模糊拓扑学硕士学位论文.doc

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1、目 录前 言1第一章 预备知识2第二章 相对子基的内部算子和闭包算子及其应用32.1 由子基生成的内部算子和闭包算子32.2 相对开集和相对闭集42.3 分子网及其收敛理论62.4 相对子基的连续序同态82.5 -连通性102.6 -分离性122.7 -紧14第三章 模 糊 紧163.1 -闭集在强模糊紧性方面的应用163.2 紧223.3 层次不等式紧253.4 关于几乎良紧性的注记29参考文献31致 谢33攻读学位期间发表的学术论文34前 言自1968年C.L.Chang以Zadeh的Fuzzy集理论1为骨架提出模糊拓扑空间（简称F-拓扑空间）的概念2以来,模糊拓扑学得到了迅速的发展.模糊

2、拓扑学所面临的基本框架与分明拓扑学有很大的相似,正因如此,分明拓扑学中的几乎全部结果都可以推广到模糊拓扑学中来,如开集、闭集、邻域、F-连续映射及其特征刻画定理,覆盖性质和紧性及其在连续映射下的不变性3等等.这类工作虽然难度不大,但作为建立完整的模糊拓扑学理论的总进程来看,是必不可少的组成部分.比如,像在分明拓扑学中那样4,称满足条件的F-集为正则开集.设是通常映射,若中正则开集的原象是中的开集,则称是几乎连续的.4中还引入并讨论了半连续映射与弱连续映射等.与此相联系5引入了所谓几乎紧性,F-拓扑空间叫几乎紧的,若的每个开覆盖都有有限子族,其中各开集的闭包覆盖(在分明拓扑学中,若是拓扑空间,则

3、此定义刻画的是绝对闭性).其它比如Borel集、半开集、绝对闭性、S-闭性以及各种意义下的近似紧性与近似连续性等理论都已被推广到F-拓扑空间中.本文第二章即类似上面的推广型研究.文6与7鉴于Pawlak粗糙集模型和覆盖广义粗糙集模型中的下近似集和上近似集分别对应于某一拓扑空间的子集的内部和闭包,定义了分明拓扑空间中的子集关于子基的内部和闭包,并给出了相关理论.本文第二章是这一工作的推广.本文将关于子基的内部和闭包推广到一般的-拓扑空间（简称-空间）,并引入了相应的附着点、聚点等概念,同时讨论了网的收敛,刻画了-空间中的连续序同态、连通性、分离性以及紧性.然而,更吸引人的似乎是那些能充分体现出模

4、糊拓扑学特点的工作,比如F-拓扑空间的层次结构.层次结构是模糊拓扑学区别于一般拓扑学的显著特点,这种特点在各种紧性的描述中得到了充分的体现.如,文8通过模糊集的边界特征来刻画紧性,文9通过-网的收敛性引入了良紧理论.此外,像Gantner、Steinlage与Warren在拓扑空间中引入的-紧性10,Lowen在0,1拓扑空间中引入的模糊紧、强模糊紧以及超模糊紧等都是从层次结构入手来研究模糊紧性的11.本文第三章给出了两种层次紧性,一种是以文25给出的不等式紧为定义的-紧,一种是利用文14中的-覆盖和-覆盖引入的-紧.另外利用文12引入的-闭集（看似闭集,但不是闭集,只是在某一层上像闭集,而有

5、些情况下确实又能代替闭集）,给出了关于强模糊紧性的一些新特征,最后证明了文35给出的几乎良紧集和近良紧集是等价的.第一章 预备知识本文中,总表示一个完全分配的de Morgan 代数,是一个非空分明集.从到的映射被称为上的模糊集,表示上的所有-模糊集的集合, 、分别表示中的最小元和最大元.中的元素被称为素元,如果时,有或;中的元素被称为余素元（或分子）,如果是素元.表示中所有素元的集合,表示中所有余素元的集合,表示中所有非零余素元的集合.定义1.313 设是-空间,如果中每个高为的分子（即）,有使,则称为的远域族,简称的.记作.如果存在,使,则称为的.定理1.413设是-空间,且,如果,有使,

