高中数学教学论文：正本清源——基于数学史的高中数学概念教学.doc

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1、正本清源基于数学史的高中数学概念教学摘要：基于数学史开展高中数学概念教学可介绍概念产生的背景及价值；利用数学史中概念产生的具体过程揭示概念的内涵；通过数学史中的正、反两方面的例子剖析概念的本质；从历史角度讲解概念中蕴含的数学思想为切入点，采用问题策略和有指导的再创造策略，针对形成式概念、同化式概念实施教学，从而达到对数学概念的深层理解，进而“再创造”。关键词：数学史；数学概念一、问题的提出1一则案例的思考【案例】单位圆定义法与终边定义法定义任意角的三角函数的讨论在人教版普通高中实验教科书数学4必修（A版）中，三角函数采用单位圆定义法。章建跃博士在文为为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数

2、指出它符合三角函数的发展历史三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程思考：“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用教材编写者采用了还原概念原貌的编写方式，鲜活的历史应该会使处在应试教育中的教师对数学、尤其对数学的教育的理解有所提升. 前苏联教育家斯托利亚尔认为，数学史能够向人们提供“关于数学概念、方法、语言发展的历史道路的重要信息”，以及“学校教学中形成和发展这些概念的方法、语言的途径”。数学发展史告诉我们，每一个

3、重要的概念的形成和发展，都有着丰富的经历，都充满着人类探索的情意成分和对真理不懈追求的精神，也就是说，“在形式化的数学概念这一冰冷的美丽里面蕴含着人类探索的火热的思考，数学概念形成过程中蕴含着丰富的生活含义”。基于数学史进行探究式数学概念学习应该是一条可行且有效的途径。2概念理解的历史相似性的调查【调查】用你自己的语言描述一下函数的概念（高二，124人）类别概念频数历史上数学家对函数的理解A变量的对应关系25傅立叶（1822）；哈代（1908）B集合的对应关系33坦纳里（1904）；布尔巴基（1939）C映射10戴德金（1887）D解析式15伯努利（1696）；拉格朗日（1797）E运算8格雷

4、戈里(1667)F变量的依赖关系12莱布尼兹（1714）；柯西（1821）G图像12欧拉（1748）H其他（模糊或错误的定义）9结论：函数概念从产生到完善历经数世纪之久，可见函数思想之难。即使在教材和教学的影响下，也仍然有那么多的学生给出了不同于教材,却类似于历史上17世纪到20世纪上叶不同时期数学家的回答，这种函数概念理解中的历史相似性还表明：概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍。弗赖登塔尔相信：“年轻的学习者重蹈人类的学习过程，尽管方式改变了。”如果我们能深入了解数学史，明确概念如何获得，获得的过程中遇到什么样的困难，是如何解决的，也就知道如何帮助学生获得概念，这对

5、设计概念教学，把握教学难点有指导作用。所以，对于概念的教学，我们可以根据数学史上这些让数学家也曾困惑的问题出发，设计同样的或类似的情境，让学生具体感受数学知识活动的实质，从根本上理解概念何以这样规定，从而达到对数学概念的深层理解，进而“再创造”。二、基于数学史的高中数学概念教学的切入点1介绍概念产生的背景及价值数学概念是人们通过实践，从数学研究对象的许多属性中抽象出其本质属性，做高度概括而成的。数学概念的产生，是揭示数学概念发生的实际背景和基础，它极大的影响着学生对概念的理解和运用。所以在中学数学概念教学中应注意数学情境的设计，利用数学概念的发生发展过程，有选择的创设模拟情境，让学生亲历知识的

6、发现过程，在感性材料中，在历史背景下揭示出概念的本质，完善概念体系的建立，给出严格的形式化的定义。例如:在讲授对数概念时有目的的介绍概念产生的背景可以使学生体会对数概念的在当时的重要性及价值天文学家兼数学家拉普拉斯称赞这是一项“使天文学家寿命倍增”的发明。又如介绍坐标系的概念，笛卡尔是在什么情境下发明坐标系的概念的？笛卡尔一直在思考的问题是：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨：通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。坐标系产生有什么意义？恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说：

