模糊数学ppt课件.ppt

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1、参 考 书 目,模糊数学 刘应明,任平编 上海教育出版社出版模糊数学教程 蒋译军编 国防出版社出版医学信息分析方法 郭政，徐晶编 哈尔滨出版社出版医学数量分析 刘定远编 北医大，中国协和医大出版,第一章 绪 论,1.1 模糊数学的发展1.2 模糊性1.3 模糊数学的应用,1.1 模糊数学的发展,1、数学的定义 19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。,近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精确的实验方法和精确的测量计算探索客观世界的规律，建立严密的理论体系。,2、数学发展的三个阶段(1)数学是关于数学几何图形的科学；(2)数学是

2、研究量的变化和几何图形变换的科学；(3)数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学。,即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。,19世纪之后:数学是从量的侧面研究客观世界的一门学科。,现代数学分为三类：基础数学（微积分）应用数学（模糊数学）计算数学,一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做一个命题，命题又分为真命题和假命题。,理发师悖论,一个理发师的招牌上写着：,谁给这位理发师刮脸呢？,理发师悖论,3、模糊数学的产生（1）1874年德国数学家康托尔发表集合论文（2）至今集合还没有一个精确的定义（3）1965年扎德的模糊集合标志着模糊数学的诞生,扎德（Zadeh，L.A.；192

3、1）美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年2月生于苏联巴库。1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。,1965年，扎德在信息与控制杂志第8期上发表模糊集的论文,引起了各国数学家和自动控制专家们的注意。他通过引进模糊集（边界不明显的类）提供了一种分析复杂系统的新方法。他提出用语言变量代替数值变量来描述系统的行为，使人们找到了一种处理不确定性的方法，并给出一种较好的人类推理模式。20年来他所开创的模糊集领域得到了迅速发展。,与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没

4、有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物.,1.2 模糊性（模糊数学的基本概念）,1.2.1 模糊性的基本概念清晰事物:有些事物可以根据某种精确标准对他们进行界限明确地认识，从而得出是否明确的断言，此类事物称之为清晰事物。清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。,模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准，这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物到不属于某类事物是逐渐变化的，不同类别之间不存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。模糊性：

5、事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。,说明：凡在类属问题上能判断或是或非的对象，就是清晰事物；凡在类属问题上只能区别成都等级的对象，就是模糊事物。,注意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不清晰的。,1、模糊性与近似性 模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源于认识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它仅是模糊现象中的一种。,1.2.2 与模糊性易混淆的几个概念,2、模糊性与随机性,3、模糊性与含混性,一个命题之所以是模糊的，原因在于所涉及的类本身是模糊的。,一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上

6、下文有关，而模糊性却非如此。,一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个特定的目的只提供了不充分的信息。,1.3 模糊数学的应用,模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.,例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人控制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类与评估、天气预报、气候模拟试验等等。,例如（社会科学中）模糊语言、模糊概念、对特定的集体、个人在给定因素方面的评价、分类、排序等等。,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所

7、周知，经典数学是以精确性为特征的.,未来数学将分为三大类：第一代是经典数学，第二代是统计数学，第三代是模糊数学。,第二章 模糊集合,2.1 经典集合论概述2.2 模糊集合概念2.3 隶属函数的构造2.4 模糊集合代数运算2.5 截集2.6 分解定理2.7 模糊集合度量,2.1.1 集合的基本概念,定义2-1：具有某种共同性质事物的全体称为集合，而每一个个别事物称为该集合的“元素”。,2.1 经典集合论概述,说明:（1）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；（2）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，即无重复性；（3）范围边界分明,即一个元素x要么属于

8、集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一；,（4）我们研究的对象的范围叫论域，也叫全集，通常用U表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一般不唯一，应根据具体研究的需要而定。（5）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相关的事物都可以是同一集合中的元素。,一个概念的形成大致需要经过两方面：一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的“内涵”。另一方面就是此概念所包含的东西，也就是符合此概念事物的全体，我们称其为概念的“外延”。外延实际 上是表现概念的一个集合。内涵和外延是刻画概念的两个方面，他们是相辅相成的。,经典集合论的基本要