6、则称为-覆盖. 如果存在,使U为-覆盖,则称U为-覆盖.定理1.513设是分明拓扑空间,是格,是的子集,则当且仅当,这里是的特征函数.定义1.613设和是中的两个分子网,如果存在映射使得（i）;（ii）,当时,则称为的子网.定义1.713设是网,是针对于中的点而言的某个性质,（i）如果存在使得当时,具有性质,则称网最终具有性质.（ii）如果对于任意存在,当时,具有性质,则称网经常具有性质.对,我们采用如下记号： ,.第二章 相对子基的内部算子和闭包算子及其应用1968年,C.L.Chang以L.A.Zadeh的模糊集理论1为骨架,引入了模糊拓扑空间的概念,并把诸如开集、闭集、邻域、内部、闭包、

7、连续性以及紧性等基本概念推广到了Fuzzy拓扑空间中去.本章以文献6的理论体系为框架,引入了-空间中的集合关于子基的内部和闭包,以及由它们导出的关于子基的开集、闭集、聚点,详细研究了它们的性质,并利用它们刻画了L-空间中的连续序同态、网的收敛、连通性、分离性和紧性.若没有特别说明,本章中的即指子基.2.1 由子基生成的内部算子和闭包算子定义2.1.1设是-空间, , 是的子基,是序同态,称为关于子基的相对内部,称为关于子基的相对闭包.例2.1.2 设是-空间,(是实数集),是有理数集的特征函数,是中的常值模糊集,是的子基,则当时, , .当时,.例2.1.3 设,不可比较大小,显然是 的子基,

8、则,.命题2.1.4 设为-空间,则下列命题成立：（1）当是的基时,；（2）是中的开集,且 ；（3）是中的闭集,且 ；（4）,；（5）；（6）；（7）若,则；（8）若,则；（9）若可以表示成中若干个元之并,则；（10）,.证 仅证（5）.由的定义,=注：与（5）相反的不等式在一般拓扑空间中不成立6,故在模糊拓扑空间中也不成立,例2.1.3说明在一般情况下,中的等号不成立.例2.1.2说明同一模糊集由不同子基生成的相对内部和相对闭包是不同的.那么什么情况下同一拓扑的两个子基会生成相同的内部算子和闭包算子？什么情况下关于同一子基的内部算子或闭包算子能诱导一个拓扑？诱导的拓扑和原拓扑什么关系？这都是

9、还有待于进一步研究的问题.2.2 相对开集和相对闭集本节利用由子基生成的内部算子和闭包算子定义了相对开集和相对闭集,并引入了-附着点和-聚点的概念.定义2.2.1 设为-空间,若,则称为关于子基的相对开集,简称-开集;若,则称为关于子基的相对闭集,简称-闭集.中所有-开集的集合记为,所有-闭集的集合记为,显然,.由相对开集和相对闭集的定义易得下述命题.命题2.2.2 .定理2.2.3 设为-空间,则（1）；（2）任意多个-开集的并仍是-开集.证 （1）由命题2.1.4（4）易得.（2）设A是一族-开集,则由命题2.1.4（8）知,故,注意到,故,又显然有,所以,得证.定义2.2.4 设为-空间

10、,若,则称为分子的-闭远域,所有-闭远域的集合记为;若对任意,存在且,则称为分子的-远域,所有-远域的集合记为.易证.定义2.2.5 设,称是的伪-邻域,如果.的所有伪-邻域之集记为.由以上两个定义易得如下命题.命题2.2.6 .定义2.2.7 设为-空间,称是的-附着点,若,.定理2.2.8 设为-空间,则（1）；（2）.证 （1）充分性 假设,则由是-闭集知是的-闭远域,注意到,故.必要性 设,则存在使得,从而存在且,进而,又,故.（2）由任一模糊集均可表示成其中若干分子的并及（1）得定义2.2.9 称为的-聚点,若（i）且为的-附着点；（ii）或且及中每个包含的分子都有.定义2.2.10

