孙斌高等数学教案.docx

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1、孙斌高等数学教案高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数

2、的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、

3、集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素 1)A=a1,a2,a3,LL 2)A=xx的性质P 元素与集合的关系：aA aA 第- 1 页 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。 如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B 若作AB且AB则称A是B的真子集。 空集f： fA 2、 集合的运算 并集AB

4、： AB=x|xA或xB交集AB ：AB=x|xA且xB 差集 AB：AB=x|xA且xB 全集I 、E 补集AC： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、AB=BA AB=BA 结合律、(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律 (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 对偶律 (AB)=AIB (AB)=AB 笛卡儿积AB=(x,y)|xA且yB 3、 区间和邻域 开区间 (a,b)闭区间 a,b半开半闭区间 (a,bcccccca,b) 有限、无限区间邻域：U(a) U(a,d)=xa-dpxpa+d a 邻域的中心 d邻域的半径 去心邻域 U(a,d

5、) 二、映射 o第- 2 页 1. 映射概念 定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f：XY 其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即 y=f(x) 注意：1）集合X；集合Y；对应法则f 2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一 3) 单射、满射、双射 2、 映射、复合映射 三、函数 1、 函数的概念： 定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数 y=f(x)xD 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用f、g、j 函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数；单值函数；

6、多值函数、单值分枝. 例：) 2) x 1xf03) 符号函数 y=0x=0x -1p0第- 3 页 记为 4) 取整函数 y=x 5) 分段函数 y=2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界) 有界的充要条件：既有上界又有下界。 注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2) 函数的单调性 在x1、x2点比较函数值 f(x1)与f(x2)的大小 3) 函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(-x)关系决定) 图形特点 (关于原点、Y轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立：f(x+l)=f(x) 3、 反函数与复合函数 反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f函

7、数 函数与反函数的图像关y=x于对称 复合函数：函数u=g(y)定义域为D1，函数y=f(x)在D上有定义、且f(D)D1。则-12x1+x0x1xf1(y)=x，称此映射f-1为f函数的反u=g(f(x)=gof(x)为复合函数。(注意：构成条件) 4、 函数的运算 和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、 初等函数： 1) 幂函数：y=x 2)指数函数：y=a 第- 4 页 ax 3) 对数函数 y=loga(x) 4)三角函数 y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x),y=cot(x) 5) 反三角函数 y=arcsin(x)， y=arccox)s (y=a

8、rctan(x)y=arccot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数 ex+e-xex-e-x= shx chx 22shxex-e-xthx=xchxe+e-x注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 sh(x+y)=shxchy+chxshysh(x-y)=shxchy-chxshych(x+y)=chxchy+shxshy ch(x-y)=chxchy-shxshyy=arshx反双曲函数：y=archx y=arthx作业： 同步练习册练习一 第- 5 页 第二节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成

9、员。 一般写成：a1a2a3a4LLanLL 缩写为un 例 1 数列1n是这样一个数列xn，其中 x1n=n，n=1,2,3,4,5LLL 也可写为： 111112345LLLL 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1nn=0 1、 极限的e-N定义： ef0$NnfNxn-ape则称数列xn的极限为a，记成也可等价表述： 1）e0$NnNr(xna)0$NnNxnO(ae) 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质 第- 6 页 lnimxn=a 定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，

10、那么数列xn一定有界 定理3：如果limxn=a且a0(a0，当nN时，xn0x(xn0使：(x0-r,x0)(x0,x0+r)D。 2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-以某个实数A为极限 ，则记为 ：limf(x)=A。 xx0形式定义为： e0$dx(0x-x0d)f(x)-A0$NnNxne 则称它为无穷小量，即limx$注： 1、e的意义； 2、xne可写成xn-0e；r(0,xn)0，当xu(x0,d0)时，有 0g(x)u0，则 xx0limfg(x)=limf(u)=Auu0第六节：极限存在准则 两个重要极限 定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn

11、，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛， 2）limxnx=a=limzn，则有结论： xlimyn=a x 定理2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 例：证明：lim sinx=1 x0x第- 11 页 limtanx例： 1-cosxx0x limx0x2limarcsinxx0x证明：lim1x(1+x)x有界。求 lim1x(1-x)x的极限 第七节：无穷小的比较 定义：若a,b为无穷小 limba=0limb=且 alimb a=c0limbaK=c0limba=1k阶、等价ab 1、 若a,b为等价无穷小

12、则b=a+o(a) 2、 若aa1 、bb1且limb1a1存在， b则： lima=limb1a1例： limtan2xx0sin5x limsinxx0x3+3x 1lim(1+x2)3-1x0cosx-1第- 12 页 高阶、低阶、同阶、 第八节：函数的连续性与间断点 一、 函数在一点的连续性 函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0) 、左极限f(x0-0)与右极限f(x0+0)三者相等： f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0) 或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值 。 limf(x)=f(x0) 其形式定义如下： xx0e0$dx(x-x0d)f(x

