k1a1+k2a2+ +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0. 记 g=k1a1+k2a2+ +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r), 则k1, k2, , kn-r不全为0, 否则l1, l2, , ln-t不全为0, 而 l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r

8、=0, 与b1, b2, , bn-t线性无关相矛盾. 因此, g0, g是A的也是B的关于l=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2. 证明 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2. 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明l=-1是A的特征值. 证明 因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1. 因为|A|等于

9、所有特征值之积, 又|A|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值. 证明 设x是AB的对应于l0的特征向量, 则有 (AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 从而l是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量. 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(

10、1)j(2)j(3)=323=18. 12. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=12(-3)=-60, 所以A可逆, 故 A*=|A|A-1=-6A-1, A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)| =j(1)j(2)j(-3)=-15(-5)=25. 13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相 似. 证明 取P=A, 则 P-1ABP=A-1AB

11、A=BA, 即AB与BA相似. 14. 201设矩阵A=31x可相似对角化, 405求x. 解 由 2-l01|A-lE|=31-lx=-(l-1)2(l-6), 405-l得A的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为A可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由 101r101(A-E)=30x00x-3 404000知当x=3时R(A-E)=1, 即x=3为所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)量. T2-12是矩阵A=5a3的一个特征向-1b-2 (1)求参数a, b及特征向量p所对应的特征值; 解 设

12、l是特征向量p所对应的特征值, 则 (A-lE)p=0, 2102-l-131=0, 即5a-l-1b-2-l-10解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)问A能不能相似对角化？并说明理由. 解 由 2-l-12|A-lE|=5-3-l3=-(l-1)3, -10-2-l得A的特征值为l1=l2=l3=1. 由 1-12r101A-E=5-2301-1 -1b-1000知R(A-E)=2, 所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化. 16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: 2-20(1)-21-2; 0-20 解 将所给矩

13、阵记为A. 由 2-l-20A-lE=-21-l-20-2-l=(1-l)(l-4)(l+2), 得矩阵A的特征值为l1=-2, l2=1, l3=4. 对于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即 4-20x1-23-2x=0, 0-222x3得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得p1=(1, 2, 2)T. 333 对于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即 1-20x1-20-2x=0, 0-2-12x3得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得p2=(2, 1, -2)T. 333 对于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即 -2-20x1-2-3-2x=0, 0-

14、2-42x3得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得p3=(2, -2, 1)T. 333 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). 22-2(2)25-4. -2-45 解 将所给矩阵记为A. 由 2-l2-2A-lE=25-l-4-2-45-l=-(l-1)2(l-10), 得矩阵A的特征值为l1=l2=1, l3=10. 对于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即 12-2x1024-4x=0, -2-4420x3得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得 p1=1(-2, 1,

15、 0)T, p2=1(2, 4, 5)T. 535 对于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即 -82-2x102-5-4x=0, -2-4-520x3得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得p3=1(-1, -2, 2)T. 3 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(1, 1, 10). 17. 51-2-4设矩阵A=-2x-2与L=-4相似, -4-21y求x, y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=L. 解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然l=5, l=-4, l=y是L的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为l=-4是A的特征值, 所以

16、 5-2-4|A+4E|=-2x+4-2=9(x-4)=0, -4-25解之得x=4. 已知相似矩阵的行列式相同, 因为 1-2-4|A|=-2-4-2=-100-4-215, |L|=-4y=-20y, 所以-20y=-100, y=5. 对于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T, (1, -2, 0)T. 将它们正交化、单位化得 p1=11(1, 0, -1)T, p2=(1, -4, 1)T. 232 对于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 单位化得p3=1(2, 1, 2)T. 3于是有正交矩阵P=-

17、1221332140-3321212332-1, 使PAP=L. 18. 设3阶方阵A的特征值为l1=2, l2=-2, l3=1; 对应的特征向量依次为p1=(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1, p2, p3), 则P-1AP=diag(2, -2, 1)=L, A=PLP-1. 因为 011-110P-1=111=1-11, 11001-1-1所以 011200-110-13-3A=PLP=1110-201-11=-45-3. 11000101-1-44-2-1 19. 设3阶对称阵A的特征值为l1=1, l2=-1

