复变函数习题答案.docx

《复变函数习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数习题答案.docx（336页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、复变函数习题答案习题一 1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数 e-i/4;3+5i7i+1;(2+i)(4+3i);1i+31+i. 解： e-4i22=cos-+isin-=+-224422i=-i 22解： 3+5i7i+1=(3+5i)(1-7i)(1+7i)(1-7i)=-1625+1325i 解： (2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i 解： 1i+31+i=-i+3(1-i)2=32-52i 2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy) 3-1-i3n3-1+i(a); z;i. z+a22z-a33解： 设z=x+iy 则 z-az+a=(x+iy)-a(x

2、+iy)+a2=(x-a)+iy(x+a)+iy22=(x-a)+iy(x+a)-iy(x+a)2+y2x-a-yz-a=Re22z+a(x+a)+y, Imz-a=z+a2xy(x+a)2+y2 解： 设z=x+iy z3=(x+iy)=(x+iy)(x+iy)=(x2-y2+2xyi)(x+iy) =x(x-y23232)-2xy22222+y(x-y)+2xyi3=x-3xy+(3xy-y2)i3Re(z3)=x3-3xy2, 3Im(z)=3x2y-y 3-1+i3=解： 2(-1+i38)31=-1-3(-1)8(3)22+3(-1)3-(3)3 =18(8+0i)=1 Re-1+i

3、3=1, 23-1+i3Im=0 2-3(-1)-3(-1)3()22+3(-1)3-(3)3i解： -1+i3=28=18(8+0i)=1 Re-1+i3=1, Im-1+i32=0 2in=(-1)k解： ,n=2kn=2k+1k k(-1)i, 当n=2k时，Re(in)=(-1)k，Im(in)=0； 当n=2k+1时，Re(in)=0，Im(in)=(-1)k 3.求下列复数的模和共轭复数 -2+i;-3;(2+i)(3+2i);解：-2+i=4+1=5 -2+i=-2-i 解：-3=3 -3=-3 解：(2+i)(3+2i)=2+i3+2i=513=65 (2+i)(3+2i)=(

4、2+i)(3+2i)=(2-i)(3-2i)=4-7i解：1+i=1+i=22221+i=(1+i)1-i22=2 4、证明：当且仅当z=z时，z才是实数 证明：若z=z，设z=x+iy， 则有 x+iy=x-iy，从而有(2y)i=0，即y=0 1+i2. z=x为实数 若z=x，x，则z=x=x z=z 命题成立 5、设z,w，证明： z+w 2z+w 证明：z+w=(z+w)(z+w)=(z+w)(z+w) =zz+zw+wz+ww=z=z2+zw+zw+w+w22)+2Re(zw)+2zw+2zw (2z2+w+w+w2=z=22(z)2 z+wz+w 6、设z,w，证明下列不等式 z

5、+wz-w2=z=z2+2Rezw+w-2Rezw+w2()222()2z+w2+z-w=2z(2+w2) 2并给出最后一个等式的几何解释 证明：z+w=z+2Re(zw)+w在上面第五题的证明已经证明了 22下面证z-w=z-2Re(zw)+w 222z-w=(z-w)(z-w)=(z-w)(z-w) 2=z2-zw-wz+w22=z2-2Rezw+w2()2从而得证 z+w+z-w=2z+w(22) 几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3+5i7i+1;i;-1;-8(1+3i);22cos+isin. 993解：3+5i7i+1

6、=(3+5i)(1-7i)(1+7i)(1-7i)=175eiq=38-16i50=19-8i25 其中q=-arctan819 解：i=eiq其中q= i22 i=e23解：-1=ei=ei 解：-8(1+3i)=16q=-. -8(1+3i)=16e3-23i22+isin解：cos 9922+isincos993解：=1 i.3229+isin=1e=ecos993223i8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3+i的三次根 13i的平方根. 解：3i=cos2+isin3=cos22k+32+isin2k+32(k56=0,1,2) 3+12iz1=cos z3=co