9、求：二者必居其一，且只居其一。几种常用的集合分类：1、有限集合与无限集合 2、可列集合和不可列集合 3、空集与全集,定义2-2：A是论域U中的集合，映射 f：X Y 集合A的特征函数：,说明：1、特征函数是一个布尔函数；2、论域中属于A的元素，其特征函数为1，不属于A 的元素，其特征函数为0，绝不存在特征值介于0和1之间的任何元素；3、特征函数对将经典集合论推广到模糊集合论起到极为重要的作用。,集合的表示法：（1）枚举法，A=x1,x2,xn；（2）描述法，A=x|P(x).（3）特征函数法（4）文氏图,集合论中的基本概念,1、子集与包含：集合A中的每一个元素都是集合B的元素，记作：A B。2

10、、相等:两集合互相包含。3、幂集：由集合A的所有子集作为元素构成的集合。4、笛卡尔积（直积）XY=(X,Y)xX，yY。,2.1.2 集合的运算及其性质,1、集合间的基本运算,定义2-3 令A,B为论域U中任意两个集合，则定义：并集：AB=x|xA或xB；交集：AB=x|xA且xB；差集：AB=x|xA且xB 补集：Ac=x|xA.,通过特征函数来定义集合的运算,定义2-4 令A,B为论域U中任意两个集合，则 定义：,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；,集合的运算的基本性质

11、,设A,B,C为论域U中的三个任意集合,0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：AAc=U，AAc=；,分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；,2.1.3 关系,定义2-5 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系，特别地，当 X=Y 时，称之为 X 上的二元关系.二元关系简称为关系.,若(x,y)R，则称 x 与 y 有关系，记为 R(x,y)=1；若(x,y)R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R(x,y)=0.映射 R:X Y 0,1实际上是 X Y 的子集R

12、上的特征函数.,说明：1、R是集合X到集合Y的关系，记作2、关系R的定义域，记为D(R)3、关系R的值域,记为C(R)4、所有的集合运算及其性质在关系中也适用,5、令集合X=x1,x2,xn，Y=y1,y2,ym,X到Y存在关系R，则关系R的“关系矩阵”为MR=(rij)n*m，其中,关系矩阵是布尔矩阵。,定义2-6 设R是一个集合X到集合Y的关系，则从Y到X的关系RT=(y,x)(x,y)R 称为R的逆关系。定义2-7 设R是集合X到集合Y的关系,S是集合Y到集合Z的关系,则称RS为R与S的合成关系。,关系R自身的合成运算称为R的“幂运算”，记为RR。,关系的三大特性：,设R为 X 上的关系

13、(1)自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系 R 具有自反性；(2)对称性：对于X 上的任意两个元素 x,y，若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；,(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.,两类关系,定义2-8 设R是非空集合X上的关系，若R具有自反性和对称性，则称R是集合X上的“相似关系”。定义2-9 设R是非空

14、集合X上的关系，若R具有自反性，对称性和传递性，则称R是集合X上的“等价关系”。,设R是集合X上的等价关系，对任意给定的xX，由所有与x有关系的元素组成的集合称为x的“等价类”，记为xR，即,2.1.4 映射,定义2-10 设f是从集合X到集合Y的一个关系，若对于任意xX，存在唯一的yY，使得（x，y)f，则称关系f是从集合X到集合Y的一个“映射”,记为f:XY。映射分类（1）单射（2）满射（3）1-1映射,定义2-11 设f:XY是1-1对应的映射，则f所构成的逆关系称之为f的“逆映射”。记为f-1:YX。,注意：并非任何映射都有逆映射。,2.2 模糊集合概念,定义2-12 设U是论域，称映

15、射A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A或，映射A(x)或 称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.,说明：（1）使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.（2）当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.（3）模糊集合A的每个元素(x,A(x)都能明确的表现出x的隶属等级。A(x)的值越大，x的隶属程度就越高。（4）模糊集合的分类：离散型，连续性,定义2-13 由论域U上所有模糊集合构成的集合F(x)称为模糊幂集。模糊集合表示法（1）序偶表示法（向量表示法）（2）扎德方法（3）隶属函数方法,经典集