11、设为-空间,的一切-聚点之并叫做的导集,记作.定理2.2.11 .证明完全类似13中定理2.2.9的证明,故省略.2.3分子网及其收敛理论定义2.3.1 设为-空间,是中的网,（1）称是网的-聚点,如果,经常在中,记为；（2）称是网的-极限点,如果,最终在中,记为.的一切-极限点之并记作,的一切-聚点之并记作.定理2.3.2 设是-空间,是中的分子网,则（1）当且仅当；（2）当且仅当.证 以（1）为例进行证明.设,则,从而,由的定义知有-极限点,所以,于是最终在中,故.反之,设,则由的定义直接得.定理2.3.3 设是-空间中的网,是的子网,则（1）若是的-极限点,则是的-聚点；（2）若且是的-

12、聚点,则是的-聚点；（3）若且是的-极限点,则是的-极限点；（4）是的-聚（极限）点,则是的-聚（极限）点；（5）,则；（6）当且仅当有子网以为-极限点.证明是简单的,故省略.定义2.3.414设,称拟重于,若.定义2.3.514设是中的网,称拟重于,如果,.定理2.3.6 存在网拟重于且.证 必要性 设,则由定理2.2.8知,是的-附着点,所以由命题2.2.6知,从而,取使,则得网,显然且拟重于.充分性 设网拟重于且,若,即不是的-附着点,由命题2.2.6知,存在使,注意到,即,满足,进而显然这与拟重于相矛盾.因此.推论2.3.7 设是-空间,则下列条件等价：（1）是-闭集；（2）对任意拟重

13、于的网,如果是的-聚点,则;（3）对任意拟重于的网,如果是的-极限点,则.证 （1）（2）设是-闭集,是任意拟重于的网,是的-聚点,则由定理 2.3.6 知,因此.（2）（1）假设存在分子,但,则由定理2.3.6知存在网拟重于且,从而,矛盾.故,即是-闭集.（1）（3）证明类似,故省略.推论2.3.8 若是的-附着点当且仅当存在网拟重于且以为-聚点.2.4 相对子基的连续序同态定义2.4.1 13设 是拓扑空间,是序同态,称连续,如果.定义 2.4.2 设是-空间,是序同态,（1）如果,则称是连续的；（2）如果,则称关于子基连续；（3）如果,则称关于子基连续.易知 关于子基连续连续关于子基连续

14、,反之不成立.定义 2.4.3 设是-空间,是序同态,称在分子处连续,如果.定理2.4.4 设是-空间,是序同态,则下面条件等价：（1）是连续的；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）在处连续；（7）对中的任意网,如果是的-聚点,则是的-聚点；（8）对中的任意网,如果是的-极限点,则是的-极限点.证 （1）（2） 设 是连续的,则从而,注意到,所以.（2）（1） , ,由（2）及 保逆合,故,即是连续的.（2）（3）,由（2）,故,又,所以,而这与等价.（3）（2）,由（3）, ,故,又显然有,所以,即.（3）（4）,这与等价,得证.（4） （5） , , ,由（4） ,注意到,于是由保逆合得

15、.（5） （4） ,由（5）, ,因此.（1）（5）, 由 （1）, 即,由保序,且,于是,所以.（5）（1） ,又显然,从而,即,因此是连续的.（1）（6）显然成立.（6）（1）假设存在,满足,则有使,但,从而,但不是的-远域,否则,有-闭远域,于是,又,所以矛盾,所以任意,都有,因此是连续的.（2）（7）设是中的网,且是的-聚点,且有,即,由（2）知,从而,于是经常在中,这蕴含经常在中,即是的-聚点.（7）（2）,设是任一拟重于且以为-聚点的网,易证拟重于且是的-聚点,由推论2.3.7知即,再由推论2.3.7知,是-闭集.2.5 -连通性连通性是一般拓扑学中最重要的概念之一,它以诸多不同的

16、形式被推广到-空间中,比如文15利用重域引入了-空间中的局部连通性,文16借助于强拟闭-集17引入了SP1-连通性的概念,文18利用-闭包在-空间中给出了连通性,在此基础上文19研究了这种连通性的若干性质.本节利用-开（闭）集引入了-连通性的概念,并给出了它的一些等价刻画.-连通性具有一般拓扑中连通性的诸多类似性质.定义2.5.1设是-空间,若,则称是关于子基隔离的,简称是-隔离的.定理2.5.2 若是-隔离的,且,则是-隔离的.定义2.5.3 设是-空间,如果不存在异于的-隔离集使,则称是-连通集.当是-连通集时,称是-连通空间.定理2.5.4设是-空间,则下列条件等价：（1）不是-连通空间

