复变函数习题.docx

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1、复变函数习题复变函数与积分变换习题集 第三章 复变函数的积分 一、 判断题 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。 有界整函数必为常数。 积分z-a=r1dz的值与半径r(r0)的大小无关。 z-a 若在区域D内有f(z)=g(z)，则在D内g(z)存在且解析。 若f(z)在0z1内解析，且沿任何圆周c:z=r(0r0,R1且R2。 2z=R(z-1)(z+2)1dz，其中C为不经过z=ai的简单正向闭曲线. 222C(z+a)3 3复变函数与积分变换习题集 五、设f(z)在z平面上解析，且f(z)恒大于正常数M, 试证f(z)为常值函数. 六、证明：若f(z)在圆周|

2、z-z0|=r上及其内部解析，则f(n)(z0)=n!2prn2p0f(z0+reiq)e-inqdq. 七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限f(z)dz并由此推证f(a)=f(b). R+(z-a)(z-b)z=Rlim八、设f(z)在z1)内解析，且f(0)=1,f(0)=2，试计算积分z=1(z+1)2f(z)dzz2并由此得出2p0cos2q2f(eiq)dq之值. 答案： 一、， ， 二、1C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8A 9. D 10. B 三、1-8pi 210pi 3. 4pi, 0, 4pi 4.

3、 2p 5. 平均值 1epei+(cosh1+isinh1) 7。2pie2(cos3+isin3)，0 8.(y2-x2)-y-x+c 9. 6。222-3 10. -u(x,y) 四、1. 设z=e, 则dz=iedq,|dz|=dq, 所以 iqiq|z|=1|z-1|dz|=|cosq-1+isinq|dq=8. 02p2当0R1时，0； 当1R2时，8pi； 当2R+时，0 3分情况讨论： C为不包含z=ai的简单正向闭曲线 4 复变函数与积分变换习题集 1dz=0 222C(z+a)C为包含z=ai，不包含z=-ai的简单正向闭曲线 12p1=2pi=. dz23222(z+ai)4a(z+a)Cz=aiC为包含z=-ai，不包含z=ai的简单正向闭曲线 12p1=2pi=-. dz23222(z-ai)4aC(z+a)z=-aiC为即包含z=-ai，也包含z=ai的简单正向闭曲线 1dz=0 222C(z+a)五、提示：对1运用刘维尔定理. f(z)七、提示：估值不等式证明极限0. 再用柯西积分公式计算，可验证f(a)=f(b)。 f(z)dz=8pi,八、(z+1)2zz=122p0cos2qf(eiq)dq=2p. 2 5