16、合与模糊集合的区别,例 以年龄作为论域，取U=0,200,Zadeh给出了“年老”与“年轻”这两个模糊集的隶属函数如下：,2.3 隶属函数构造,2.3.1 概 述构造隶属函数的常用方法（1）例证法主要思想：从已知的有限个隶属值A(x)中来估计论域U上的模糊集合A的隶属函数。（2）模糊统计法,（3）蕴含解析定义法它是根据微积分的理论来确定隶属函数。（4）二元对比法 采用对比的方法确定隶属值。（5）三分法（6）模糊分布法 从给定的一系列模糊函数解析式选择出合适的函数作为自己的模糊函数。（7）经验方法 请若干专家对论域中的每个元素给出一个隶属度的方法。,2.3.2 模糊统计模糊统计试验的基本原理（4

17、个要素）：（1）论域U（2）U中的一个元素U0（3）U中的一个边界可变的普通集合A*，它联系于一个模糊集合A及相应的模糊概念a（4）条件S，它联系着按概念a所进行的 划分过程的全部主客观因素，它制约 着A的边界的改变。,说明：1、模糊统计方法体现了用确定的手段去把握和研究模糊性。2、通过部分人评分的方法来确定隶属度是一种广泛使用的方法。,例：为在年龄论域中建立年轻人的模糊集合的隶属函数，现进行抽样调查。被查人先认真考虑年轻人的含义后，提出自己认为符合年轻人这一概念的最合适的年龄区间。这样实质上是随机地将年轻人这个模糊概念明确化。下表列出了对130人进行调查的结果：,数据,隶属频率,2.3.3

18、模糊分布常用类型1、偏小型（1）降半矩形分布（2）降半形分布（3）降半正态分布（4）降半柯西分布（5）降半梯形分布（6）降岭形分布,2、偏大型（1）升半矩形分布（2）升半形分布（3）升半正态分布（4）升半柯西分布（5）升半梯形分布（6）升岭形分布3、中间型（1）矩形分布（2）形分布（3）正态分布（4）柯西分布（5）梯形分布（6）形分布,2.3.4 模糊二元对比法,将论域中元素两两进行比较时，能够较客观的比出两者到底谁隶属于该模糊集的程度高。将这种模糊认识数量化，最后进行总体排序，再决定隶属函数的方法，统称为模糊二元对比法。,择优比较法例：论域为5个国家构成的集合，要通过比较确定各个国家属于“经

19、济发达”这个模糊概念的隶属度。选1000名懂经济的人逐次对每两个国家作对比，并赋予优胜者1分，失败者0分，每人需做10次对比，则有结果：,2.4 模糊集合代数运算,模糊集合的关系,模糊集运算的基本性质,（德莫根定律）,模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U，AAc.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,例：设论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6为一商品集，在U上定义两个模糊集A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，且设=(0.80,.55,0.0,0.30,0.60,1)，=(0.10,0.21,0.86,0.60,0.0,0.50

20、),则“商品质量不好”的模糊集是=(0.20,0.45,1.0,0.70,0.40,0.0)易得：,2.5 截集,定义2-14 设A为论域X中的模糊集合，0,1，定义A的“截集”为集合(A)=A=x|A(x)，实数称为阈值或为该截集的显著性水平。,说明：模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.,定理2-2 设A,B(U)(A,B是论域U 的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质：,(1)AB AB；(2)A A；(3)(AB)=AB，(AB)=AB.,定义2-15 设A为论域X中的模糊集合，定义A的“核”为KerA=XA(x)=1A的“支集”为SuppA=XA(x)0若

21、KerA，则称A为“正规模糊集”说明：KerA=A1 SuppA=A0,2.6 分解定理,定理2-5（分解定理）设A(U)，xA，则A(x)=0,1，xA 定理2-6令A为论域U中的模糊集合，则,2.7 模糊集合度量,2.7.1 模糊集合间的距离,2.7.2 模糊度,两类常用的模糊度1、距离模糊度,2、模糊熵,2.7.3 贴近度,说明：1、性质（1）说明两相同的模糊集合的贴近度最大;2、性质（2）要求贴近度映射具有对称性;3、性质（3）描述了两个较“接近”的模糊集合的贴近度也较大.,模糊集合度量公式的一般选用方法,（1）选用距离公式时，应考虑选用简单实用的海明距离公式，（2）手工计算时，应优先