17、;（2）存在两个非的-闭集使;（3）存在两个非的-开集使.定理2.5.5 设是-空间中的-连通集,则是-连通集.证 设,令,则易证 且 , 同理可证 ,由是-连通集得 或 ,不妨设,则,由此得,从而,所以,故是-连通集.推论2.5.6 若是-空间中的-连通集,则是-连通集.推论2.5.7若是-空间中的连通集,则是-连通集.推论2.5.8若是-空间中的-连通集,则是-连通集.推论2.5.9 若是-连通集,则也是-连通集.推论2.5.10 若是-空间中的连通集,则是-连通集.定理2.5.11 设是-空间,下面条件等价：（1）是-连通集；（2）若是-隔离的且,则；（3）若是-隔离的且,则.证 （1）

18、（2）设,易知,由是-隔离的知, ,这与是-连通集相矛盾,故.（2）（1）设,则是-隔离的且,由此立得,所以是-连通集.（2）（3）由易知,再由,得证.（3）（2）不妨设,且是-隔离的,则 ,即,所以.推论2.5.12 中的每个元都是-连通的.定理2.5.13 设是-空间,如果是-连通的,且有使与都不是-隔离的,则是-连通集.证明同13中相应定理的证明,故省略.推论2.5.14 若一族-连通集的交非空,则它们的并是-连通的.定理2.5.15 设是-空间,是-连通集,是连续的,则是-连通集.证 设 且,令 ,则 ,且由是连续的知,于是,令, 则 且 , 因 为是-连通集,所以.不妨设 ,则 ,从

19、而,由此得,所以是-连通集. 2.6 -分离性目前,关于-空间中分离性公理的研究工作已有很多,其中文13中引入的分离性不蕴含分离性,甚至不是的,文20和21结合邻域和远域引入一种新的分离性公理,这种分离性蕴含性.本节主要是利用-远域引入一套新的分离性公理,并且蕴含,蕴含.定义2.6.1 称-空间是的,如果存在子基使且,存在使或有使.定义2.6.2称-空间是的,如果存在子基使,当时,存在使.定义2.6.3称-空间是的,如果存在子基使,当时,存在与-开集满足且.显然.定理2.6.4 -空间是的对中任二不同的分子有.定理2.6.5 -空间是的任一分子都是-闭集.证 必要性 设-空间是的,设,则是的附

20、着点,如果,则由性知存在使得,这与矛盾,所以,这说明是-闭集.充分性 取即可证得.易知,反之取即可.定理2.6.6 设是-空间,下列条件等价：（1）是的；（2）,当时,存在使；（3）,当时,存在-开集满足使；引理2.6.715设是弱诱导拓扑空间,且,则是中的开集.定理2.6.813设是分子格,则的每个元都有一标准极小集.定理2.6.9设是由拓扑生成的,则存在子基使是的当且仅当是的.证 充分性 设 是 的, 且 . 若 ,则 ,令 ,则 , 这说明既是 中 的-开集又是-闭集,且.若,则存在使得且,此时且,得证.必要性 设存在子基 , 使 是 的, 且,则,故可取,则且,从而存在,使得,由此知,

21、但,由于,即,由,所以,即且是的开邻域,又由上面引理2.6.7知且是的开邻域,又显然,因此是的.推论2.6.10 分离性是弱拓扑不变性.2.7 -紧定义2.7.1设是-空间,称是-紧集,如果对的任一 ,有有限子族使构成的.当最大模糊集是-紧集时,称是-紧拓扑空间.定理2.7.2 是-紧集当且仅当任意,的任一-覆盖U有有限子族使V构成的开覆盖.定理2.7.3 13设是一个-空间,是强紧集当且仅当的每个,使得是的（）.命题2.7.4 -紧蕴含强紧,并且当是基时二者等价.定理2.7.5 设是-空间,若,是-紧集,则是-紧集.证明是简单的,故省略.定理2.7.6 设是-空间,若是-紧集,是-闭集,则是

