复变函数第五章练习题.docx

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复变函数第五章练习题 第五章例题 例5.1 将函数 在下列三个区域内 圆内求； 圆环的罗朗展式。 ； 圆环 解： 首先 在圆内，因此 在圆环内有，故 在圆环内，故 例5.2 求解：有两个奇点在和在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。 。 内 的去心邻域 在的去心邻域内 例5.3 在平面上只有奇点。在其去心邻域内有罗朗展式 例5.4 只有奇点，在内有 例5.5 分析在处的状况。 是一个本性奇点，对，可设，即，而 。 对，可解方程 得无穷多个解 则 ，且当然更有 。 例5.6 求出 的奇点，并确定其类别 解：以为可去奇点 为一级极点 为非孤立奇点 令，得该函数的所有奇点为 是一级极点， ， ，是聚点。至于应是可去奇点，因是非孤立奇点，因若令化为 是解析点。即 例5.7 若在是可去奇点。 内解析，且不恒为零，又若的本性奇点。 有一列异于但却以为聚点的零点，试证必为证： 是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令则 在内解析且由假设有以为聚点的一列零点。由零点的孤立性，题没矛盾。 其次也不能是的奇点，否则只能是有，使当必恒为0，这时，这亦与题没矛盾。故的本性奇点。