22、选用格贴近度。（3）使用计算机时，应优先选用海明公式。（4）当隶属函数具有多峰曲线时，可先将其切分为若干个单峰区间后再进行处理。,2.7.4 模糊模式识别,一、最大隶属原则,1、最大隶属原则,2、最大隶属原则,二、择近原则,多个特性的择近原则,第三章 模糊关系(fuzzy relation),3.1 模糊关系的基本概念3.2 模糊矩阵与截矩阵3.3 模糊关系的合成3.4 几种重要的模糊关系,3.1 模糊关系的基本概念,由于模糊关系是笛卡尔乘积集合中的模糊集合，所以模糊集和运算定义和性质也完全适用于模糊关系，即：,3.2 模糊矩阵与截矩阵,3.2.1 模糊矩阵及其运算,说明：1、此关系式实际上是

23、一个普通的二元关系，它仅给出了正常人的标准身高与体重间的关系。2、以此关系式为基础产生出的模糊关系表,3.2.2 模糊矩阵的运算性质,3.2.3 模糊矩阵的截矩阵,定义3-7 设R=(rij)mn,对任意的0,1，称R=(rij()mn,为模糊矩阵R的-截矩阵,其中 当rij 时，rij()=1；当rij 时，rij()=0.显然，R的-截矩阵为布尔矩阵.,3.2.4 模糊矩阵的转置,3.3 模糊关系的合成,说明：1、仅当被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相同时，两矩阵的合成才有意义；2、模糊矩阵的合成不满足交换律。,模糊关系的合成具有如下性质：,例：设X=x1,x2表示外科医生集,Y=y1.y2.

24、y3.为手术方案集，Z=z1.z2为外科病人集，定义 为医生对方案的“把握性高”关系，为方案对病人“效果好”的关系，为“成功率高”的关系，且:,试求,并指出治疗z1应由哪位医生，采用哪个方案成功率最高？,3.4 几种重要的模糊关系,3.4.1 模糊关系的三大性质,说明：1、在有限论域中，自反模糊矩阵表示一个自反模糊关系；2、自反模糊矩阵是主对角线元素均为1的方阵。,说明：在有限论域中，对称模糊矩阵表示一个对称模糊关系；对称模糊矩阵必定是对称方阵。,3.4.2 模糊相似关系和等价关系,定义3-15：设R为论域U上的模糊关系，若R具有自反性和对称性，则称R为U上的“模糊相似关系”。并且当U有限时，

25、与R对应的模糊矩阵为“模糊相似矩阵”。,定义3-16：设R为论域U上的模糊关系，若R具有自反性,对称性和传递性，则称R为U上的“模糊等价关系”。并且当U有限时，与R对应的模糊矩阵为“模糊等价矩阵”。,模糊等价关系的性质：定理3-2：设R为论域U上的模糊关系，当且仅当对于任意实数0，1，R的截矩阵R 均为U上的等价关系时，模糊关系R为模糊等价关系。,模糊关系的简单医学应用,第四章 医学模糊分类,4.1 模糊聚类4.2 模糊决策4.3 模糊聚类分析4.4 医疗过程的模糊分析,4.1 模糊聚类,聚类分析是对事物按不同水平进行分类的方法，即是将是将事物根据一定的特征，并且按照某种特定的要求或规律进行分

26、类的方法。,模糊聚类分析的方法（1）系统聚类法（2）逐步聚类法（3）混合法,聚类分析的对象必定是尚未分类的群体。对带有模糊特征的事物进行聚类分析，应当采用模糊数学的方法，因此称其为模糊聚类分析法。,4.1.1 模糊聚类分析的基本步骤,系统聚类法的基本步骤：（1）标定过程：由原始统计数据构造模糊相似关系矩阵R；（2）聚类过程：根据标定生成的模糊相似矩阵R，按各种不同的水平对分类事物进行划分。,模糊聚类分析首先要解决的问题是如何建立论域元素间的相似关系。要构造相似矩阵R=（rij）,可选用的方法：1）数量积法 2）相似系数法3）夹角余弦法 4）指数相似法5）明可夫斯基法 6）兰氏距离法7）绝对值数