22、-紧集.证 设,为的任一,则,易证为的,由是-紧集,有有限子族,使构成的,令,则为的且,得证. 定理2.7.7设是-空间,是连续的满的值Zadeh型函数,若是中的-紧集,则是中的-紧集.证 设为的任一,注意到,于是使,这等价于,这说明是的,由是-紧集知,有有限子族使构成的,下证是的.,由是满的值Zadeh型函数知存在使,于是存在使,这等价于,因此是的.证毕.定理2.7.813设是由分明拓扑空间拓扑生成的-空间,则是强紧空间当且仅当是紧空间.定理2.7.9设是由分明拓扑空间拓扑生成的-空间,则存在子基使得是-紧空间当且仅当是紧空间.证 由定理2.7.8及命题2.7.4即可证得.第三章 模 糊 紧

23、紧性是-空间中一个非常重要的概念,模糊紧的概念最早是由C.L.Chang通过开覆盖引入到0,1拓扑空间中的2,后来Rodabaugh22又做了进一步推广,并且从范畴的观点看,在poslat拓扑中这个定义是较理想23.Gantner,Steinlage与Warren在拓扑空间中引入了紧10,Lowen在0,1拓扑空间中引入了模糊紧、强模糊紧和超模糊紧,刘应明引入了子集的紧24,最近史福贵又提出了一种新形式的紧25,以及以这种形式为背景的紧26、-紧27、S-紧28、-紧29及-紧30等种种紧性.而层次结构是-空间的一种重要特征,几乎所有好的结果都是因为考虑了层次结构而得到的.本章即是结合层次结构

24、,给出了两种新的紧性,同时利用-层次闭集给出了强模糊紧性的一些新的特征.3.1 -闭集在强模糊紧性方面的应用在-空间中,通常这样应用层次结构：假设-空间有某些好的性质,考虑分明拓扑空间以及是否也有类似的性质,其中,= :,= :(),= :,= : A(x), =:是分明集.考虑这样一个问题：在-空间中定义一种-模糊集,它不是通常的闭集,但在某一层上却很像一个闭集,因此我们称它为层次闭集.在某些情况下,这种层次闭集确实可以代替一般的闭集.正如本节将要给出的强模糊紧性的一些新的特征,便是这种闭集的一种应用.定义3.1.212 设 是-空间,.定义算子: : ,.命题3.1.312 设 是-空间,

25、 .那么,有(1)；(2)；(3)；(4).定义3.1.4 设是-空间,. (1)12被称为中的-闭集,如果.中的所有-闭集表示为.(2)31被称为中的开集,如果是中的闭集.中的所有-开集表示为.(3)32被称为中的-闭集,如果.中的所有-闭集表示为.(4)被称为中的-开集,如果是中的-闭集.中的所有-开集表示为.定理3.1.512 设是-空间,.则(1)和是上的-余拓扑.(2)和是上的-拓扑.(3),. 定义3.1.6 设是一个-空间,.被称为的,如果使得.定理3.1.7 设是一个-空间,.则是强紧集当且仅当的每个 ,使得是的.证 设是强紧集. ,令是的任意,则使得.从而是的,所以,使得是的

26、.反之,令是的任意,则使得,即,进而,因此是的,于是 使得是的.也就是说 有 ,即,故.所以是的,这已证明是强紧集.定义3.1.8 设是-空间, 是中的分子网,如果S 经常不在中, 则称为S的-聚点.定理3.1.9 设是-空间,则是强紧集当且仅当,中每个常值-网在中有高为的-聚点.证 充分性 假设不是强紧集,则和的,使得,不是的.于是,有,这里表示成.令,则S是中的常值-网,又 使 得 ,此 时 ,当(即)时, 有 , 即最终在中,这说明不是的-聚点,矛盾.因此是强紧集.必要性 设是强紧集,假设和中常值-网在中没有高为的聚点,则使得最终在中.令,则是的.令表示的有限子集,则,当时,取且,则当时

