小学解行程问题的方法.docx

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1、小学解行程问题的方法三十五、解行程问题的方法 已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。 行程问题的基本数量关系是： 速度时间=路程 路程速度=时间 路程时间=速度 行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题，相离问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，

2、求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程=相遇时间 相遇时间=总路程 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 1.求路程 求两地间的距离 例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？ 解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。 564=224 634=252 224+252=476 综合算式： 564+634 =224+252 =476 答略。 例2 两列火车同时从

3、相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？ 解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。 480-5 =480-825 =480-410 =70 答：5小时后两列火车相距70千米。 例3 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇，共用了6小时。A、B两地相距多少千米？ 解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一

4、个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长，这三个AB之长是： 6=54 所以，A、B两地相距的路程是： 543=18 答略。 例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。 解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。 20 =115205 =460 答略。 *例5 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙

5、每小时走5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求A、B两地之间的距离。 解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.52千米，甲比乙每小时多行千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出A、B两地之间的距离。 1.52 =111.521 =113 =33 答略。 由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车比乙车少行： 22=4 所以，乙车行的路程是： 甲车行的路程是： A、B两站间的距离是： 24+20=44 答略。 同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？ 快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。又已知两

6、车相遇时间，可以按“速度之和相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶 普通客车与快车速度之和是： 60+80=140 两车相对而行的总路程是： 1404=560 两车所行的总路程占全程的比率是： 甲、乙两城之间相距为： 综合算式： 答略。 2）求各行多少 例1 两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？ 解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是： 37.5=5 甲行的路程是： 3.55=17.5 乙行的路程是： 45=20 答略。 例2 甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每

7、小时走6千米。相遇后他们又都走了1小时。两人各走了多少千米？ 解：到甲、乙二人相遇所用的时间是： 40=4 由于他们又都走了1小时，因此两人都走了： 4+1=5 甲走的路程是： 45=20 乙走的路程是： 65=30 答略。 例3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。到相遇时两列火车各行了多少千米？ 解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。 从出发到相遇所用时间是： 5.

8、2 =5.21.3 =4 第一列火车行驶的路程是： 48.654=194.6 第二列火车行驶的路程是： 47.354=189.4 答略。 *例4 东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快2千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？ 解：两列火车的速度和是： 5646=94 第一列火车每小时行： 2=48 第二列火车每小时行： 48-2=46 相遇时，第一列火车行： 486=288 第二列火车行： 466=276 答略。 2.求相遇时间 例1 两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时5

9、5千米，货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇？ 解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。 500 =500100 =5 答略。 例2 两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市 答略。 例3 在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇？ 解：此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少

10、到千米。 =51.7511.5 =4.5 答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。 例4 甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？ 解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程速度”的关系，即可求出相遇时间。 200 =200 =20090 2.2 答：两车大约经过2.2小时相遇。 例5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开

11、，需要几秒钟？ 解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。 =39015 =26 答略。 3.求速度 例1 甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米？ 解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行： 5505-60 =110-60 =50 答略。 例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米？ 解：客车每小时行： 2 =2

12、 =45 货车每小时行： 45+5=50 答略。 例3 甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？ 解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。 50- =50- =50-48 =2 答略。 例4 甲、乙两地相距486千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是54。求快车和慢车每小时各行多少千米？ 两车的速度和是： 4866=81 快车每小时行： 慢车每小时行： 答略。

13、例5 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？ 解：如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。 答略。 例6 甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？ 解：两人相遇时，甲共走： 0.8+2=2.8 甲走的路程是： 52.8=14 乙在2小

14、时内行的路程是： 40-14=26 所以，乙每小时行： 262=13 综合算式： 40-52 =40-52.82 =40-142 =262 =13 答略。 例7 甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行5千米。1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。乙每小时行驶多少千米？ 解：从相距的50千米中，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到： 50-5-11=34 这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。经过2小时两人相遇。乙每小时行多少千米？” 由此可知，二人的速度和是： 3

15、42=17 乙每小时行驶的路程是： 17-5=12 综合算式： 2-5 =342-5 =17-5 =12 答略。 追及问题 追及问题的地点可以相同，也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差=速度差追及时间 追及时间=距离差速度差 速度差=距离差追及时间 速度差=快速-慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 *例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙

16、在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？ 解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是： 10-5=5 再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。 95=1.8 综合算式： 9 =95 =1.8 答略。 *例2 甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙？ 解：甲每小时行： 51.2=6 甲每小时能追上乙： 6-5=1 相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。 61=6 答：甲6小时才能追上乙。 *例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练

17、习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？ 解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时间是： 400 =400100 =4 答略。 *例4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？ 解：敌我两军行进的速度差是： 8.5-5.5=3 我军追上敌军用的时间是：

18、63=2 从开始追击到全歼敌军，共用的时间是： 2+0.5=2.5 综合算式： 60+0.5 =63+0.5 =2.5 答略。 *例5 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？ 解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍，通讯员返回到驻地时，队伍又前进了千米。这样，通讯员需追及的距离是千米，而速度差是千米/小时。 根据“距离差速度差=时间”可以求出追及的时间。 =4.55 =0.9 答略。 相离问题 相离问题就是

19、两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。 解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和时间=两个人或物体之间的距离”。 例1 哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走85米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每分钟走75米。几分钟后二人相距960米？ 解：二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离速度和”即可求出所行时间。因此，得： 960 =960160 =6 答略。 例2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。甲每小时行6千米，乙每小时行7千米。8小时后，甲、乙二人相距多少千米？ 解：先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。 8 =138 =104 答略。 *例3 东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？ 解：由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是千米/小时。张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。从而可以分别求出二人的速度。 张每小时行： 2 =2 =132 =6.5 王每小时行： 6.5-1.5=5 出发地距东镇的距离是： 6.56=39 答：张每小时行6.5千米，王每小时行5千米；出发地到东镇的距离是千米。 39