27、法 8）绝对值倒数法9）最大最小法 10）算术平均最小法11）几何平均法 12）主观评定法,4.1.2 直接聚类法,直接聚类法的步骤：,4.2 模糊决策,决策的目的就是要将论域中的对象进行排序，或者按照某种方法从论域中选出最优对象。模糊决策的方法：综合评判 二元对比排序法 意见集中,综合评判问题又称为“综合决策问题”，它解决的问题是在考虑多种因素的影响下对某种事物作出综合评判。综合评判的数学模型涉及三个要素：因素集合X 决断集合Y 单因素决断R,综合评判,1、评总分法 即根据评判对象列出评判项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将评价项目所得分数累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决

28、定方案的优劣。,经典的综合评判,2、加权评分法 它主要是考虑诸因素在评价中所处的地位或所引起的作用不尽相同，因此不能一律平等的对待诸因素，于是，引入权重概念，它体现了诸因素在评价中的不同地位或不同作用。,模糊综合决策步骤：（1）确定评判集V=v1,v2,vm（2）确定与评判有关的因素集U=u1,u2,un（3）建立一个从U到V的模糊关系R,确定相应的 单因素评判矩阵R，称(U,V,R)构成一个模糊综合决策模型（4）确定各因素的权重A=(a,a,a)取max-min 合成 运算,得综合评判B=AR,4.3 模糊聚类分析,前提：应用模糊关系进行聚类时，必须保证模糊关系是等价的。,说明：此方法是将模

29、糊相似矩阵改造成模糊等价矩阵，然后再根据模糊等价关系进行分类的方法。,4.4 医疗过程的模糊分析,4.4.1 模糊诊断原理1.肺部团块性病变的鉴别诊断2.胃溃疡与胃癌的鉴别诊断,4.4.2 模糊治疗决策1.中医辩证论治2.抗生素的选择4.4.3 模糊评价1.健康评价2.心功能评级3.教学效果评价,肺部团块性病变的鉴别诊断,某男，35岁，咳嗽吐黄稠痰月余，一月前无明显诱因，突感畏寒、发热、干咳，就诊时体温39摄氏度；检验：白细胞9.8109L，中性0.85，淋巴细胞0.15；胸片显示：肺下有一3cm4cm不规则肿块，密度不均匀，边缘模糊不清，不光滑，右肺门轻度增大，但 不呈结节状，肿块周围可见片

30、状渗出性 病变。试根据病人的症状作出判断。,返回,胃溃疡与胃癌的鉴别诊断,某男，45岁，因剑突下痛、纳差、体重下降三个月，来院进行胃气钡双重造影，其X片表现为：胃小弯处有一直径2.5cm的胃轮廓线内龛影，环堤边缘清楚，龛口有粘膜集中，数处粘膜破坏及粘膜皱裂融合征象，胃壁僵硬，幽门畅通，无病变周围组织侵犯征象。试根据病人 的症状作出判断。,返回,中医辩证论治,某男，45岁，胃脘疼痛，伴返酸呕吐，反复发作十余年，吞钡X片报告：慢性十二指肠冠部溃疡，小弯侧有假性憩室形成。就诊时胃脘部灼痛且压痛明显，体瘦，神疲，舌淡红，苔薄白微黄，脉弦细。试对该病例辨证论治。,返回,抗生素的选择,不同细菌感染性疾病应采用不同的抗生素治疗。若肺炎、伤寒、化脓性骨髓炎的治疗有青霉素、氯霉素和庆大霉素等三种抗生素供选择，而这些抗生素对不同细菌的敏感程度不相同。试问上述疾病分别选择哪种抗生素治疗效果会更好些？,返回,健康评价,设健康的有关元素集，评价集。若已知考察对象的模糊向量，试对考察对象的健康情况作出评判。,返回,