27、,此式对任意的都成立,这说明中没有的任何远域,因此不是的,这与是强紧集相矛盾.下面利用闭（开）集给出强紧性的一些新的特征,由此可以看出,在某些情况下,层次闭（开）集确实可以充当闭（开）集来用.定义3.1.10 设, ,（1）称为的拟,如果使得.（2）称为的拟-覆盖,如果使得.（3）称在中有-有限交性质,如果,使得.下述命题是显然的.命题3.1.11 设, .是的拟当且仅当是的拟-覆盖.定理3.1.12 设是一个-空间,则下列条件等价：（1）是强紧集；（2）,及的任意拟,使得是的拟；（3）,及的任意拟,使得是的拟；（4）,及的任意拟-覆盖,使得是的拟-覆盖；（5）,及的任意拟-覆盖,使得是的拟-

28、覆盖；（6）,及每个在中具有有限-交性质的,使得；（7）,及每个在中具有有限-交性质的,使得.证 （1）（2）,设 是 的 拟 . 则, 使 ,即 ,因为 , .于是,存在,使,即.令,则是的,由是强紧集,存在使构成的.考虑,则.使,即,从而,即,这表明是的拟.（2）（3）由立得.（3）（4）,设是的拟-覆盖,则由命题3.1.11,是的拟,由（3）,存在,使构成的拟.再由命题3.1.11,构成的拟-覆盖.（4）（5）,设 是 的拟 -覆盖,则 ,使,即.但,故.所以,使,即.这说明是的-覆盖.当然是的拟-覆盖.由（4）,使是的拟-覆盖.考虑,则.,使,即,故,这表明构成的拟-覆盖.（5）（6）

29、假设存在及某个在中具有有限-交性质的使得均有,则,使,即.可见是的拟-覆盖.由（5）,使构成的拟-覆盖.从而,使,即,所以,这与在中具有有限-交性质的不合.（6）（7）,设在中具有有限-交性质,则,使,即.注意,.从而,于是,可见,在中具有有限-交性质.由（6）,使.（7）（1）,设是的.若,不是的,则使,即.这表明在中具有有限-交性质. 又,自然有.由（7）,使.注意,当时,.因此,这与是的不合.所以使是的,这证明是强紧集.下面的结果是李生刚等在文33中得到的：定理3.1.13 设是-空间,则下列条件等价：(1)是强紧集；(2),是分明拓扑空间中的紧子集,这里；(3) 是强紧集.证 （1）（

30、2） 设 是 的任一开覆盖（）,则,使,即,所以是的.由是强紧集,存在.易见,是的有限开覆盖,所以是中的紧子集.（2）（3）,.设是的任意.当时,故可设,此时.,即,使,即.可见是是中的开覆盖.由（2）,存在,使之构成的开覆盖.不难验证构成的,所以是强紧集.（3）（1）,设是的.,若,则,自然是的;若,则,也是的.由（3）,使构成的.所以是强紧集.利用层次闭（开）集可以做出比上述定理中的（2）更一般的结论.定理3.1.14设是L-空间,则下列条件等价：(1)是强紧集.(2),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.(3),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.(4),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.(5),

31、是分明拓扑空间中的紧子集,这里.证 （1）（2）,设是在中的任意开覆盖,则,使,即,从而,于是,这说明构成的拟-覆盖.由（1）与定理3.1.12之（5）,存在,使构成的拟-覆盖.易见构成的有限子覆盖,所以是分明拓扑空间中的紧子集.（2）（3）由立得.（3）（4）,设是在中的任意开覆盖.则,使,从而.由知.由知,所以 是 在 中的开覆盖,由（3）,存在是的有限覆盖.不难验证是的有限覆盖,所以是分明拓扑空间中的紧子集.（4）（5）,设是在中的任意开覆盖.则,使.由于,故,所以,使.由于,故是 在 中的开覆盖,由（4）,存在,使构成的有限覆盖.于是,使.注意,所以,这表明是的有限覆盖,因此是分明拓扑

