大学概率论习题五详解.docx

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1、大学概率论习题五详解大学概率论习题五详解 1、设X为离散型的随机变量，且期望EX、方差DX均存在，证明对任意e0,都有 e2证明 设P(X=xi)=pi i=1,2,.则 P(X-EXe)=iP(X-EXe)DXxi-EX(X=x)Peeixi-EX(xi-EX)2p e2i(xi-EX)2p=DXe2ie22、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比雪夫不等式证明： P(X-Y6)证 E(X-Y)=0 1。 12cov(X,Y)=rDXDY=1 D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)=5-2=3 D(X-Y)1P(X-Y6)=P(X-Y)-E(

2、X-Y)6)= 26123、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不超过0.01？ 解设Xn为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 Xn0.50.5P-0.50.04nn0.0420.01 0.25=15625 从而有 n0.010.042即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X是随机变量，已知EX=80，DX=25，试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的

3、概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ (e0) e2又 P(70X90)=P(70-EXX-EX90-EX)=P(-10X-EX10) 解 (1)由切比雪夫不等式 PX-EX2)=1-P(X2)=1-Ci=02i8000.01i0.99800-i 在二项分布表中不能查出。np=8，使用正态分布近似计算： 若使用正态分布近似计算：X N(8,7.92), 近似X-8P(X2)=1-P(X2)1-P-2.1327.92 =F(2.132)=0.98346、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.

4、8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解 (1)以Xi (i=1,2.400)表示第i个学生来参加会议的家长数，则Xi的分布律为: Xi pi 而X=0 0.05 1 2 0.8 0.15 所以EXi=1.1，DXi=0.19，i=1,2.400 Xi=1400i近似由中心极限定理知：XN(440,76) P(X450)1-F(1.147)=0.1257 (2)以Y表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则YB(400,0.8) 由中心

5、极限定理知：YN(320,64) 则P(Y340)F(2.5)=0.9938 7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？ 解 设Xi为射手第i次射击的得分，则有 近似Xi 10 pi 0.5 且X=9 0.3 8 0.1 7 0.05 6 0.05 Xi=1100i2 ， EXi=9.15，EX=84.95，DX=1.2275 由中心极限定理得： 2 100950-915PXi950=1-F=1-F(3.159)=0.0008 1001.2275i=18、某产品的不

6、合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？ 解 依题意，10000件产品中不合格品数XB(10000,0.005)，由np=50，n(1-p)5，故可用二项分布的正态近似，所求概率为 70-50P(X70)F50(1-0.005)=F(2.8355)=0.9977 9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解 设 n 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X，则有XB(n,0.99)，该题要求n，使得下述概率不等式成立。 P(X100)0.95或P(X100)0.05 利用二项分布的正态近

7、似，可得：F100-0.99n0.05=F(-1.645) 0.0099n因此，100-0.99n103.19 这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。 1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。 解：依题意，可建立如下概率不等式 PP-P0，都有 a=P120nn150=P0nn-120150-1201n2limPXi-(l+l2)e=0 nnk=122证明 由于X1,X2,L,Xn独立同泊松分布，可见X12,X2也独立同分布，而且数学,L,Xn期望存在： EXi2=DXi+(EXi)2=l+l2 因此，根据辛钦大数定律，有 1n2limPXi-(l+l2)e=0 nnk=1 4