模糊数学第四章课件.ppt
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1、本章内容,1.基于模糊等价矩阵的聚类分析2.直接聚类法3.最佳阈值的确定与模糊聚类系统4.基于模糊划分的模糊聚类法,模糊聚类分析方法大致可分为3大类:,分类数不定,根据不同要求对事物进行动态聚类,此类方法是基于模糊等价矩阵聚类的,称为模糊等价矩阵动态聚类分析方法。分类数给定,寻找出对事物的最佳分类方案,此类方法是基于目标函数聚类,称为模糊C均值(FCM)聚类算法或称为模糊ISODATA聚类分析法。在摄动有意义的情况下,根据模糊相似矩阵聚类的,此法称为基于摄动的模糊聚类分析法。(不讲),一.基于模糊等价矩阵的聚类分析,聚类分析:,利用给定的指标对事物进行分类,模糊聚类分析:,将模糊数学方法用于聚
2、类分析,问题描述:,模糊聚类的基本思想,定理1.设R Mnn是模糊等价矩阵,则对于任何,0,1,且,R所决定的分类中的每个类 都是R所决定的分类中的某个类的子类。,证:因任意 有,这就是说,如果xi,xj按Ru分在一类,则按R必分在一类,即Ru所决定的每个类是R决定的分类中的某个类的子类。,模糊聚类的基本思想,一个合适的分类应当具有下列3个条件:,(1)自反性:即任何一个对象必须和自己在一类;(2)对称性:即若对象u与对象v同类,则v与u也应同 类;(3)传递性:即若对象u与对象v同类,而v与对象w同 类,则u与w也应同类。满足上述3个条件的关系即为一个等价关系。因此模糊聚类分析是根据模糊等价
3、关系进行的。,例题,例1.设U=x1,x2,x3,x4,x5 求当 1,0.8,0.6,0.5,0.4时的聚类结果。,例题,容易验证,R具有自反性与对称性,又,所以R具有传递性,故R是模糊等价矩阵。,得到分类,定理1说明,越大,分类越细。由1变到0的过程,是R的分类由细到粗的过程,从而形成了一个动态的聚类图。,x1,x2,x3,x4,x5,=1,=0.8,=0.4,=0.6,=0.5,模糊聚类的基本思想,模糊聚类分析的步骤,第一步:数据标准化(建立模糊矩阵);第二步:建立模糊相似矩阵;第三步:聚类(求动态聚类图)。,模糊聚类分析的步骤一,第一步:数据标准化(建立模糊矩阵)设论域U=x1,x2,
4、xn 为被分类对象,每个对象由m个指标表示其性状:将原始数据矩阵中的元素通过适当的变换压缩到0,1上。,模糊聚类分析的步骤一,第一步:数据标准化(建立模糊矩阵),常用的两种 变换:根据模糊矩阵的要求,将数据压缩到区间0,1上。平移标准差变换平移极差变换,模糊聚类分析的步骤一,平移标准差变换(消除量纲):,经过变换后,每个变量的均值为0,标准差为1,且消除了量纲的影响。但不一定在0,1上。,模糊聚类分析的步骤一,平移极差变换(变换至0-1区间):,显然,且消除了量纲的影响。,模糊聚类分析的步骤二,第二步:建立模糊相似矩阵对于第一步所得到的模糊矩阵,建立其对应的模糊相似矩阵R,rijR(xi,xj
5、)表示xi与xj的相似度。,模糊聚类分析的步骤二,第二步:建立模糊相似矩阵(可选以下方法之一)1、相似系数法:数量积法、夹角余弦法、相关系数法、指数相似系数法、最大最小法、算数平均最小法、几何平均最小法。2、距离法:绝对值倒数法、绝对值指数法、绝对值减数法、海明距离法、欧式距离法、切比雪夫距离法。3、其它方法:主观评分法,(1)数量积法,模糊聚类分析的步骤二,1、相似系数法:,模糊聚类分析的步骤二,(2)夹角余弦法:(3)相关系数法:,模糊聚类分析的步骤二,(4)指数相似系数法:相关系数法中一行表示一个母体的多个样本,指数相似系数法中一行表示一个样本的多个属性,模糊聚类分析的步骤二,(6)算数
6、平均最小法:,(7)几何平均最小法:,(5)最大最小法:,模糊聚类分析的步骤二,2、距离法(8)绝对值倒数法:(9)绝对值指数法:,(10)绝对值减数法:,模糊聚类分析的步骤二,2、距离法直接距离法:rij1-c*d(xi,xj)(11)海明距离:(12)欧式距离:(13)切比雪夫距离:,模糊聚类分析的步骤二,3、其它方法(14)主观评分法 专家直接给出相似度,专家数为N,rij(k)表示第k个专家给出的i与j的相似度,aij(k)为专家的自信度。,模糊聚类分析的步骤三,第三步:聚类(求动态聚类图)1、模糊传递闭包法;,步骤:,第二步得到的模糊矩阵,只是一个模糊相似矩阵,不一定具有传递性,即R