18、, l3=0; 对应l1、l2的特征向量依次为p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, -2)T, 求A. 解 x1x2x3设A=x2x4x5, 则Ap1=2p1, Ap2=-2p2, xxx356x+2x2+2x3=11x2+2x4+2x5=2, - x3+2x5+2x6=22x+x2-2x3=-212x2+x4-2x5=-1. - 2x3+x5-2x6=2即 再由特征值的性质, 有 x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. - 由解得 x1=-1-1x6, x2=1x6, x3=2-1x6, 32234 x4=1-1x6, x5=2+1x6. 3234令x6=0, 得x1=-1,

19、x2=0, x3=2, x4=1, x5=2. 3333因此 -1021A=012. 3220 20. 设3阶对称矩阵A的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 与特征值l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 求A. 解 x1x2x3设A=x2x4x5. xxx356 因为l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 所以有 11A1=61, 11x1+x2+x3=6即x2+x4+x5=6 -. x3+x5+x6=6 l2=l3=3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1. 利用可推出 x31x1-3x211A-3E=x2x4-3x5x2x4-3

20、x5. xxx-3xxx-3565633因为R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得 x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4. 因此 411A=141. 114 21. 设a=(a1, a2, , an)T , a10, A=aaT. (1)证明l=0是A的n-1重特征值; 证明 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则有 Ax=lx, l2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax, 于是可得l2=laTa, 从而l=0或l=aTa. 设l1, l2, , ln是A的所有特征值, 因为A=aaT的主对角线性上的元素为a1

21、2, a22, , an2, 所以 a12+a22+ +an2=aTa=l1+l2+ +ln, 这说明在l1, l2, , ln中有且只有一个等于aTa, 而其余n-1个全为0, 即l=0是A的n-1重特征值. (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量. 解 设l1=aTa, l2= =ln=0. 因为Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p1=a是对应于l1=aTa的特征向量. 对于l2= =ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因为a0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+ +anxn=0, 其线性无关解为 p2=(-a2, a1, 0, , 0)T, p3=(

22、-a3, 0, a1, , 0)T, , pn=(-an, 0, 0, , a1)T. 因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为 a1-a2aa1(p1, p2, ,pn)=2an0-an0. a1 22. 142设A=0-34, 043求A100. 解 由 1-l42|A-lE|=0-3-l4=-(l-1)(l-5)(l+5), 043-l得A的特征值为l1=1, l2=5, l3=-5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 对于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0

23、, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 则 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因为 L100=diag(1, 5100, 5100), 所以 121P-1=01-2021-150-51=012, 50-2150-51211012 A100=101-251000-2150215100-1105100100=050. 005100 23. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占

24、总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1). (1)求关系式xn+1=yn+1xAn中的矩阵A; yn 解 由题意知 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn, 可用矩阵表示为 xn+11-p =yn+1pqxny, 1-qn因此 A=p1-q. 0 (2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即y=0.5, 求0xny. nxn+1xnxnnx0 解 由=Ay可知y=Ay. 由 yn+1nn01-pqx0.5|A-lE|=1-p-lq=(l-1)(l-1+p+q), p1-q-l得A的特征值为l1=1, l2=r, 其

25、中r=1-p-q. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q, p)T. 对于l1=r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)T. 令P=(p1, p2)=q-1, 则 p1 P-1AP=diag(1, r)=L, A=PLP-1, An=PLnP-1. 于是 An=q-110q-10r p1p1n-1q-11011 =1p10rn-pq p+q1q+prnq-qrn =p-prnp+qrn, p+q1q+prnq-qrn0.5xn =p-prnp+qrn0.5 ynp+q12q+(p-q)rn =2p+(q-p)rn. 2(p+q)3-2109 2

26、4. (1)设A=-23, 求j(A)=A-5A; 解 由 |A-lE|=3-l-2=(l-1)(l-5), -23-l得A的特征值为l1=1, l2=5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得单位特征向量1(1, 1)T. 2 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得单位特征向量1(-1, 1)T. 2-11-1 于是有正交矩阵P=1, 使得PAP=diag(1, 5)=L, 211从而A=PLP-1, Ak=PLkP-1. 因此 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-5L9)P-1 =Pdiag(1, 510)-5diag(1, 59)P-1 =Pdiag(-4, 0)P-

27、1 1-1-4011 =1110022-1-2-21 =-2-2-211. 11 1212(2)设A=122, 221求j(A)=A10-6A9+5A8. 解 求得正交矩阵为 -1-31P=-1362022, 2使得P-1AP=diag(-1, 1, 5)=L, A=PLP-1. 于是 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-6L9+5L8)P-1 =PL8(L-E)(L-5E)P-1 =Pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P-1 =Pdiag(12, 0, 0)P-1 -1-31=-13620212-1-120-33220220 211-2