7、“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。”2利用数学史中概念产生的具体过程揭示概念的内涵数学概念的抽象性给数学带来了许多困难。这些困难大体可归纳为两类：一是数学概念抽象且枯燥，难以引起学生的兴趣；二是数学概念深奥，适应性广，难以抓住其本质。让我们回到数学史中去，我们会看到许多抽象的数学概念或者直接来自实践的具体对象，或者以几经抽象的相对的具体的问题为依托，这些具体对象被认知，相对具体的问题被识别，推进着概念的逐级抽象。历史往往就是这样显示出概念内涵的凝聚和形成。基于数学概念发展的历史，有利于学生从整体上把握数学概念的发展脉络，感受隐含在概念演变与修

8、正过程中的丰富智慧，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学的本质，并在领略数学家们为概念的日至成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。例如，在讲解函数概念可以讲讲函数发展的历史，通过一次次的思想的飞跃，由几何观下的函数到代数观下的函数到对应关系下的函数概念，最后发展到现代函数概念集合论下的函数，不仅使学生的知识具有连续性，更可以看到概念的内涵，使“函数”这个概念成为富有人性化的，而非枯燥无味的概念。3通过数学史中的正、反两方面的例子剖析概念的本质教材叙述概念总是采用正面阐述的形式，而学生常常对一些概念的关键词语缺乏深刻地认识，对概念所要求的条件理解不全面。教育

9、心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。在教学过程中，我们不仅要运用正面的实例透彻的阐述知识，而且要运用恰当的反例从另一个角度让学生理解数学概念的本质，弥补正面教学不足，从而加深学生对数学知识的理解。概念的发展史中比比皆是的正例和反例为教学提供了很好的素材。例如：历史上真函数与假函数的争论可以为函数概念的讲解提供很好的反例，它可以回答分段函数是不是函数的问题。狄利柯雷函数没有图像，它可以解释为什么不用图像作为函数标准。又如在数学期望概念的学习中，设计一张史称“点数问题”的学习单，列举分别包括15世纪意大利数学家帕西沃里、卡兰奇和17世纪法国数学家

10、费马和帕斯卡的解法，并组织学生讨论，将数学史无声的运用到概念教学中，把握概念的本质。4.从历史角度讲解概念中蕴含的数学思想苏联学者M.M.弗利德曼指出：“在学校课程中数学的思想和方法已当占有中心地位，占有把教学大纲所有的，为数很多的概念，所有的题目和章节结成一个统一的学科的核心地位。”数学概念和其他数学知识一样，是中学数学的表层知识，而数学思想、方法是数学的深层知识，深层知识是网络，将数学知识编织在一起，形成结构，息息相关；深层知识是根和茎，使表层知识这株大树巍然挺立，并不断分枝、分杈，枝繁叶茂。因此，数学概念教学的主要目标之一是使学生通过概念的掌握和运用，最终理解和掌握数学思想和方法。只有当

11、学生在数学思想、方法的高度上掌握数学概念，数学知识时，才能较好的形成数学能力，受用终生。因此，学生通过数学史上概念发展可以由表层知识达到对深层知识的领悟，还可以促使学生深刻的理解数学思想方法，保证思维的连贯性，进而“再创造”。例如，函数概念的产生、发展、变化中蕴含着对应思想；对数的产生过程蕴含着类比的思想等等。又如为了有效地促进高中解析几何的教学，我们可以通过分析笛卡儿创立解析几何过程中体现的数学思想，从而有效地实现课程目标。而作为一个整体文化系统的笛卡儿解析几何思想，其中每一个子系统之间是互相关联的（见图）。笛卡尔数学思想的内涵（一个整体文化系统）数学结构哲学表现科学价值认识模式历史渊源个性

12、品质三、基于数学史的高中数学概念教学的策略1问题策略问题策略是指为了丰富学生在概念学习中的体验，将数学史中数学概念的形成过程、形式化的数学概念以及一些相关的材料转化成数学问题，形成问题情境，在问题的探究中“学数学、做数学、用数学”，最终构建概念的心理表征。正是有了形形色色的数学问题，才产生了丰富多彩的数学概念，因此，概念教学的起点应是问题。真正的数学教育应遵循数学发展渐进系统化的过程，教学生像数学家那样“再创造”的方法去学习。基于数学史的概念教学必须问题化。这可从两方面着手：其一，把概念形成过程问题化。一个概念是如何引入的？必要性和重要性何在？这些问题往往也是区分概念的本质特征和非本质特征的关