7、不一定是模糊等价矩阵。为进行分类,还需将R改造成模糊等价矩阵。根据上章定理,传递闭包 t(R)为模糊等价矩阵,并可通过逐次平方法求传递闭包t(R),对t(R)再取适当的 由 截矩阵 便可得到动态聚类。,模糊聚类分析的步骤三,1、模糊传递闭包法;,模糊传递闭包法举例,解:,由题设知特性指标矩阵为,将数据标准化化为,模糊传递闭包法举例,用最大最小法构造模糊相似矩阵得到,用平方法合成传递闭包,模糊传递闭包法举例,取,得,模糊传递闭包法举例,取,得,取,得,模糊传递闭包法举例,取,得,取,得,模糊传递闭包法举例,画出动态聚类图如下:,模糊传递闭包法举例,书P72-75 例题4-3,4-4,说明,当被分
8、类对象很多时,计算模糊相似矩阵R的传递闭包的工作量是很大的。为了减少计算工作量。有些书中给出模糊传递闭包法的C语言程序。也可以用下面我国学者总结的直接用模糊相似矩阵R进行聚类的方法直接聚类法。,模糊聚类分析的步骤三,2、直接聚类法(1)直接聚类法:不求传递闭包,直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图;(2)最大树法;(3)编网法;,模糊聚类分析的步骤三,(1)直接聚类法,具体步骤如下:将模糊相似矩阵R中的所有不同的元素rij从大到小的顺序编排,设为,画动态聚类图。,模糊聚类分析的步骤三,例2 利用直接聚类法对例1中给出的环境区域 U=u1,u2,u3,u4,u5进行等价分类。,由例1知模糊相似矩阵为
9、,模糊聚类分析的步骤三,将R中的元素进行排序为,取=1,因相似程度为1的元素只有自己,故U被分成5类:,取=0.70,因在R中,r24=r42=0.70,故得相似类为:,将所有相似的类合并成一类,即得等价类为:,模糊聚类分析的步骤三,取=0.63,因在R中,r14=r41=0.63,故得相似类为:,将所有相似的类合并成一类,即得等价类为:,取=0.62,因在R中,r13=r31=0.62,故得相似类为:,将所有相似的类合并成一类,即得等价类为:,模糊聚类分析的步骤三,取=0.56,因在R中,r34=r43=0.56,故得相似类为:,将所有相似的类合并成一类,即得等价类为:,由此可见,在0.56
10、水平上的等价类与0.62水平上的等价类是相同的。事实上,在0.540.62水平上的等价类是完全相同的。,模糊聚类分析的步骤三,若取=0.53,因在R中,r25=r52=0.53,故得相似类为:,将所有相似的类合并成一类,即得等价类为:,动态聚类图如例1.,从例1、例2可见,利用模糊传递闭包法和利用直接聚类法所得到的等价类是一致的。(我国学者罗承忠证明了这一结果),例3:,(环境单元分类),每个环境单元包括空气、水分、,土壤、作物四要素,环境单元的污染状况由污染物,在四要素中含量的超限量来描述,现设有五个环境,单元,它们的污染数据如下:,试根据这些污染数据对五个环境单元进行分类。,模糊聚类分析的
11、步骤三,模糊聚类分析的步骤三,全体归为一类,全体归为一类,直接聚类法,例4,模糊聚类分析的步骤三,(2)最大树法(我国学者吴望明给出的)步骤如下:以所有被分类的对象为顶点;当rij0时,将顶点ui与顶点uj用一条线连接起来,并在线段上注明相关程度rij,具体画法如下 画以被分类元素为顶点,以相似矩阵R为权重的一棵最大树。取0,1,坎断权重低于的枝,所得图中每个连通分支为水平的分类。,模糊聚类分析的步骤三,例5 设论域U=I,II,III,IV,V,相似矩阵R为,用最大树法分类。,模糊聚类分析的步骤三,图1,图3,模糊聚类分析的步骤三,砍去最大树权重低于的枝,即得在水平上的分类:,取=1,得5类
12、:I,II,III,IV,V;取=0.8,得4类:I,III,II,IV,V;取=0.6,得3类:I,III,II,IV,V;取=0.5,得2类:I,III,IV,V,II;取=0.4,得1类:I,II,III,IV,V.,最大树是不唯一的,但可以证明,分类结果是一致的。,最大树法举例,模糊聚类分析的步骤三,(3)编网法:由我国学者赵汝怀提出的,其特点是在模糊相似矩阵R的截矩阵R 上直接进行聚类。,8,模糊聚类分析,总结:1.各种聚类方法各有优劣,传递闭包法适合于计算机 操作,其它方法当矩阵阶数小时,容易手工实现。2.传递闭包法、直接聚类法、最大树法及编网法,尽管在形式上各不相同,但其聚类原则
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