7、s696+isin6=96132+12i z2=cos3-12i 56+isin=-2+isin=-2-1的三次根 解：-1=(cos+isin)3=cos32k+33i +isin2k+3(k=0,1,2) z1=cos 3+isin3=12+2z2=cos+isin=-1 z3=cos53+isin53=-12-32i3+3i的平方根 解：3+223i=6+22i=126e4 i3+13i=(6e4i)2k+2k+4+isin4=64cos2211(k=0,1) iz1=6cos+isin=64e8884119i99z2=6cos+isin=64e8 8849.设z=e i2nn-1=0

8、,n2. 证明：1+z+L+z证明：z=e i2n zn=1，即zn-1=0 (z-1)(1+z+L+zn-1)=0 又n2 z1 从而1+z+z2+L+zn-1=0 11.设G是圆周z:z-c=r,r0,a=c+reia.令 z-aLb=z:Im=0, b其中b=e.求出Lb在a切于圆周G的关于b的充分必要条件. 解：如图所示 ib因为Lb=z: Imz-ab=0表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CALb过C作直线平行Lb，则有BCD=，ACB=90 故-=90 所以Lb在处切于圆周T的关于的充要条件是-=90 12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图

9、. (1)argz=;(2)z-1=z;(3)1z+i|Imz;(5)Imz1且z2.解： (1)、argz=表示负实轴 (2)、|z-1|=|z|表示直线z=12 (3)、1|z+i|Imz 解：表示直线y=x的右下半平面 5、Imz1，且|z|2 解：表示圆盘内的一弓形域。 所以当y时有|cosz| 习题二 1. 求映射w=z+解：设z=x+iy, 1z下圆周|z|=2的像. w=u+iv则 1x+iyx-iyx+y2u+iv=x+iy+=x+iy+=x+2xx+y2+i(y-2yx+y2) 2 因为x2+y2=4,所以u+iv=所以 u= x=uu5454x+34yi54x,v=+v34

10、34y,y=u5222所以()542+v()342=2即()+v3222()=1，表示椭圆. 2. 在映射w=z2下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w=reij或w=u+iv. 0r2,q=4； 0r2,0q4; (3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设w=u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi 所以u=x2-y2,v=2xy. (1) 记w=reij，则0r2,q=0r4,j=2. 4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即 (2) 记w=reij，则0q4,0r2映成了w平面上扇形域，即0r4,0j2. (3) 记w=u+iv，则将直线x=a映成了u=a

11、2-y2,v=2ay.即v2=4a2(a2-u).是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了u=x2-b2,v=2xb. 即v2=4b2(b2+u)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示. 3. 求下列极限. (1) lim11+z1t2z; 解：令z=,则z,t0. 于是lim11+z2z=limt0t221+t=0. (2) limRe(z)zz0; Re(z)z=xx+iy解：设z=x+yi，则Re(z)z有 limz0=limxx+ikxx0y=kx0=11+ik显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. limziz-iz(1+z)z-i22； z-iz(i+z)(z

12、-i)=limzi解：limziz(1+z)=limzi1z(i+z)=-12. limzz+2z-z-2z-12z1. (z+2)(z-1)(z+1)(z-1)z+2z+1=32解：因为zz+2z-z-2z-12=z+2z+1, 所以limzz+2z-z-2z-12z1=limz1. 4. 讨论下列函数的连续性： xy,(1) f(z)=x2+y20,z0,z=0;limxyx+y=k1+k222解：因为limf(z)=z0(x,y)(0,0), , 若令y=kx,则(x,y)(0,0)limxyx+y22因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在. 从而f(z

13、)在z=0处不连续，除z=0外连续. x3y,(2) f(z)=x4+y20,z0,z=0.解：因为0xyx+yxyx+y423342x3y22xy=x2, 所以(x,y)(0,0)lim=0=f(0) 所以f(z)在整个z平面连续. 5. 下列函数在何处求导？并求其导数. (1) f(z)=(z-1)n-1 (n为正整数)； 解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导. n-1f(z)=n(z-1). (2) f(z)=z+2(z+1)(z+1)2. 解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在(z+1)(z2+1)=0处不可导. 从而f(z)除z=-1,z=i外可导. f(z)=(z