32、空间中的紧子集.（5）（1）,设是的任意拟-覆盖,则易见是在中的开覆盖.由（5）,存在构成的有限覆盖.不难验证是的拟-覆盖,由定理3.1.12之（5）,是强紧集.3.2 -紧定义3.2.114设 是-空间,称是的开覆盖,如果有.定义3.2.225设 是-空间,称是的开覆盖,如果存在使.定义3.2.3 设是-空间, ,称是-紧集,如果及的任意开覆盖有有限子族构成的开覆盖. 定理3.2.4 设是-紧的,是闭集,则是-紧的.证 设,是的任一开覆盖,则是的开覆盖,由是紧知,存在有限子族构成的的开覆盖,令,则是的开覆盖.证毕.定理3.2.5 设是-空间中的-紧集,连续,则是中的-紧集.证 设,是的任一开

33、覆盖,则, 有 ,从而, ,这说明 是的开 覆盖,由是 -紧集知,U有有限子族V使构成的开覆盖,又 ,所以,因此是中的-紧集.定理3.2.6 设是弱诱导-空间,是-紧的,则是紧的.证 设是-紧的,U是的任一开覆盖,则使,易证,是的开 覆盖,从而U有有限子族,使是 的开覆盖,而V即是的开覆盖.Alexander子基引理3.2.7 设R是-空间的子基,且,必存在,如果由R中的元组成的任一开覆盖都有有限子族构成的开覆盖,则是-紧的.证 设由R中的元组成的任一开覆盖都有有限子族构成的开覆盖,下证由中的元构成的的任一开覆盖有有限子族构成的开覆盖.设U是由中成员构成的的任一开覆盖且U的任意有限子族都不是的

34、开覆盖,则,有,令,则是非空偏序集且每个链都有上界,由Zorn引理,有极大元,下证满足下列条件：(i)是的开覆盖；（ii）,如果；（iii）,.仅证（iii）.若,则有有限子族是的开覆盖,有有限子族是的开覆盖,所以,有,令,有,从而,这说明,矛盾.由（ii）（iii）立得如果且,则存在使,下面考虑,若是的开覆盖,则由假设它有有限子族W是的开覆盖,显然W也是的有限子族,这与矛盾,所以不是的开覆盖,因此使,从而满足,由（i）知是的开覆盖,故,.令,其中对每个是有限集,则存在满足,于是,又,必存在,这与矛盾.证毕.定理3.2.8 设是一族-空间的乘积,且,若是中的常值-紧子集,则是中的-紧子集.证

35、令是T的子基,由引理3.2.7,只需证由R中的元组成的的开覆盖有有限子族构成的开覆盖.设U是的开覆盖且,令,则 . （1）若使,则由是常值-集知,此时,都是的开覆盖.（2）若,下证使是开覆盖,假设,都不是的开覆盖,则使,令,当时,;当时,.则由得,并且,由知,这蕴含这与式矛盾,所以使是开覆盖,由是常值-紧子集知 存 在 有 限 子 族 构 成 的 开 覆 盖 ,于 是,这说明 是的开覆盖.证毕.推论3.2.9 设是一族-空间的乘积,则是-紧空间当且仅当是紧空间.3.3 层次不等式紧 定义3.3.125 设是-空间,.被称为紧的,如果对每一个,都有.在本节中,此定义被称为S不等式紧.定义3.3.

36、234 设是一-空间,（1）称为中的开集,若时有,或等价地时,即.（2）称为中的闭集,若时有,或等价地时有,即.中的所有开集记为,所有的闭集记为,显然和.易证下列命题成立.命题3.3.3 设是 -空间, ,则当且仅当.定理3.3.434设是-空间, ,则（1）形成上的一个L-fuzzy拓扑；（2）当且仅当； （3）当且仅当. 定义3.3.5设是-空间,称是紧的,如果对每一个U都有由定义3.3.5及利用伪补可得下述定理：定理3.3.6 设是-空间,则称是紧的,如果对每一个F都有.定义3.3.725设是-空间,被称为：（1）的-shading,若；（2）的强-shading,若；（3）的-remo

37、te 族,若；（4）的强-remote 族,若.定义3.3.826 设,称U在中有弱非空交,若;称U在中有有限弱交性质,如果在中都有弱非空交.定义3.3.9设是-空间,称在中有有限交性质,若使得.显然,有限交性质是有限弱交,反之不成立.但若集合是有限集则二者等价.证 设在中有有限交性质,则使得,从而有,这说明在中都有弱非空交,所以在中有有限弱交.由定义3.3.5和定理3.3.7易得下述结果：定理3.3.10 设是-空间,则下列条件等价：（1）是紧的；（2）,的每个开强-shading都有有限子族构成的强a-shading；（3）,的每个闭强-remote族都有有限子族构成的强a-remote族