28、=211-2. -2-24 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz; 解 121xf=(x, y, z)242y. 121z (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz; 解 1-1-2xf=(x, y, z)-11-2y. -2-2-7z (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4. 1-1 解 f=(x1, x2, x3, x4)2-1-113-22310-1x1-2x2. 0x31x4 26. 写出下列二次型的矩阵: 21 (1)f(x)=xTx; 3121 解 二

29、次型的矩阵为A=31. (2)123f(x)=xT456x. 789 解 123二次型的矩阵为A=456. 789 27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 200二次型的矩阵为A=032. 023由 2-l00A-lE=03-l2=(2-l)(5-l)(1-l), 023-l得A的特征值为l1=2, l2=5, l3=1. 当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由 000012A-2E=012001, 021000得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T. 当l2=5时, 解方程(A-5E)x=0,

30、 由 -300100A-5E=0-2201-1, 02-2000得特征向量(0, 1, 1)T. 取p2=(0, 1, 1)T. 22 当l3=1时, 解方程(A-E)x=0, 由 100100A-E=022011, 022000得特征向量(0, -1, 1)T. 取p3=(0, -1, 1)T. 22 于是有正交矩阵T=(p1, p2, p3)和正交变换x=Ty, 使 f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4. 解 11二次型矩阵为A=0-111-100-111-10. 由 111-l10-111-l-10A

31、-lE=(l+1)(l-3)(l-1)2, 0-11-l1-1011-l得A的特征值为l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 当l1=-1时, 可得单位特征向量p1=(1, -1, -1, 1)T. 22222 当l2=3时, 可得单位特征向量p2=(1, 1, -1, -1)T. 222 当l3=l4=1时, 可得线性无关的单位特征向量 p3=(1111T, 0, , 0)T, p4=(0, , 0, ). 2222 于是有正交矩阵T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=Ty, 使 f=-y12+3y22+y32+y42. 28. 求一个正交变换把二次曲面的方程 3x2+5y

32、2+5z2+4xy-4xz-10yz=1 化成标准方程. 解 32-2二次型的矩阵为A=25-5. -2-553-l2-2由|A-lE|=25-l-5=-l(l-2)(l-11), -2-55-l得A的特征值为l1=2, l2=11, l3=0, . 对于l1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量(4, -1, 1)T, 单位化得p1=(4, -1, 1). 323232 对于l2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)T, 单位化得p2=(1, 2, -2). 333 对于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得p3=(0

33、, 11, ). 22 于是有正交矩阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2, 11, 0), 从而有正交变换 14332x2y=-1z32312-3320u1, v2w12使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xTAx在|x|=1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 证明 A为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T, 使得 TAT-1=diag(l1, l2, , ln)=L 成立, 其中l1, l2, , ln为A的特征值, 不妨设l1最大. 作正交变换y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l

34、1y12+l2y22+ +lnyn2. 因为y=Tx正交变换, 所以当|x|=1时, 有 |y|=|x|=1, 即y12+y22+ +yn2=1. 因此 f =l1y12+l2y22+ +lnyn2l1, 又当y1=1, y2=y3= =yn=0时f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3 =(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x2-

35、2x3)2-2x22+(2x2+x3)2. y1=x1+x2-2x3, y2=2x2y3=2x2+x3x=y-5y+2y123121y2即x2=, 2x3=-2y2+y3令 二次型化为规范形 f=y12-y22+y32, 所用的变换矩阵为 1-5221C=00. 20-21 (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 y=x+xx=y1+y2-y31131, 即x2=y2, y2=x2y3=x

36、2+x3x3=-y2+y3二次型化为规范形 f=y12-y22+y32, 所用的变换矩阵为 11-1C=010. 0-11 (3) f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. =2(x1+1x2)2+1x22+4x32-2x2x3 22 =2(x1+1x2)2+1(x2-2x3)2+2x32. 22令 y=2(x+1x)12121(x2-2x3), y2=2y3=2x3x=1即x2=x3=111y1-y2-y32222, 2y2+y321y32二次型化为规范形 f=y12+y22+y32, 所用的变换矩阵为 1-1-11C=022. 2001 31. 设 f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4