13、)-f(x0)e 函数在区间连续指：区间中每一点都连续。 函数在区间a,b连续时装意端点。 注：左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点 若：f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0)中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、 第一类间断点： f(x0+0)f(x0-0) 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2 、第二类间断点x0：左极限f(x0-0)与右极限f(x0+0)两者之中至少有一个不存在 第- 13 页 例：见教材 第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 1.limxx0f(x)=f(x0

14、)且limg(x)=g(x0)， xx0af(x)+bg(x)=af(x0)+bg(x0) limxx02limxx0f(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0)， xx0limf(x)*g(x)=f(x0)*g(x0) xx03. xx0limf(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0)0， xx0f(x)f(x0)lim= xx0g(x)g(x0) 反函数连续定理：如果函数f:y=f(x)则存在它的反函数f的。 注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成 -1xDf是严格单调增加并且连续的，-1：x=f-1(y)yDf并且f也是

15、严格单调增加并且连续y=f-1(x)xDf-1 复合函数的连续性定理： 设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)=u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fog在点x0连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： xx0limf(g(x)=f(limg(x) xx0第- 14 页 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。 第十节：闭区间上连续函数的性质 一、 最大、最小值 设函数：y=f(x),xD在上有界，现在问在值域 D1=yy=f(x),xD 中是否有一个最大的实数？如果存在

16、，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0=f(x0)，则记y0=maxf(x)叫做函数在D上的最大值。 xD 类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值f(x)称为函数在上的最小值 。 y2=f(x2)，则记y2=minxDf二、有界性 有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。 三、零点、介值定理 最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点V和h，使得 f(V)f(x)f(h),xa,b 亦即 f(x) f(V)=minf(x) f(h)=maxxa,bxa,b 若x0使f(x0)=0，

17、则称x0为函数的零点 第- 15 页 零点定理： 如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0为使f(x)在x = x0 处可导，应如何选取常数a、b 解：首先f(x)必须在x0连续 2 limf(x)=limx2=x0xx0-xx0-xx0+limf(x)=limax+b=ax0+b xx0+ 2ax+b=x0 f-/(x)2f(x)-f(x0)x2-x0 =lim=limx-x0xx0-xx0-x-x0 =limx+x0=2x0 xx0-/f+(x)2f(x)-f(x0)ax+b-x0=lim=lim+x-xx-x0 xx0xx0+0=limax-a

18、x0=a+x-xxx00 f/(x0)存在 a=2x0 从而 b=-x02 /例5：f(x) = x (x-1)(x-2)(x-9) , 则f f/(0)=lim(0)=-9! f(x)-f(0) x0x-0第- 18 页 =lim(x-1)(x-2)LL(x-9)=-9! x0例6：设f(x)在x = 0 领域内连续，lim 则 x0f(x)=2， 1+x-1f/(0)=1 x0 f(0)=limf(x)=0 f(x)-f(0)f(x) f/(0)=lim =limx0x-0x0x =limx0f(x)1+x-11=2=1 x21+x-1例7：设函数 f (1+x) = a f ( x )

19、， 且 f/(0)=b (a , b 0)， 问 f/(1)存在否? 解：f/(1)=limf(1+Dx)-f(1)=limaf(Dx)-af(0)c DxDxDx0 =limaf(Dx)-f(0)=af/(0)=ab DxDx0Dx0二、导数的求法 1、显函数导数 求一个显函数的导数需解决： 基本初等函数导数(P64); 导数四则运算法则(P65); 复合函数与反函数求导法则(P66)。 定理： u=j(x)在X有导数du，y=f(u)在对应点u有导数dy， dxdu则复合函数y=fj(x)在X处也有导数， dydydu=f/(u)j/(x)。 dxdudx第- 19 页 例1：y=xsin

20、(2x2+1) )求y /解： y/=sin2x2+1+x4xcos2x2+1 例2：y=ln1+x2 解： y=()/求y 1 ln1+x2 2()12xx y/=21+x21+x2/求y 例3：y=arctgx 解： y /=11 1+x2xarctg1x 例4：y=a解： /求y 1arctg /xlnay=a1lnaarctgx 1-2=-a22x1+x11+x1例5：y=ln3(2x+1) 解： y/=3ln2(2x+1)/求y 2 2x+1/求y 例6：y=解： y/=x+x+x 111 1+1+2x2x+x2x+x+x例7：y=xsinx sinxlnx/求y 解： y=e 例8

21、：ysinx y/=xsinx+cosxlnx x=abx+xab+bxa/ 求y 第- 20 页 解： y/=abxlnablnb+axe2x求y /xbab-1+bxalnbaxa-1 例9：y=lne2x+1解： y=1lne2x-lne2x+1=x-1lne2x+1 2()2() y/12e2x1 =1-2x=2x2e+11+e 高阶导数、二阶： 2f/(x0+Dx)-f/(x0) dy=limDxdx2x=x0Dx0/()(x0) fx-f =limx-x0xx0例10：y=fe2x ()， f/(x)=lnx 求dy dx2x2xdydfede解： =2xdxdxde() =f/e