13、键所在。因此教学中应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使有关材料成为学生思考的对象。其二，把形式化的数学材料转化为蕴含概念本质特征、贴近学生生活的、适合学生探究的问题。通过学生动手操作，把数学拉到学生的身边，使数学变得亲切，把学生引向概念本质。2.有指导的再创造策略有指导的再创造策略是指利用数学史料进行课堂设计让学生经历数学知识的形成与应用，自主的生成概念。再创造策略可以使学生更好的理解数学概念形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，增强学好数学的愿望和信心。特别是对于抽象数学概念的教学，要特别关注概念的形成的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概

14、念的学习方式。弗莱登塔尔说得好：“我们不应该遵循发明者的足迹，而是经过改良同时又更好的引导作用的历史过程”，在教学过程中，学生应当有机会经历与数学事件的历史发展相类似的探究过程，但此时并不是真正的去创造，而是在教师的引导下获得知识。学生沿着历史发展的路径，了解某部分的数学概念的来龙去脉，在此过程中他们的学习也包含了再创造、再发现的意义。有指导的再创造策略的应用要求教师的课堂设计应当具有一定的开放性，为学生提供“提出问题、探索问题”的空间，培养学生勤于思考的习惯、坚韧不拔的意志和勇于创新的精神。四、基于数学史的高中数学概念教学的实施1基于数学史的形成式概念教学基于数学史的形成式概念教学可按照如下

15、程序进行:具体特例观察共性抽象本质形成定义概念应用强化概念 阶段1教师给出一组概念的正例，以便供学生主动地进行观察和分析，而这些例子可来源于数学史提供的素材。 阶段2学生处理资料，可以以小组讨论的形式或通过个人的观察，概括出这些具体特例表明数学关系的本质属性。在这一过程中，学生往往会根据具体特例逐步剔除非本质的属性，抓住本质属性，抽象、概括并提出一些假设，然后经过比较、分析、验证、并修正这些假设。 阶段3教师和学生共同归纳，抽象、概括出该组特例的本质属性。同时，考虑适当地引入概念发展史，介绍历史上人们对此概念的认识过程，即人们是怎样对生产实践中出现的问题进行分析，是怎样抓住问题的本质属性，并加

16、以归纳、抽象、概括而提出各种假设，然后，又怎样进行比较、分析修正这些假设，最后形成数学概念。 阶段4教师给出概念的定义，或者由学生自己根据讨论或个人的观察、分析下定义。针对学生对概念下定义有不完善的情况，教师根据情祝引入数学概念发展史，人们对概念下定义的各种不同认识，并给予进行逐一进行分析、评判并加以修正。 阶段5采用由学生举出更多概念的正例，教师举出反例让学生判断的方法，强化学生对概念的理解。阶段6概念的应用，包括概念的直接应用和讨论概念的性质，而讨论概念的性质就转入了命题学习阶段。2. 基于数学史的同化式概念教学基于数学史的同化式概念教学的可按照如下程序进行:已学过的概念定义概念分析概念概

17、念应用强化概念 阶段1教师呈现学生己学过的数学概念，确定其与所要学习的概念之间可以是下位、上位或并列关系。 阶段2教师给出概念的定义，适时地介绍数学概念发展史，呈现人类对此概念的认识过程，这需要教师根据学生学习情况或课堂气氛灵活安排。 阶段3教师引导学生仔细辨认概念与已经学过的有关概念相联系，区分异同，剖析概念的结构，揭示概念内涵，明辨概念外延，充分利用原有认知结构中的有关概念同化新概念。 阶段4强化概念。采用由学生举出更多概念的正例，教师举出反例让学生判断的方法。 阶段5概念的应用，包括概念的直接应用和讨论概念的性质，而讨论概念的性质就转入了命题学习阶段。五、结束语历史是最好的启发式！庞加莱

18、指出：“教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。”波利亚在数学的发现中指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。” 因此，在概念的教学中，如果能借鉴历史，无疑会改善我们的教学，帮助学生更好的理解概念，将间接经验内化为自身的数学思维能力。 参考文献：1汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法J.数学教育学报，2006，12周友士.数学史在数学新课程中的教学意义J.数学通报，2005，23张维忠，汪晓勤.文化传统与数学教育现代化M.北京大学出版社4陈惠勇.数学史观下的数学概念教学新模式J.高等数学研究，2007，105李明振.数学史融入中学数学教材的原则 方式和问题J.数学通报，2006，6