电动力学第五章课件.ppt

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1、2023/3/13,第四章 电磁波的传播,1,第四章 电磁波的传播（9课时）,三类典型的电磁波问题：传播，激发，与介质相互作用 电磁场的波动性和波动方程，定解问题转换（传播问题）时谐电磁场，独立齐次边值关系 绝缘介质和导体中的电磁波，电磁波在界面上的反射和折射 有限空间的电磁波的传播，谐振腔和波导管,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,2,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,电磁场的波动方程(分区均匀线性各向同性介质)1.基本方程,(4.1.2),(4.1.3),2.边值关系,(4.1.4),绝缘介质、普通导体界面：i0=0 绝缘介质界面：00,(4.1.5),(4.1.1),齐次边值关

2、系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场源,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,3,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,3.电场波动方程 将电磁性能方程(4.1.3)代入麦克斯韦方程(4.1.1)得,(4.1.6),运用矢量分析手段，从方程中消去B，化作仅含E 的方程：,(4.1.7),类似步骤可导出,(4.1.12),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,4,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,4.电场波动方程的定解问题 原定解问题,(4.1.6),初始条件：,边界条件：,新定解问题(a)基本方程,(4.1.7),(将证式(4.1.6)第二式自动成立),(b)定解条件：,电

3、场：磁场：,（为何不需要标定边条件？）,新老定解问题之间的等效性,证毕,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,5,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,二 时谐电磁场1.定义：在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场,称为时谐电磁场,或称为定态电磁场.,2.时谐电磁场的复数表述,(4.1.13),(4.1.15),3.定态波动方程,(4.1.16),(4.1.17),由式(4.1.17)，B=0 自动满足 幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需 给定边界条件和无限远处的渐近条件 解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其 他外部约束条件解决；例如

4、电磁波的反射和折射将证明解的唯一性,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,6,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,4.时谐电磁场的边值关系 原边值关系,(4.1.4),绝缘介质、普通导体界面：i0=0 绝缘介质界面：00,(4.1.5),齐次边值关系,可由,导出,S,C,电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续;对时谐场，后者不独立！,一般结论:切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,7,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,绝缘介质、普通导体界面(i0=0)：(a)绝缘介质界面：00,齐次边值关系,可由,导出,证,S,C,磁场强度切

5、向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！,(b)普通导体界面：0 0，,关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解，而是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度,结论：用于求解时谐场的独立齐次边值关系如下：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,8,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,理想导体或超导体边界(体内 E=B=0)作为电磁场的边界 与边值关系自洽的边界条件,1（良导体或超导体）,2,S,事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度,n,说明：Bn=0 可由E=0 导出，即自动满足。,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,9,4.1 电磁场波动方程和

6、时谐电磁场,5.复数表示下的乘法运算 乘积的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算 乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算 类比交流电的平均功率表达式：,平均功率复电压(共轭）复电流,可写下电磁能密度、能流密度和功率密度,(4.1.21),(4.1.22),(4.1.23),的周期平均值：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,10,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,三 无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波,用直角坐标下的分离变量法求解，对E 的某个分量u:,取实部：,求解过程,（波矢）,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,11,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场

7、,物理分析,1.平面波(波阵面为平面），沿波矢k 方向传播，相速度为,2.横波，E、B、k 满足右手正交关系(见右图),E,B,k,3.E 和B 同相变化，且,4.平均电磁能量密度、能流密度和动量密度：,（n 为折射率）,(4.1.28),(4.1.28),(4.1.29),(4.1.30),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,12,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,5.平均动量流密度：动量流密度表达式（瞬时值）：,相对基矢(eE,eB,ek)及其并矢展开（技巧：选择合适坐标系）,(4.1.33),(4.1.34),瞬时动量流密度：,平均动量流密度：,2023/3/13,第四章 电磁波