22、2x2e2x =lne2x2e2x=4xe2x 先讲微分 2、 隐函数导数参数方程导数 如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x) 例10：求下列隐函数的导数 设ysinx-cosx-y解： 方程两边对x求导， y/()()=0 /求y sinx+ycosx+sin(x-y)1-y/=0 sin(x-y)-sinx() y/=ycosx+sin(x-y) 第- 21 页 设y=y(x)是由方程exy+ln 求y/(0) y=0所确定的隐函数， x+1解： 由原方程知当x=0时，y=1， e 方程两边对x求导。 exy(1y/1y=，将x=0，代入得：1+e

23、y/(0)-1=0 y+xy+-=0ey1+xe/)11y/(0)=1- ee(3) y=y(x)是由方程ey+xy=e所确定的隐函数, 试求y/(0),y/(0)。 解: 方程两边对x求导： ey+y+xy=0 方程两边再对x求导： ey/y/ y+eyy()/2+2y/+xy/=0 e由原方程知，当x再将x=0时，y=1，代入得y/(0)=-1 e=0，y=1，y/(0)=-1代入式， 1 e2求dydx,得 y/(0)=2t (4) 设x=e-1 3y=t+1d2y dx2dy3t232-2t 解：dydt=2t=tedxdx22edt第- 22 页 dyddydxd2 dydx=dt=

24、3(2te-2t-2t2e-2t)1 =dxdx2dx22e2tdt =3t(1-t)e-4t 22 (5) 设y=y(x)是由方程组x=t-2t-3所确定的函数，求：dy。 ydxy-esint-1=0解： dx=2t-2 dtdydy-eycost-eysint=0dtdtdyeycost=dt1-eysintdyeycost dy dt=ydxdx2(t-1)(1-esint)dt3、 分段函数的导数 22xa+1-,x0a1) 设af(x)=sinx,x0x求：f/(x) (a0,a1),解：当x0,2f/(x)=lnaaxa xcosx-sinxf/(x)=x22x2a+1-1a f

25、/_(0)=limf(x)-f(0)=lima x-0xx0-x0-2x(a-1)2 =lima=lna xax0-第- 23 页 sinx-1f(x)-f(0) f/+(0)=lim =limxxxx0+x0+ =limsinx-xx2x0+=limcosx-1=0 2xx0+ f/-(0)f/+(0) f/(0)不存在，故f/(x)=x0 高阶导数略， 例 y=x(2x-1)2(x+3)3 y(6)=46! f(x)x 2) 设f(x)在上具有二阶连续导数，且f(0)=0，对函数 g(x)=ax0x=0(1) 确定a的值，使g(x)在上连续 (2) 对中确定的a，证明g(x)在上 一阶导数

26、连续 解： a=limg(x)=limx0f(x)f(x)-f(0)=lim=f/(0) xx0xx0=f/(0), y(x)在x=0连续， 也就是在连续 即当a第- 24 页 f(x)-f/(0) g/(0)=limg(x)-g(0)=limx xxx0x0f/(x)f/(x)f/(0) =lim =lim=2x02xx02 而limg(x)=limx0/xf/(x)-f(x) x2x0xf/(x)+f/(x)-f/(x)f/(0)=lim=lim=g/(0) x0x02x2g/(x)在x=0连续,即在(-,+)连续 三、 微分 y=f(x)dy=f(x)Dx=f(x)dx/ 一阶微分形式不

27、变 如y=f(u) /y=f(u) dy=f/(u)du u=j(x) / dy=f(u)j(x)dx=f(u)du 例： (u中间变量) 22y=ex2，dy=2xexdx ， dy=exdx2=2xexdx 可微 2 可导 第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 第- 25 页 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4 握用洛必达法则求未

28、定式极限的方法。 5 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式 1罗尔定理 如f(x)满足： 在在fa,b连续. (a,b)可导. (a)=f(b) 则至少存在一点x(a,b) / 使f(x)=0 例 设g(x)=x(x+1)(2x+1)(3x-1)，则 在区间内，方程g/(x)=0 有2个实根；在内g/(x)=0有2个根 例 设f(x)在0，1可导，且f(0)=f(1)=0， (0,1)，使f(h)+hf/(h)=0。 证明存在h证： 设F(x)=xf(x)在a,b可导，F(0)=F(1) (0,1)使F/(h)=0 即f(

29、h)+hf/(h)=0 存在h例 设f(x)在0，1可导，且f(0)=f(1)=0, 证明存在h F解: 设F(h)+F(h)=0 。 /(x)=exf(x)，且F(0)=F(1) 由罗尔定理 第- 26 页 存在h 使F 亦即f/(h)=0 即ehf(h)+ehf/(h)=0， (h)+f/(h)=0 例 习题6 设F(x)=f(x)eg(x) 2、 拉格朗日中值定理 如f(x)满足：在a,b连续；在连续， (a,b) (x)=c 则存在x使f(b)-f(a)=f/(x)(b-a)。 推论： 如果在区间I上f/(x)0，则f 如果在区间I上f f例 对任意满足/(x)0(0)， (x)在单增 x0)，证明xln(1+x)0 a0 3、0*型： 如：limxalnx4、-型：如：lim(x011-) sinxx5、0 型： 如：00x+0limxarctanx 1lnx6、 型： 如：lim(ctgx)