《线性代数》期末复习题答案.doc

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1、一、填空题1. 是关于的一次多项式，该式中一次项的系数是。2. 已知四阶行列式中第三列元素依次为，它们的余子式依次分别为，则。3. 已知，则。4. 已知矩阵满足，则与分别是阶矩阵。5. 已知是奇异阵，则。6. 设方阵满足，则。7. 设，则。8. ，为自然数，则。9. 若为阶方阵，且，则。10. 若阶方阵的秩小于，则的行列式等于。11. 设为3阶方阵，且，则。12. 已知，满足，则。13. 设为阶方阵，且，则，。14. 若为阶方阵，且，则。15. 设为5阶方阵，且，试求。16. 已知矩阵，则。17. 设向量组，线性相关，则参数=。18. 设，若，则的列向量组线性。19. 设为矩阵,非齐次线性方程

2、组有解的充分必要条件是。20. 线性方程组的一个基础解系是。21. 设，则齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数为。22. 设是秩为的阶矩阵，则齐次线性方程组的任一基础解系所含解向量的个数均为。二、计算题1. 计算行列式 （1）； （2）；（3）； （4）。解：（1）解：（2）解：（3） 解：（4）2. 设均为阶矩阵，求。解：3. 设为3阶方阵，求行列式的值，其中为的伴随矩阵。解：4. 已知，求，解：，,5. 设阶方阵和满足条件，且已知，求矩阵。解：6. 设，且有关系式，求矩阵。解：构造7. 已知，求，使。解：， 8. 已知矩阵的秩是3，求的值。解：所以，当时，。9. 设，求。解： ，所以10

3、. 设，试确定的范围，使，线性无关。解：，当，即时，从而，线性无关。11. 判别向量组，的线性相关性，求它的秩和它的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组表示。解：，所以线性相关，为一最大无关组。继续化行阶梯形为最简形12. 讨论对于的不同取值，向量组，的秩，并求出对应该值的一个最大线性无关组。解：当时，最大无关组；当时， 而最大无关组。13. 已知向量组，线性无关，向量组，线性相关，求值。解： 考虑，由向量组，线性无关，而线性相关线性方程组有非零解 14. 求齐次线性方程组的基础解系及通解。解：由，得到 取为自由未知量令， ，得到基础解系因此，原方程组的通解为：其中。15. 讨

4、论取何值时，线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解。解：（1）当且时，原方程组有唯一的解；（2）当时，原方程组无解；（3）当时，原方程组有无穷多解，将代入阶梯形矩阵，继续化阶梯形为最简形 同解方程组 通解16. 求非齐次线性方程组的通解。解： 17. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解：，的基础解系只含个解向量。令， 即为的基础解系。所以通解为三、证明题1 设为维列向量，,，证明：是对称的矩阵。证明： ， ，所以是对称的矩阵。2 设，其中为任意常数，证明。证明：，则 ，所以3 设是阶方阵，如果可逆且满足，证明和均可逆。证明：由 ， 和均可逆。4 如果，证明可逆并求。证明： ，所以可逆， 5 设向量组线性无关，证明也线性无关。解： 考虑 ，由向量组，线性无关，得到所以，也线性无关。6 设向量组，线性相关，且它的任意个向量线性无关，证明向量组，中任一向量都可以由其余向量线性表示。证明：因为向量组，线性相关，所以存在不全为零的数使得，从向量组，任意个向量线性无关因此，向量组，中任一向量都可以由其余向量线性表示。