8、的传播,13,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,电磁波的偏振1.定义：横电磁波中电场的振动状态针对横电磁波，E 和B 均与传播方向垂直只需分析电场的振动状态：Re(B)=kRe(E)/2.数学描述：不妨设电磁波沿 z 轴传播，k=k ez,偏振度：,：偏振度的模：偏振度的辐角,通过在Re(Ex)Re(Ey)平面作图，描出电场矢尖运动轨迹 从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性（个例分析）按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据（综合）,(E0 x,E0y为正实数),3.分析步骤：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,14,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,4.典型结果线偏振：电矢量矢尖

9、轨迹为直线 判据：偏振度 R 为实数（偏振度的辐角0）圆偏振：电矢量矢尖轨迹为圆周 判据：偏振度为虚数单位，R=i,右手定则：大拇指指向传播方向（纸面），电矢量旋转方向与四指方向一致为右旋，反之为左旋（也适合于椭圆偏振情况）,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,15,4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场,椭圆偏振：电矢量矢尖轨迹为椭圆 判据：偏振度为复数；将辐角约化至（0，2）范围，,左旋椭圆偏振（R=i为左圆偏振）右旋椭圆偏振（R=i为右圆偏振）,任意（椭圆）偏振波的分解（参见4.1节末尾的定性陈述）,分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波,线偏振基矢,：左旋圆偏振基矢：右旋圆偏振基矢,复基矢

10、正交归一关系：,圆偏振与线偏振分量的关系：,分解为 x 向线偏振波和 y 向线偏振,自然光（非偏振光）：电矢量振动方向随机等概率分布，例如太阳光,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,16,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,定解问题的提法必要性：我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就能唯一地确定反射波和折射波，从而给出反射折射规律的确定描述,给定入射波:,（4.2.1),确定反射波和折射波:,(4.2.6),满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系:,(4.2.5),2.定解问题描述：电磁波从1侧入射至界面 z0,(4.2.8),(4.2.9),(4.2.7),202

11、3/3/13,第四章 电磁波的传播,17,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,二 定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束,(4.2.11),(4.2.10),三 边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束,(4.2.12),由时间 t 的任意性推得,(4.2.13),由(4.2.10)得,不能由上式断定,以考察点为原点，引入局地圆柱坐标：,(4.2.16),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,18,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,(4.2.16),上式表明：反射波和折射波的波矢位于n-k平面（称为入射面）内。,取入射面为 x-z 平面，则,由(4.2.16)得,

12、(4.2.18),(4.2.17),反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。,四 反射定律和折射定律,由(4.2.18)得,(4.2.19),(4.2.20),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,19,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,边值关系对反射波和折射波的幅度约束独立齐次边值关系,解的存在性和唯一性 E 与k 垂直，E与k垂直，各有两个独立分量；独立边值关系共计4个，解唯一存在。,尝试分两种情况进行求解：1.E垂直于入射面，2.E平行于入射面；依据：叠加原理 目的：将4元代数方程化为两组2元代数方程求解，简化计算过程,2023/3/13,第四章 电磁波

13、的传播,20,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,1.E垂直于入射面,猜测：E和E也垂直于入射面；规定：指向纸面为电场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出磁场强度正向，示于图44,以下一律取,(4.2.21),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,21,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,2.E平行于入射面（H 垂直于入射面）,猜测：H和H也垂直于入射面；规定：指向纸面为磁场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出电场强度正向，示于图45,(4.2.22),式（4.2.21）和（4.2.22）：菲涅耳公式,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,22,4.2 电磁波在

14、绝缘介质界面上的反射和折射,六 物理分析偏振特性：两种偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光经反射和折射后变为部分偏振光。特别当 90 时，E 平行于入射面的波不发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。（布儒斯特定律；布儒斯特角）半波损失：当2 1 时，有，对E垂直入射面的情况，有E/E 0，反射波与入射波反相，称为半波损失。全反射：当2 1 时，有；当入射角 大于某个临界值时，将达到90或失去意义，折射波消失，入射波发生全反射。,E 垂直于入射面:,E 平行于入射面:,菲涅耳公式,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,23,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,全反射的数