14、+2)(z+1)(z+1)-(z+1)(z+1)(z+1)(z+1)(z+1)-2z+5z+4z+3(z+1)(z+1)3z+85z-7752223222222=(3) f(z)=. 3(5z-7)-(3z+8)5(5z-7)2解：f(z)除z=(4) f(z)=外处处可导，且f(z)=+ix-yx+y22=-61(5z-7)2. x+yx+y22. x-iy+i(x-iy)x+y22解：因为f(z)=x+y+i(x-y)x+y22=(x-iy)(1+i)x+y22=z(1+i)z2=1+iz. 所以f(z)除z=0外处处可导，且f(z)=- 6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) f

15、(z)=xy2+ix2y; (1+i)z2. 解：u(x,y)=xy2,v(x,y)=x2y在全平面上可微. yx=y,2uyux=2xy,=vyvxuy=2xy,vxvy=x2所以要使得， =-, 只有当z=0时, 从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (2) f(z)=x2+iy2. 解：u(x,y)=x2,v(x,y)=y2在全平面上可微. ux=2x,uy=0,vx=0,=vyvuyy=2y=- . 只有当z=0时,即(0,0)处有ux,vy所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (3) f(z)=2x3+3iy3; 解：u(x,y)=2x3,v(x,y)=3y3在全

16、平面上可微. ux=6x,2uy=0,vx=9y,2vy=0所以只有当2x=3y时，才满足C-R方程. 从而f(z)在2x3y=0处可导，在全平面不解析. (4) f(z)=zz2. 解：设z=x+iy，则f(z)=(x-iy)(x+iy)2=x3+xy2+i(y3+x2y) 3232u(x,y)=x+xy,v(x,y)=y+xy ux=3x+y,22uy=2xy,vx=2xy,vy=3y+x22所以只有当z=0时才满足C-R方程. 从而f(z)在z=0处可导，处处不解析. 7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) f(z)=0; 证明：因为f(z)=0，所以ux=uy=

17、0,vx=vy=0. 所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2) f(z)解析. 证明：设f(z)=u-iv在D内解析,则 uxuyux=(-v)yux=-vy=-(-v)xvy,=+uyvy=vx=-uxvy=uy,uy=uy=-vxvx=而f(z)为解析函数，所以所以vx=-vx,vy=-vy=0,即ux=从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数. 证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 因为f(z)解析，C-R条件成立。故从而f(z)为常数. (4) Imf(z)=常数. uxux=uy=0=0uy即u=C2 证明：与类似，由v=C1得因为f(z)解

18、析，由C-R方程得所以f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数. uxvx=uyvy=0 =0,即u=C2 证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数. 若C0，则f(z) 0,但f(z)f(z)=C2，即u2+v2=C2 则两边对x,y分别求偏导数，有 2uux+2vvx=0,2uuy+2vvy=0利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有 ux=vyuy=-vxuvu+v=0xx所以 uvv-u=0xx 所以ux=0,vx=0即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数. (6) argf(z)=常数. 证明：argf(z)=常数，即arcta

19、n=C, uv于是u得u(v/u)1+(v/u)vxvy=2u(u=2vxx222u(u+v)-vu)=u(u22vy2-vuy2)=0 u(u+v)uuvxvx-v+vuxux-v-vvxuxuy=0=0 C-R条件 =0vy=0，即=0解得 uxuy=u,v为常数，于是f(z)为常数. 8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件. uxvxux=2nxy,22uy=3my+nxvy22=3x+ly,vyn=l =2lxy=uy=-vxn=-3,l=-3m所以n=-3,l=-3,m=1. 9. 试证下列

20、函数在z平面上解析，并求其导数. (1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i 证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且 ux=3x-3y,22uy=-6xy,vx=6xy,vy=3x-3y22所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析. f(z)=ux+ivx=3x-3y+6xyi=3(x-y+2xyi)=3z22222. (2) f(z)=ex(xcosy-ysiny)+iex(ycosy+xsiny). 证明：u(x,y)=ex(xcosy-ysiny),uxuyxxxv(x,y)=e(ycosy+xsiny)处处可微，且

21、x=e(xcosy-ysiny)+e(cosy)=e(xcosy-ysiny+cosy)=e(-xsiny-siny-ycosy)=e(-xsiny-siny-ycosy)xxxxxvxvy=e(ycosy+xsiny)+e(siny)=e(ycosy+xsiny+siny) =e(cosy+y(-siny)+xcosy)=e(cosy-ysiny+xcosy)ux=vyxx所以, uy=-vx所以f(z)处处可导，处处解析. f(z)=uxxz+ivxz=e(xcosy-ysiny+cosy)+i(e(ycosy+xsiny+siny)xxxxxxx=ecosy+iesiny+x(ecosy

