线性代数课后答案(高等教育出版社).doc

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1、加QQ719283511第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1); 解 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118 -013-2(-1)8-1(-4)(-1) =-24+8+16-4=-4. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). 4. 计算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 6. 证明: (1)=(a-b)3; 证明 =(a-b)3 . (2); 证明 . 8. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式): (1), 其中对角线上元

2、素都是a, 未写出的元素都是0; 解 (按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n第二章矩阵及其运算1. 计算下列乘积:(5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 2. 设, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 3. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 4. 设, , 问: (1)AB=BA吗

3、? 解 ABBA. 因为, , 所以ABBA. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因为, , , 而 , 故(A+B)(A-B)A2-B2. 5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A0. (2)若A2=A, 则A=0或A=E; 解 取, 则A2=A, 但A0且AE. (3)若AX=AY, 且A0, 则X=Y . 解 取 , , , 则AX=AY, 且A0, 但XY .7. 设, 求Ak . 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立，则k

4、+1时， , 由数学归纳法原理知: . 8. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵. 证明 因为AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 从而BTAB是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为 , 故 . (3); 解 . |A|=20, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 12. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . 19.设P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解

5、 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 .20. 设AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 21. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为 E-Ak=(

6、E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 由定理2推论知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+ +A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1. 22. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都

7、可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 证明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推论知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推论知(A+2E)可逆, 且. 证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=

8、O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2(-4),

9、r3(-3) , r4(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 3. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1); 解 故逆矩阵为. (2). 解 故逆矩阵为. 5. (2)设, , 求X使XA=B. 解 考虑ATXT=BT. 因为 , 所以 , 从而 . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,

10、此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12. 设, 问k为何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)当k=1时, R(A)=1; (2)当k=-2且k1时, R(A)=2; (3)当k1且k-2时, R(A)=3. P106/1.已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由

11、知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由 知R(B)=2. 因为R(B)R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示.4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为 , 所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a取什么值时下列

12、向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由 知, 当a=-1、0、1时, R(A)3, 此时向量组线性相关.9.设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,从而 b1-b2+b3-b4=0, 这说明向量组b1, b

13、2, b3, b4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组. 12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1); 解 因为,所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2). 解 因为,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.13. 设向量组(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (

14、1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩为2, 求a, b. 解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因为, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1); 解对系数矩阵进行初等行变换, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(-16, 3)T; 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程组的基础解系为 x1=(-16, 3, 4, 0)T, x

15、2=(0, 1, 0, 4)T. (2). 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(-2, 14)T; 取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T. 因此方程组的基础解系为 x1=(-2, 14, 19, 0)T, x2=(1, 7, 0, 19)T. 26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: (1); 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有. 与所给方程组同解的方程为. 当x3=0时, 得所给方程组的一个解h=(-8, 13, 0, 2)T. 与对应的齐次方程组同解的方程为. 当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系x=(-1, 1, 1, 0)T. (2). 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 . 与所给方程组同解的方程为. 当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解h=(1, -2, 0, 0)T. 与对应的齐次方程组同解的方程为. 分别取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得对应的齐次方程组的基础解系x1=(-9, 1, 7, 0)T. x2=(1, -1, 0, 2)T.