矩形、菱形、正方形复习课件-通用.ppt

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1、第二十一讲 矩形、菱形、正方形,1.了解:矩形、菱形、正方形的概念,以及它们与平行四边形之间的关系.2.理解:矩形、菱形、正方形的性质和判别的推导,以及它们之间的区别与联系.3.能:利用矩形、菱形、正方形的性质和判别进行计算和证明.,一、矩形的性质与判别,直角,直角,直角,相等,二、菱形的性质和判别,相等,平分,相等,四边形,平行四边形,三、正方形的性质和判别,直角,相等,相等,垂直平分,45,平行四边形,矩形,菱形,1.对角线互相平分且相等的四边形是()A.菱形 B.矩形C.平行四边形 D.等腰梯形,B,2.如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是()A.AB=CD B.A

2、D=BCC.AB=BC D.AC=BD,C,3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知AOB=60,AC=16,则图中长度为8的线段有()A.2条 B.4条 C.5条 D.6条4.矩形的两条对角线的夹角为60,一条对角线与短边的和为15,则对角线的长为_.,D,10,5.如图,菱形ABCD中,A=60,对角线BD=7,则菱形ABCD的周长等于_.6.在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC,BD的长分别为5cm,10cm,则菱形ABCD的面积为_cm2.,28,25,热点考向 一 矩形的性质和判定【例1】(1)(2013北京中考)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点

3、,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.,(2)(2012扬州中考)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,ABC=CDA=90,BEAD,垂足为E.求证:BE=DE.,【思路点拨】(1)根据矩形的对边相等求出CD的长,根据勾股定理求出AC的长,根据OM是ACD的中位线求出OM的长.(2)作CFBE于F,先根据AAS证明ABEBCF,得BE=CF,再证四边形FEDC是矩形,得CF=DE.【自主解答】(1)四边形ABCD是矩形,CD=AB=5,根据勾股定理解得AC=13.又O为AC的中点,BO=6.5.M是AD的中点,AM=6,OM=2.5,四边形ABOM的周长为5+6

4、.5+2.5+6=20.答案:20,(2)如图,作CFBE于F,BFC=CFE=90.BEAD,AEB=BED=90.ABE+A=90,而ABE+FBC=90,A=FBC.,又AB=BC,ABEBCF(AAS),BE=CF.在四边形FEDC中,BED=CFE=CDE=90,四边形FEDC是矩形,CF=DE.BE=DE.,【名师助学】1.矩形性质的应用(1)从角上看:矩形的四个角都是直角,可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决.(2)从对角线上看:对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形,可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决.(3)矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,过对称中心的任

5、意一条直线将矩形分成面积相等的两个多边形.,2.矩形的判定(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等.(2)若直角较多,可证三个角为直角.,热点考向 二 菱形的性质与判别【例2】(2013黄冈中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DHAB于H,连结OH,求证:DHO=DCO.,【思路点拨】OD=OB，DHABOH=OBOHB=OBH ABCDOBH=ODCOHB=ODC等角的余角相等,DHO=DCO.,【自主解答】四边形ABCD是菱形,OD=OB,COD=90,DHAB于H,DHB=90,OH=OB=BD,OHB=OBH.又ABCD,OBH=O

6、DC,OHB=ODC.在RtCOD中,ODC+DCO=90,在RtDHB中,DHO+OHB=90,DHO=DCO.,【高手支招】关于菱形的计算问题,经常放在菱形被对角线分割成的等腰三角形或直角三角形中解决.而在由两条对角线的一半和菱形的边长所构成的直角三角形中利用勾股定理求解更是计算菱形中的有关线段长度的常用方法.,【名师助学】菱形性质的三个应用1.菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形,可将菱形的问题转化为直角三角形去解决.2.有一个内角为60(或120)的菱形,连结对角线可构成等边三角形,可将菱形问题转化到等边三角形中去解决.3.巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题.,热点考

7、向 三 正方形的性质与判别【例3】(2012宁夏中考)正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90,得到DCM.(1)求证:EF=FM.(2)当AE=1时,求EF的长.,【思路点拨】(1)由DAE旋转,得DE=DM,EDM=90,再证FDM=EDF,可得DEFDMF,得EF=MF.(2)设EF=x,把所有的数据转化到RtEBF中,由勾股定理求解.,【自主解答】(1)DAE逆时针旋转90得到DCM,DE=DM,EDM=90,EDF+FDM=90,EDF=45,FDM=EDF=45.又DF=DF,DEFDMF,EF=FM.,(2)设EF=x

8、,AE=CM=1,BF=BM-MF=BM-EF=4-x,EB=2,在RtEBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,即22+(4-x)2=x2,解之,得,【名师助学】判定正方形的三步法1.先证明它是平行四边形.2.再证明它是矩形(或是菱形).3.最后证明它是正方形.,矩形中的折叠问题【典例】(2012武汉中考)如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是()A.7 B.8 C.9 D.10,【思路点拨】,【自主解答】选C.将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.AEDFED,EF=AE

9、=5,在RtBEF中,CD=AB=AE+BE=5+4=9.,【思考点评】1.方法感悟:(1)折起部分与重合部分是全等的.(2)利用轴对称的性质对称轴垂直平分对应点之间的连线.(3)从矩形含有直角这一特殊性出发,巧用勾股定理等知识.,2.技巧提升:(1)折叠的本质特征,折叠前后的图形关于折痕成轴对称.(2)解决这类问题的关键首先要把握折叠的变化规律,即:弄清折叠前后哪些量变了,哪些量没有变,折叠后又有哪些条件可利用;其次要充分挖掘图形的几何性质,利用全等三角形、勾股定理或相似三角形的知识,将其中的基本的数量关系,用方程的形式表达出来,由此解决问题.,【学以致用】(2013枣庄中考)如图,已知矩形