38、；（4）,中每个有有限弱交性质闭集族在中都有弱非空交.上面定理中的和完全可以用代替.定理3.3.11 设是-空间,如果和都是中的紧集,则是紧集. 定理3.3.12 如果是紧的,是闭的,则是紧的.以上两个定理的证明类似25中相应定理的证明,故省略.引理3.3.1325 设是完备的Heyting代数,是映射,则,都有.定义3.3.14 设和是空间,称是(1)连续的,若；(2)强连续的,若.显然强连续必连续.定理3.3.15 设 是连续的, 若是紧的,则是紧的.证明同25,故省略.定理3.3.1625 设是由诱导的-空间,则下列条件等价：（1）.（2）.引理3.3.17设是由诱导的-空间,则有下列结

39、论成立：（1）如果是中的开集,则；（2）如果是中的闭集,则；（3）.证（1）设是中的开集,则,由定理3.3.16（2）,故,所以.（2） 类似（1）可证.（3）必要性 设,则由定理1.5知,从而.充分性 由引理3.3.17知,当时,从而.下面定理说明紧是-好的推广.定理 3.3.18设是由诱导的-空间, 是紧的当且仅当是紧的.证 设U是的任一开覆盖,则是中的开集族且,由 是 紧的, , ,这说明存在使得,所以V是的有限子覆盖,从而是紧的.设是紧的,下证是紧的.令, ,当时,显然成立;当时,即使得,从而,因此,这说明是的开覆盖,必存在使得V覆盖,所以,从而 ,故是紧的.定理3.3.1925 设是

40、-空间,则下列蕴含式成立：紧强紧S不等式紧,且不可逆.由定理3.3.4之（2）可得下述定理：定理3.3.20设是一-空间,则是紧的当且仅当是S不等式紧的.由上面两个定理立即可得：定理3.3.21 紧强紧S不等式紧紧,且只有最后一个箭头对 可逆,即紧强紧S不等式紧,紧.3.4 关于几乎良紧性的注记本节证明了文35中定义的几乎良紧性和近良紧性是等价的,这说明如此定义的几乎良紧性是不合理的.文36给出了其合理的定义.定义3.4.135 称-空间是几乎紧的,若它的任一开覆盖都存在有限子族,使得是的覆盖,即,这里表示的闭包.定义3.4.237 称-空间是近紧的,若它的任一开覆盖都存在有限子族使得是的覆盖

41、,即,这里表示的内部.定义3.4.338设是-空间,.若,使得,则称为的远域族,简记为.若,使为的,则称为的远域族,简记为.定理3.4.438设是-空间,. 则是近良紧集当且仅当及的任意,使得为的.定义3.4.535 设是-空间.,若,使得,则称为的几乎远域族,简称为几乎.若,使为的几乎,则称为的几乎.定义3.4.635 设是-空间,称是几乎良紧集, 及的任意, 使得为的几乎.定义3.4.74 设是-模糊集,称是正则闭集,若满足.定理3.4.8 设是-空间, 则是近良紧集当且仅当及的任意,使得为的.证 设是近良紧集.,设是的任意.则,使.注意到便有,所以,从而.这表明是的,于是, 使得为的,故

42、为的.反之, ,设是的任意.则易见是的.于是,使为的,即存在构成的,故是近良紧集.定理3.4.9 设是-空间,. 则是近良紧集当且仅当是几乎良紧集. 证 设是近良紧集.,设是的任意,则,使得为的,即, ,使得.注意到,从而.这表明为的几乎,进而为的几乎.所以是几乎良紧集.反之,设是几乎良紧集.,设是的任意,则,使得为的几乎,即,使为的几乎.从而,使得.由远域的定义,存在,使.由集合之闭包的含义,包含的最小闭集应是,从而.如此便有.这表明是的,进而它是的.所以是近良紧集.参考文献1 Zadeh.L.A,Fuzzy sets.Inform.Control,1965,8:338-353.2Chang

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