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1、小学五年奥数第20讲 多边形的面积 第20讲 多边形的面积 我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算,图形及计算公式如下: 正方形面积=边长边长=a2, 长方形面积=长宽=ab, 平行四边形面积=底高=ah, 圆面积=半径半径=r, 扇形面积=半径半径圆心角的度数3602在实际问题中,我们遇到的往往不是基本图形,而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形,它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中,我们将学习如何计算它们的面积。 例1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米,DG=4厘米,求阴影部分的面积。 分析与解:组
2、合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和,因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG,就得到大、小正方形边长之和的三倍,所以两个正方形的边长之和等于3=16。 又由两个正方形的边长之差是4厘米,可求出 大正方形边长=2=10, 小正方形边长=2=6。 两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积,就得到阴影部分的面积。 102+62-62=38。 例2如左下图所示,四边形ABCD与DEFG都是平行四边形,证明它们的面积相等。 分析与证明:这道题两个平行四边形的关系不太明了,似乎无从下手。我们添加一条辅助线,即连结CE,这时通过三角形DCE,就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边
3、形ABCD中,三角形DCE的底是DC,高与平行四边形ABCD边DC上的高相等,所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍;同理,在平行四边形DEFG中,三角形DCE的底是DE,高与平行四边形DEFG边DE上的高相等,所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。 两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍,所以它们的面积相等。 例3如左下图所示,一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2,在底边上任意取一点,这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。 分析与解:a,b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点,把等腰三角形分
4、为两个小三角形,它们的底都是20厘米,高分别为a厘米和b厘米。大三角形的面积与a,b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式,两个小三角形的面积分别为 20a2和20b2。 因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积,所以有 20a2+20b2=140, 10=140, a+b=14。 在例2、例3中,通过添加辅助线,使图形间的关系更清晰,从而使问题得解。下面再看一例。 例4如左下图所示,三角形ABC的面积是10厘米2,将AB,BC,CA分别延长一倍到D,E,F,两两连结D,E,F,得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。 分析与解:想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。
5、连结FB。 因为CA=AF,所以三角形ABC与三角ABF等底等高,面积相等。因为AB=BD,所以三角形ABF与三角形BDF等底等高,面积相等。由此得出,三角形ADF的面积是10+10=20。 同理可知,三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。 所以三角形DEF的面积等于203+10=70。 例5一个正方形,将它的一边截去15厘米,另一边截去10厘米,剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米,求剩下的长方形的面积。 分析与解:根据已知条件画出下页左上图,其中甲、乙、丙为截去的部分。 22 由左上图知,丙是长15厘米、宽10厘米的矩形,面积为1510=150。 因为甲、丙形成的矩形
6、的长等于原正方形的边长,乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长,所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25,长等于原正方形的边长,面积等于 + = 甲+乙+丙)+丙 = 1725+150 = 1875。 所以原正方形的的边长等于187525=75。剩下的长方形的面积等于7575-1725=3900。 例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片,放在一个正方形盒的底部,它们之间互相叠合。已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10,求正方形盒子底部的面积。 分析与解:把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等,所以原题图可以
7、转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等,都等于 2=12。 因为绿:红=A黄,所以 绿黄=红A, A=绿黄红 =121220=7.2。 正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。 练习20 1.等腰直角三角形的面积是20厘米2,在其中做一个最大的正方形,求这个正方形的面积。 2.如左下图所示,平行四边形ABCD的周长是75厘米,以BC为底的高是14厘米,以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。 3.如右上图所示,在一个正方形水池的周围,环绕着一条宽2米的小路,小路的面积是80米2,正方形水池的面积是多少平方米? 4.如右图所示,一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分,它们的面积差是28厘米2,梯形的上底长是多少厘米? 5.如下图,在三角形ABC中,BD=DF=FC,BE=EA。若三角形EDF的面积是1,则三角形ABC的面积是多少? 6.一个长方形的周长是28厘米,如果它的长、宽都分别增加3厘米,那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米? 7.如下图所示,四边形ABCD的面积是1,将BA,CB,DC,AD分别延长一倍到E,F,G,H,连结E,F,G,H。问:得到的新四边形EFGH的面积是多少?
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