22、+iesiny)+iy(ecosy+iesiny)=e+xe+iye=e(1+z)zzx3-y3+i(x3+y3),2210. 设f(z)=x+y0.z0.z=0.求证：(1) f(z)在z=0处连续 (2)f(z)在z=0处满足柯西黎曼方程 (3)f(0)不存在 z0证明.(1)limf(z)=而limu(x,y)=(x,y)(0,0)limu(x,y)+iv(x,y) 332(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)limx-yx+y2xy =x-y1+()2222x+yx+yx-yx+y3x-y333320232x-y (x,y)(0,0)limx-yx+y32232=032同理(x,y)

23、(0,0)limx+yx+y=0(x,y)(0,0)limf(z)=0=f(0) f(z)在z=0处连续 (2)考察极限limz0f(z)-f(0)z当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有 lim1iyy0()=limf(iy)-f0y01iy3-y(1-i)y2=1+i 当z沿实轴趋向于零时，z=x，有 lim1xx0f(x)-f(0)=1+i ux+ivx,vy-iuy它们分别为ux=vy,uy=-vx满足C-R条件 (3)当z沿y=x趋向于零时，有 x=y0limf(x+ix)-f(0,0)x+ixDfDz=lim33x(1+i)-x(1-i)32x(1+i)x=y0=i1+ilim 不存在

24、即f(z)在z=0处不可导 z011. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证F(z)=f(z)在区域D1内解析 证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析 所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即ux=vy,uy=-vx f(z)=u(x,-y)-iv(x,-y)=j(x,y)+iy(x,y)，得 jxyx=u(x,-y)xjy=u(x,-y)y=-u(x,-y)y=-v(x,-y)xyy=+v(x,-y)y=v(x,-y)yyyjyyx故(x,y),(x,y)在D1内可微且满足C-R条件从而f(z

25、)在D1内解析 13. 计算下列各值 (1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1) 2-pi2jx=,=-(2)e3=e3e-i3=e3cos-+isin-=e3332213-22i (3)Reex(x-iy2+y2)2-yx+y22=Ree(xx+y2ie)2x2x+y=Reexyycos-2+isin-2x2+y2x+y=ex+y22ycos22x+y(4)ei-2(x+iy)=eie-2(x+iy) =e-2xe-2iy=e-2x14. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f(z)=z+e的极限 解：令z=rei， 对于，z时，r ()故lim(reiq+ere)=lim(r

26、eiq+ercosq+isinq)= iqzrr所以limf(z)= z15. 计算下列各值 (1)ln(-2+3i)=ln13+iarg(-2+3i)=ln13+i-arctan3 2(2)ln(3-3i)=ln23+iarg(3-3i)=ln23+i-=ln23-i66(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i (4)ln(ie)=lne+iarg(ie)=1+2i 16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性 解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续 设z=x+iy，g(z)=|z|=u(x,y)=uxvx22x+y=u(x,

27、y)+iv(x,y) 22x+y,v(x,y)=0在复平面内可微 -12=12(x2+y2)2x=xx+y22uy=yx+y22=0vy=0 故g(z)=|z|在复平面上处处不可导 从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导 f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续 17. 计算下列各值 (1) (1+i)=e=e=eln21-i=e4ln(1+i)1-i=e2i+2(1-i)ln(1+i)=e(1-i)ln2+4i+2ki+44i-lne4+2kln2+2ki-ln4ln2+2kcos-ln4cos-ln452+isin-ln42+isin-ln422=2e2k+4(2)(-3)=e=

28、e=35=eln(-3)=e5ln(-3)5(ln3+i+2ki)=e5ln3+5i+2k5i5ln3(cos(2k+1)5+isin(2k+1)5)5+isin(2k+1)5)()5(cos(2k+1)-i(3)1-i=eln1=e-iln1=e-iln1+i0+2ki =e-i(2ki)=e2k1+i1-i(4)21+i=e1-iln2=e(1+i)ln1-i2=e=e(1+i)ln1+i-+2ki444=e-2k(1+i)2ki-i4i2k-42ki-i-2k+=e4e=e4-2kcos+isin-4422-22i=e4-2k18. 计算下列各值 (1)cos(+5i)=-e-5ei(+