15、学分析：,临界入射角：,=c=/2；c sin 1，为虚数！,这表示，k“为复数矢量；而在复数法中，波矢允许为复数量，其实部为物理波矢(正余弦函数)，虚部反映平面波随空间的衰减(指数函数)。,折射波电场：,折射波沿界面传播，沿 z 向指数衰减，此时有,传播速度为，由介质1波速和入射角决定；,反射系数为1，即发生全反射,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,24,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,折射波不是横波,【备注】当波矢为复数量时，无散条件(kE=0)横波条件！,横波条件：,将可能出现电场或磁场沿 x 方向的分量，从而破坏横波条件,(1)入射波电场垂直入射面()，电场与 x

16、方向垂直，但,(2)入射波磁场垂直入射面，磁场与 x 方向垂直，但,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,25,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,七 能量守恒和动量守恒关系（物理分析之继续）能量守恒关系,入射波能流：nSA反射波能流：nSA折射波能流：nSA,直觉分析,严格证明 从1.4节给出的能流密度的边值关系出发：,(4.2.30),反射系数和 透射系数,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,26,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,2.动量守恒关系,直觉分析,严格证明 从1.4节给出的光压公式出发：,入射波动量流密度反射波动量流密度折射波动量流密度,光压公式：,

17、(4.2.34),介质2为透明介质：介质2为全吸收介质：,平均值：,(4.2.33),即式(4.2.33)成立,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,27,4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射,例4.1 无限介质平面两侧的介质的磁导率同为0，介电常量分别为1和2,电场强度为E 的平面电磁波自1侧垂直入射,在界面上发生反射和折射.在介质2全透明和全吸收两种情况下,分别计算介质界面所受的压力.,解,介质2透明：,介质2全吸收：,解毕,备注：,（参见第一章1.4节（1.4.60）式）,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,28,4.3 导体中的电磁波,基本方程和边值关系,基本方程中出现

18、电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数 处理方法和步骤与绝缘介质情况类似,2.独立齐次边值关系:,1.基本方程：,3.说明:,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,29,4.3 导体中的电磁波,用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得,二 无限均匀导体中的平面电磁波,(4.3.9),(4.3.10),(4.3.11),横波条件：,无散条件：,仅当/时才能满足(反证法),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,30,4.3 导体中的电磁波,电磁波在导体表面的反射与折射 由绝缘介质结果，做如下替换：,反射定律：折射波衰减方向：折射定律：,沿z 向衰减,2023/3/13,第四章 电磁

19、波的传播,31,4.3 导体中的电磁波,良导体近似：,折射波传播速度：,结论：折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中的光速；二者均与导体的介电常量无关（类比恒定电场中的导体）！,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,32,4.3 导体中的电磁波,垂直入射情况下的幅度关系,入射波：反射波：折射波：,边值关系：,结果：,不妨假定电场正向垂直纸面向内 正确列出独立齐次边值关系,介质2换成理想导体或超导体怎么处理？,无折射波；,边值关系：E+E=0;HH=2H=i0;,(i0 与E 正向一致),i0,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,33,4.3 导体中的电磁波,上述结果

20、与2无关,同样说明对良导体来说,其介电常量不起作用.反射系数：,良导体近似及对结果的物理分析：,3.半波损失：E/E14.折射波的特性：,(4.3.29),折射波因欧姆耗散沿透入深度指数衰减(对比绝缘介质全反射情况),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,34,4.3 导体中的电磁波,表面电阻和功率耗散引入表面电阻的目的：实现对良导体表面焦耳耗散的参数描述,满足边界条件：,半无限良导体(z 0)中的定态电磁波解（k=+i）,上述解来自前面垂直入射结果，也可直接代入波动方程验证在理想导体极限下，下边界H 切向分量有限，E 切向分量趋于零,表面电流：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,

21、35,4.3 导体中的电磁波,平均功率：,表面电阻：,积分电导：；表面电阻：1/();功率面密度:表面电阻面电流密度有效值平方,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,36,4.3 导体中的电磁波,应用：计算电磁波在导体中的穿透深度；计算导体壁的焦耳功率,1.计算电磁波在导体中的穿透深度：,计算导体壁的焦耳功率采用良导体近似计算功率面密度：在理想导体近似下求解电磁波（见下节波导管）条件：衰减距离（也正比于1/2）波长积分求出单位长度波导管的耗散功率（习题4.13),良导体：,普通导体：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,37,4.4 谐振腔和波导管,将电磁波限制在有限空间，实现高频电