10、ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形CEFD与矩形ABCD相似,则AD=.,【解析】AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，四边形CEFD与矩形ABCD相似，解得(负值舍去)，经检验，是原方程的解.答案:,1.(2013宜昌模拟)矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是()A.邻边相等 B.四个角都是直角C.对角线相等 D.对角线互相平分【解析】选D.因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,所以对角线互相平分是它们都具有的性质.,2.(2013金华模拟)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,

11、点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】选D.在RtCEF中,EF=3,EC=BC-BE=AD-EF=5,设AB=x,那么AF=AB=x,AC=x+4,在RtABC中,x2+82=(x+4)2,解得x=6,即AB的长为6.,3.(2013杭州模拟)如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D,C的位置.若EFB=65,则AED等于()A.70 B.65C.25 D.50【解析】选D.EFB=65,ADBC,DEF=EFB=65.DEF=DEF,AED=180-DEF-DEF=50.,4.(2013黄冈模拟)若顺次连结四边形ABC

12、D各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形,【解析】选C.如图,四边形ABCD各边的中点分别是E,F,G,H,如四边形EFGH是矩形,由三角形中位线性质可知HGAC,EHBD,EHG=90,AOD=90,因此四边形ABCD的对角线互相垂直.,5.(2013沈阳模拟)如图,菱形ABCD的边长为8cm,A=60,DEAB于点E,DFBC于点F,则四边形BEDF的面积为cm2.,【解析】连结BD,A=60,AB=AD(菱形的边长).ABD是等边三角形,根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得,四边形BEDF的面积等于ABD

13、的面积,四边形BEDF的面积 答案:16,6.(2013无锡模拟)如图,在平行四边形ABCD中,DAB=60,AB=2AD,点E,F分别是AB,CD的中点,过点A作AGBD,交CB的延长线于点G.(1)求证:四边形DEBF是菱形.(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形?并加以证明.,【解析】(1)四边形ABCD为平行四边形,CDAB,AB=CD,DFBE.E,F分别是AB,CD的中点,BE=AB,DF=CD,BE=DF,四边形DEBF为平行四边形.AB=2AD,AD=AE.又DAB=60,DE=AE=AD,DE=EB,四边形DEBF是菱形.,(2)四边形AGBD为矩形.理由如下:平行四边形

14、ABCD中,ADBC,ADBG.AGBD,四边形AGBD为平行四边形.E为AB的中点,AB=2AE.AB=2AD,AD=AE.DAB=60,ADE为等边三角形.DE=AE=AB,ADB为直角三角形,ADB=90,四边形AGBD为矩形.,1.(2013绵阳中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8 cm，BD=6 cm，DHAB于点H，且DH与AC交于G，则GH=(),【解析】选B.由菱形的对角线互相垂直且平分得菱形的边长为5 cm，根据菱形的面积等于底乘高或两条对角线乘积的一半得，在RtADH中，可得AH=.由题易证RtAGH与RtABO相似，所以 即解得GH=cm.,2.(2013连云

15、港中考)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE=22.5，EFAB，垂足为F，则EF的长为()A.1 B.C.4-2 D.3-4,【解析】选C.过点A作AGBD，则AGD为等腰直角三角形，DAG=45，所以GAE=FAE=22.5，AFE=AGE=90，AE=AE,所以AFEAGE,故设EF=EG=x，BE=x,BG=x+x=BD=2,所以x=4-2.,3.(2012荆门中考)如图,已知正方形ABCD的对角线长为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为()A.8 B.4C.8 D.6【解析】选C.正方形ABCD的对角线长为2,正方形的边长为2.阴影部分的

16、周长=正方形的周长=42=8.,4.(2013凉山州中考)如图,菱形ABCD中,B=60,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14 B.15C.16 D.17【解析】选C.四边形ABCD是菱形,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AC=AB=4,正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4AC=44=16.,5.(2012龙岩中考)如图,RtABC中,C=90,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点,作EFAC于F,EGBC于G,则矩形CFEG的周长是.,【解析】AC=BC,A=B.矩形CFEG中,EFBC,AEF=B,A=AEF,AF=FE,同理EG=BG,矩形

17、CFEG的周长=EF+FC+CG+GE=AF+FC+CG+GB=AC+CB=2AC=12.答案:12,6.(2013泉州中考)如图,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,ACBD=12,则AOBO=,菱形ABCD的面积S=.,【解析】在菱形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,所以AO=AC,BO=BD,因为ACBD=12,所以AOBO=12.边长AB=8 4=2,对角线AC,BD互相垂直,设AO=x,则BO=2x,在直角三角形AOB中,AO2+BO2=AB2,即x2+(2x)2=(2)2,解得x=2,S菱形ABCD=4SABO=4 24=16.答案:1216,7.(2013张家

18、界中考)如图,ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MNBC.设MN交ACB的平分线于点E,交ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.,【解析】(1)CF平分ACD,且MNBD,ACF=FCD=CFO,OF=OC,同理可证:OC=OE,OE=OF.(2)由(1)知:OF=OC,OC=OE,OCF=OFC,OCE=OEC,OCF+OCE=OFC+OEC,而OCF+OCE+OFC+OEC=180,ECF=OCF+OCE=90,(3)当点O移动到AC的中点时,四边形AECF为矩形.理由如下:由(1)知OE=OF,当点O移动到AC的中点时有OA=OC,所以四边形AECF为平行四边形.又因为ECF=90,四边形AECF为矩形.,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,