29、5i)+e2-5-i(+5i)=5e5i-5+e2-5-i+5=-ch55+e(-1)2=-e-e2=-e+e2i+5(2)sin(1-5i)=ei(1-5i)-e2i2i-i(1-5i)=e-e2i-i-55-5e(cos1+isin1)-e(cos1-isin1)e+e25-5sin1-ie+e25-5cos1i(3-i)e-e-i(3-i)(3)tan(3-i)=sin(3-i)cos(3-i)=ei(3-i)sin6-isin22i=()-i3-i22+e2(ch1-sin3)2i(4) sinz=212i2(e2-y+xi-ey-xi)=sinxchy+icosxshy2 22=si

30、nxchy+cosxshy222222=sinx(chy-shy)+(cosx+sinx)shy2=sinx+shy22(5)arcsini=-iln(i+1-i2)=-iln(12)-iln(2+1)+i2k=-iln(2-1)+i(+2k)k=0,1,L(6)arctan(1+2i)=-ln2=k+i1+i(1+2i)i21=-ln-+i1-i(1+2i)255arctan2+i4ln51219. 求解下列方程 (1) sinz=2 解：z=arcsin2=ln(2i3i)=-ln(23)i i=-iln(213)+2k+i23),k=0,1,L11=2k+iln(2+2(2)ez-1-3

31、i=0 解：ez=1+3i 即z=ln(1+3i)=ln2+i1=ln2+2k+i33+2ki (3)lnz=2i解：lnz=2i 即z=e2=i i(4)z-ln(1+i)=0 解：z-ln(1+i)=ln2+i 20. 若z=x+iy，求证 (1) sinz=sinxchy+icosxshy 证明：sinz=e-e2i12i.(eiz-iz4+2ki=ln12+2k+i 4=ei(x+iy)-e2i-(x+yi)i-y+xi-ey-xi)=sinxchy+icosx.shy(2)cosz=cosxchy-isinxshy 证明：cosz=e+e21212iz-iz=12(ei(x+yi)+

32、e-i(x+yi)(e-y+xi+ey-xi)(e-y(cosx+isinx)+ey.(cosx-isinx)y-y-yy-e+e.cosx-isinx.2e+e2=cosx.chy-isinx.shy(3)|sinz|=sinx+shy 证明：sinz=sinz222212i(e-y+xi-ey-xi)=sinxchy+icosxshy 2222=sinxchy+cosx.shy222222=sinx(chy-shy)+(cosx+sinx)shy=sinx+shy22(4)|cosz|2=cos2x+sh2y 证明：cosz=cosxchy-isinxshy cosz2=cosx.chy+

33、sinx.shy222222=cosx(chy-shy)+(cosx+sinx).shy2222=cosx+shy2221. 证明当y时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大 证明：sinz= sinz=e-y+xi12i(eiz-e-iz)=1(e-y+xi-ey-xi) 2i12e-y-y+xi-ey-xiy=eey-xi=e而sinz12(e-y+xi-y-ey-xi)=1(e-y2yy-e) 当y+时，e-y0，ey+有|sinz| 当y-时，e+，e0有|sinz| 12e-y+xi同理得cos(x+iy)=+ey-xi12(e-y-ey) 所以当y时有|cos

34、z| 习题三 1. 计算积分(x-y+ix)dz,其中C为从原点到点1+i的直线段. C2解 设直线段的方程为y=x,则z=x+ix. 0x1 (x-y+ix)dz=(x-y+ix)d(x+ix)2201故 C=10ix(1+i)dx=i(1+i)213x310=i3(1+i)=i-132. 计算积分(1-z)dz，其中积分路径C为 C(1) 从点0到点1+i的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段. 解 (1)设z=x+ix. 0x1 (1-z)dz=(10C1 -x+)ix(d+x)ix=i(2)设z=x+ix2. 0x1 (1-z)dz=C10(1-x+ix2)d(x+ix)=22i33. 计算积分zdz，其中积分路径C为 C(1) 从点-i到点i的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i. 解 (1)设z=iy. -1y1 Czdz=