同济大学高等数学 第六第十二章答案分享(1).docx

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1、同济大学高等数学 第六 第十二章答案分享练习一 1计算下列对弧长的曲线积分 (1)(x+y)ds, 其中L为以O(0, 0), A(1, 0)和B(0, 1)为顶点的三角形周界. L 解L=OA+AB+OB , 其中OA: y=0 (0x1); AB: y=1-x (0x1); OB: x=0 (0y1). L(x+y)ds=OA(x+y)ds+AB(x+y)ds+OB(x+y)ds 111000 =xdx+(x+1-x)1+(1-x)2dx+ydy=1+2. (2)L4(x3+y43)ds, 其中L为内摆线2x3+2y3=2a3. 解L的参数方程为x=acos3t, y=asin3t(0t2

2、p). x(t)=3acos2t(-sin t), y(t)=3asin2tcos t, ds=x2+y2dt=3asin2tcos2tdt=3a|sintcost|dt=3a|sin2t|dt, 2在L上4x3+4y3=2(x3+2y3)22-2x32y3=4a32-2a3cos24ta3sint=24a3(1-1sin22t), 2LL4(x3+4y3)ds=2p04a3(1-132sin2t)a|sin2t|dt=4a3. 227 (3)e个边界; x2+y2ds, 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x

3、=x, y=0(0xa), L2: x=acos t, y=asin t(0tp), L3: x=x, y=x(0x2a), 42因而 Lex2+y2ds=eL1x2+y2ds+eL2x2+y2ds+eL3x2+y2ds, =e0apx1+0dx+e2240a(-asint)+(acost)dt+2202a2e2x12+12dx=ea(2+p4a)-2. (4)|y|ds, 其中L为圆周x2+y2=1. L 解L的参数方程为x=cos t, y=sin t (0t2p). LL|y|ds=2p0|sint|(cots)2+(sint)2dt=32p0|sint|dt=sintdt-0p2pps

4、intdt=4. (5)xyzds, 其中L为曲线x=t, y=18t3, z=1t2(0t1). 2 解 xyzds=t18t31t212+(2t)2+t2dt=2L0323119t2(1+t)dt0=162. 143 (6)(x+y+z22L21-4xy)2ds, 其中L为圆柱x2+y2=a2和平面x+y-z=0的交线在第一象限的部分. 解 令x=a cos t, y=a sin t, 则z=a cos t+a sin t, (0tp). 2L(x2+y2+z2-p14xy)2dsp=0222a1-sintcost2a2-2a2sintcostdt =2a2t)dt=a02(1-sintc

5、os(p-1). 2求均匀的弧x=etcos t, y=etsin t, z=et(-t0)的重心坐标. 解 ds=x2(t)+y2(t)+z2(t)dt=3etdt, l=ds=L0-3etdt=3, x=1xds=1lL3-3-000etcost3etdt=etsint3etdt=t-00e2tcostdt=2t25, , y=1yds=1lLe-sintdt=-121511z=zds=lL3-e3edt=te-02tdt=. 3设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中0t2 p, 它的线密度r(x, y, z)=x2+y2+z2. 求 (1)它关于

6、z轴的转动惯时Iz; (2)它的重心. 解 ds=x2(t)+y2(t)+z2(t)dt=a2+k2dt, 在曲线L上r(x, y, z)=a2+k2t2. 22 Iz=(x2+y2)r(x,y,z)ds=(a2cost+a2sint)(a2+k2t2)a2+k2dt L02p =a2a+k2202p8(a2+k2t2)dt=a2a2+k2(2pa2+p3k2). 32p0 M=r(x,y,z)ds=(a2+k2t2)a2+k2dt=a2+k2(2pa2+8p3k2) L3 x=1 MLxr(x,y,z)ds=1M02p2a2cost(a2+k2t2)a2+k2dt 6ak2=3a2+4p2k2, 1M y=1 =MLyr(x,y,z)ds=02p2a2sint(a2+k2t2)a2+k2dt -6pak23a2+4p2k2, 1M z=1 =MLzr(x,y,z)ds=02pkt(a2+k2t2)a2+k2dt 3k(pa+2p3k2)3a2+4p2k2.