工科高等数学复习必备.docx

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1、工科高等数学复习必备积分与求导公式 tanxdx=-lncosx+C=lnsinx+C=lnsecx+tanx+C=lncscx-cotx+C=1aarctanxa+Ca+x)+Cxa+C22cotxdxsecxdxcscxdxadx2+xdx22a+xdxa-x22=ln(x+=arcsin22(tanx)=secx2(cotx)=-cscx(secx)=secxtanx(cscx)=-cscxcotxdxx2-adx22=12alnx-ax+ax2+C-a2xp-a2=lnx+C20(n-1)!pnn!2sinx=(n-1)!n!n为偶数n为奇数带ex=1+x1!+x22!x+2x33!+

2、.+x3xnn!+xn+1(n+1)!n-1ex+1ln(x+1)=x-x32+x3-.+(-1)n-1xnn2n-1+(-1)nxn+11n+1(n+1)(x+1)n+15sinx=x-3!x25!x4.+(-1)x2n(2n-1)!n+(-1)n+1x2n+1(2n+1)!x2n+2cosxcosx=1-a2!+4!+.+(-1)x(2n)!+(-1)(2n+2)!3cosx(x+1)+=1+ax1!a(a-1)x2!n+12a(a-1)(a-2)x3!a-n+1+.+a(a-1).(a-n+1)xn!na(a-1).(a-n)x(n+1)!(1+x)常用函数在x=0点的幂级数展开式 11

3、-x=1+x+x+.+x,x(-1,1)11+x=1-x+x-.+(-1)xx22nn2n以-x代x积分ln(1+x)=x-ex2+xxn33-.+(-1)n-1xnn=1+x1!+x22!+x33!+.+n!,x(-,+)常用高阶导数 (a)x(n)=alnxna(a0)1(n)n!n-1=(-1)n+1xx(x)a(n)=a(a-1).(a-n+1)x(n)a-n(sinkx)(coskx)=ksin(kx+nnnp2)-n(n)=kcos(kx+n(n)p2(ln(x+1)=(-1)n-1(n-1)!(x+1)2弧长微分公式曲率y(ds)=(dy)+(dx)222321+(y)重要极限

4、limxsinxxlnxeab=0=0(a,b0)limx+xlimx0sinxxn=1xa=0(a,b0)lnblimxa=1(a.0)1x)=x(1+x)=exlimx+bxalimxx+0x=0(a,b0)limx(1+limx0反常积分 +1x1pa1dx当p1时收敛,p1时发散0xpdx当p1时发散,p1时收敛-x2+0edx=p2级数 |p|1pnp1收敛发散n=21nlnaba1收敛a=1，b1收敛na=1,0b1发散0a0发散傅里叶级数f(x)=a02p+(an=1ncosnx+bnsinnx)1a=np1bn=p欧拉公式cosx=ep-f(x)cosnxdxf(x)sinnx

5、dxp-ixp+e2-ix,sinx=eix-e2i-ix特殊函数及其性质 1.f(x)=xasin1x,x00,x=001,f(x)在x=0处可导2.f(x)=-1ex2,x00,x=0f(n)(0)=03.双曲函数x-xx-xsinhx=e-e2,coshx=e+e2(sinhx)=coshx,(coshx)=sinhx4.取整函数x-1xx5.二元函数1）f(x,y)=x2+y2在点连续，导数不存在，不可微，沿任意方向方向导数存在2）f(x,y)=(x2+y2)sin1x2+y20x2+y2在点可微，但0x2+y2=0梯度、通量、散度、环流量、旋度 fx,fy不连续,P,Q,R有一阶连续

6、偏导数，为场内一有向曲面rr*通量AdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，ff(-zx)P+(-zy)Q+Rdxdy法向量与z轴成锐角D=法向量与z轴成钝角zxP+zyQ+(-1)RdxdyDrPQR*散度divA=+xyzrrr高斯公式AdS=divAdv(P,Q,R在闭曲面所围空间区域WW内有一阶连续偏导数，方向向外)rrrr某力函数A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，G为空间有向闭曲线，rrrijkrr*旋度rotA=A=xyzPQRrr*环流量Ads=Pdx+Qdy+RdzG是以G为边界的有向曲面斯托克斯公式GrrAds=GrrrotAdS(G正方向与法

7、方向成右手系，偏导数)P,Q,R在包含曲面空间区域内有一阶连续常微分方程 可分离变量的方程 dyy=jdxxdx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)齐次方程dydy一阶线性微分方程dx+P(x)y=Q(x)-P(x)dxP(x)dx通解y=e(Q(x)edx+C)dy伯努利方程dx+P(x)y=Q(x)y1-nn令z=y,则dzdx+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)1.y(n)=f(x)2.y=f(x,y)可降阶的高阶微分方程3.y=f(y,y)令y=p(y)则y=pdpdyy+P(x)y+Q(x)y=f(x)二阶线性微分方程刘维尔公式1-P(x)dxy2=y12ey1 d

8、xy+py+qy=0特征方程r+pr+q=0二阶常系数齐次线性微分方程2r1r2,y=C1er1x+C2er2xr1xr1=r2,y=(C1+C2x)er=abi,y=ey+py+q=f(x)1.f(x)=Pm(x)elxaxC1cosbx+C2sinbx)0,l不是特征根*klxy=xQm(x)e,k=1，l是单根2，l是重根二阶常系数非齐次线性微分方程2.f(x)=ey=xe*klxP(1)m(x)coswx+Pm(x)sinwx(2)(2)lxR(1)m(x)coswx+Rm(x)sinwx,0,l+wi不是特征根k=1,l+wi是特征根二阶非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应齐次方程的通解为Y=C1y1(x)+C2y2(x)yy1+u2y2=0u1,u2,积分即可得出设y=u1y1+u2y2,解出u1y1+u2y2=f(x)u1xyn(n)+p1xn-1y(n-1)+p2xn-2y(n-2)+pn-1xy+pny=f(x)其中p1,p2,.,pn是常数欧拉方程令x=et,则xkdy=D(D-1)(D-2).(D-k+1)y,k=1,2,3.,n kdxdD即dtk