复变函数第四章练习题.docx
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1、复变函数第四章练习题 第四章例题 例4.1 考察级数的敛散性。 解 因 发散,故虽收敛,我们仍断定原级数发散。 例4.2 试求下列各幂级数的收敛半径。 解 。 。 解 因故 。 , 。 解 因故 。 ,其他情形 , 解 应当是平方数时列 。因此,相应有。 ,于是数的聚点是0和1,从而例4.3 将在展开成幂级数。 解 因在内解析,故展开后的幂级数在内收敛。已经知道: , 在时将两式相乘得 。 例4.4 求解 因的支点为及的展开式。 ,故其指定分支在内单值解析。 其一般表达式为:当时 , 例4.5 将及展为的幂级数。 。 解 因 同理 , 。 两式相加除以2得 两式相减除以得 , 例4.6 试将函
2、数 按的幂展开,并指明其收敛范围。 解 。 例4.7 考察函数 在原点解 显然的性质。 在解析,且。 由或由 , 知 为的三级零点。 例4.8 求解 的全部零点,并指出它们的级。 在平面上解析。由得 即 故 这就是 , 在平面上的全部零点。显然 故 都是函数 例4.9 设在试证:在证 若有使在内 内使或。因及在区域, 的二级零点。 内解析; 。 在点连续,故由例1.28知,存在的邻域,内恒不为零。而由题设 . 。 , 故必 由唯一性定理 例4.10 试用最大模原理证明例3.9。即证:“设在闭圆上解析,如果存在,使当时 , 而且 则在圆证 如果在上解析。故 内,内, 至少有一个零点。” 无零点。而由题设在上,且在 在上解析。此时 且在上, , 于是必非常数,在上 。 , 由最大模原理,这就得到矛盾。
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