22、磁波的有效激发和传播 求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变量法 不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质,一 基本方程和边界条件 电磁场以理想导体为边界，设为S；内部填满均匀线性各向同性介质,电场定解问题：,磁场及界面场源：,(规定n 指向解域内部),自动满足,事先将无散条件对边值的约束条件写出：,(4.4.7),仅适于平面边界；对球面边界，见习题2.1,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,38,4.4 谐振腔和波导管,二 谐振腔1.求解过程（分离变量法）,解域：解域边界S：,针对电场E 的某个分量u 求分离变量解：,(4.4.10),(4.4.11),(4.4.12),由边界

23、条件定参数，以Ex为例：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,39,4.4 谐振腔和波导管,m,n,l 为正整数,(4.4.14),(4.4.13),对Ey 的和Ez 作类似处理，最终求得：,(4.4.15),由无散条件E0，导出3个幅度因子满足如下约束条件：,(4.4.16),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,40,4.4 谐振腔和波导管,将电场解乘上因子,，取其实部,求得实际电场为,(4.4.17),2.物理分析不传播，为驻波解波矢分量取离散值（又称本征值），由整数集合（m,n,l）表征,对应解为本征解。在（m,n,l）中，至少有两个不为零，否则为零解。（m,n,l）本征解的

24、角频率为,由整数集合（m,n,l）表征的本征解,存在两个独立波模,最低频率和最大波长（对L1,L2 L3)：,(4.4.16),(4.4.14),(4.4.13),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,41,4.4 谐振腔和波导管,三 波导管1.求解过程（分离变量法）,解域：解域边界S：,分离变量解：,(4.4.21),(4.4.11),与谐振腔解的区别：,如何看待这一区别？两种取法在数学上完全等效，可随意选取；对谐振腔情况取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属 于一种数学技巧；谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来自本征解的取法不同，而是来自z 向边界的边界条件；若限于右行波，可

25、取 c2=0。,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,42,4.4 谐振腔和波导管,.,由边界条件定参数：,(4.4.22),(4.4.23),选择沿正 z 向的行波解：,(4.4.24),(4.4.25),2023/3/13,第四章 电磁波的传播,43,4.4 谐振腔和波导管,(4.4.26),(4.4.22),2.物理分析行波解：波矢分量k1 和k2 取离散值（也称本征值），由整数集合（m,n）表征,对应解为本征解。在（m,n）中，至少有一个不为零，否则为零解。波矢分量k3 和角频率 取连续值，二者满足关系：,临界频率、下截止频率和最大波长：,(4.4.27),(4.4.29),(4.

26、4.30),相速度超过光速：,群速度低于光速：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,44,4.4 谐振腔和波导管,横电波和横磁波不是横波，如何理解？,（a)波导管中的行波可分解为若干平面波（横波）的叠加，但若干个平面波的合成波一般不是横波；（b)这说明：局限在有限空间的电磁波一般不是横波,横电波（TEmn,存在TE10和TE01波模）：A3=0 Ez=0,横磁波（TMmn,不存在TM10和TM01波模）：,TM10：,2023/3/13,第四章 电磁波的传播,45,第四章 电磁波的传播,第四章小结,电磁波传播问题解法从电场出发，求解电场波动方程的初边值问题新老定解问题的等效性时谐电磁场，

27、独立齐次边值关系分离变量法问题类型无限空间的平面波解（均匀线性各向同性介质，均匀导体）反射折射问题（解的唯一性）有限空间的电场波动方程的边值问题，谐振腔和波导管表面电阻和功率耗散先按理想导体近似处理有限空间的电磁波；后由表面电阻公式计算功率耗散电磁波幅度将随传播距离衰减；所获得的衰减解不是严格解，而是近似解（略去/的二级小量下的近似解）,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,