四年级 举一反三 第三十五周 容斥原理.docx

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1、四年级 举一反三 第三十五周 容斥原理第三十五周 容斥原理 (人教网分享) 专题简析： 容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的事物的个数=NaNbNab。 NaNabNb例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 分析 完成语文作业的

2、有37人，完成数学作业的有42人，一共有3742=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：7948=31人。 练 习 一 1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2，四年级一班有54人，订阅小学生优秀作文和数学大世界两种读物的有13人，订小学生优秀作文的有45人，每人至少订一种读物，订数学大世界的有多少人？ 3，学校文艺组每人至少会演奏一种

3、乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有2515=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：1023=33人。所以，两题都答得不对的有3633=3人。 练 习 二 1，五班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参

4、加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？ 2，一个班有55名学生，订阅小学生数学报的有32人，订阅中国少年报的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？ 3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？ 例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：5625=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28

5、2731=24人。 练 习 三 1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？ 3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？ 例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100

6、5=20个，6的倍数有16个，其中既是5的倍数又是6的倍数的数有3个。因此，是6或5的倍数的个数是16203=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：10033=67个。 练 习 四 1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？ 2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？ 3，五班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？ 例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参

7、展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。2422=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。2=18幅。 练 习 五 1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？ 2，六儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？ 3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？