第7张-岩体本构关系与强度理论课件.ppt

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1、7.1 概 述7.2 岩石的本构关系7.3 岩石强度理论7.4 岩体变形与本构关系7.5 岩体破坏机制及破坏判据,第7章 岩体本构关系与强度理论,岩体力学研究对象:岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。岩体力学问题求解:是将岩体划分成若干单元或称微分单元，其求解过程如下：,7.1 概 述,依据适合的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。,岩石或岩体的变形性质：弹塑性或粘弹塑性。本构关系：弹塑性或粘弹塑性本构关系。本构关系分类：弹性本构关系：线性弹性、非线性弹性本构关系。弹塑性本构

2、关系：各向同性、各向异性本构关系。流变本构关系：岩石产生流变时的本构关系。流变性是指如果外界条件不变，应变或应力随时间而变化的性质。岩石强度理论：研究岩石在一定的假设条件下在各种应力状态下的强度准则的理论。,岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏（出现显著的塑性变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破坏发生于应力达到屈服极限。岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质，变形性质主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映。本章分别研究岩石、岩体的本构关系与强度理论。,一、岩石力学中的符号规定（1）力和位移分量的正方向与坐标轴的正方向一致；

3、（2）压缩的正应变取为正；（3）压缩的正应力取为正。假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致，则该表面上正的剪应力的方向与坐标轴的正方向相反，反之亦然。,7.2 岩石的本构关系,二、岩石弹性本构关系 1平面弹性本构关系 据广义虎克定律有：,式中：E为物体的弹性模量；为泊松比；G为剪切弹性模量，,对于平面应变问题：因z zx yz 0，故yzzx0，可知：,对于平面应力问题：zzxzy0,对比平面应力问题与平面应变的本构方程，可以看出，只要将平面应力问题的本构关系式中的E换成，v 换成。,2.空间问题弹性本构方程,三、岩石塑性本构关系,图7-1 加卸载应力应变曲线,塑性本构关系特点：1、应力-应变关

4、系的多值性 同一应力有多个应变值与它相对应。本构关系采用应力和应变增量的关系表达。塑性状态描述：除用应力、应变，还需用塑性应变，塑性功等内状态变量来刻画塑性变形历史。,（1）屈服条件：塑性状态的应力条件。（2）加-卸载准则：材料进入塑性状态后继续塑性变形或回到弹性状态的准则，通式写成：,式中：垂直于 轴的平面上平行于 轴的应力，为某一函数关系，为与加载历史有关的参数，。（3）本构方程：,或,式中：R为某一函数关系,2、本构关系的复杂性 塑性阶段本构关系包括三组方程：,屈服条件：物体内的一点进入屈服时，应力状态所满足的条件。初始屈服条件：从弹性状态开始第一次屈服的屈服条件 可用函数表示为：后继屈

5、服条件：当产生了塑性变形，屈服条件的形式发生变化，这是的屈服条件就是后继屈服条件。,（1）塑性状态的屈服条件,（2）塑性状态的加-卸载准则,塑性加载：对材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另一种塑性状态，且有新的塑性变形出现；中性变载：对材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另一种塑性状态，但没有新的塑性变形出现；塑性卸载：对材料施加应力增量后，材料从塑性状态退回到弹性状态。,1）全量理论：描述塑性变形中全量关系的理论，称形变理论或小变形理论。汉基（Hencky）、依留申等依据类似弹性理论的广义胡克定律，提出如下公式：,（3）本构方程 塑性状态时应力-应变关系是多值的，取决材料性

6、质和加-卸载历史。,2）增量理论：描述应力和应变增量间关系的理论，又称流动理论。当应力产生一无限小增量时，假设应变的变化可分成弹性的及塑性的两部分：,弹性应力增量与弹性应变增量之间仍由常弹性矩阵D 联系，塑性应变增量由塑性势理论给出，对弹塑性介质存在塑性势函数Q，它是应力状态和塑性应变的函数，使得：,式中：是一正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关。,（7-18）,四、岩石流变理论,流变：指材料的应力-应变关系与时间因素有关的性质，材料变形过程中具有时间效应的现象称为流变现象。蠕变：当应力不变时，变形随时间增加而增长的现象。松弛：当应变不变时，应力随时间增加而减小的现象。弹性后效：加载

7、或卸载时，弹性应变滞后于应力的现象。,蠕变试验表明：1)当岩石在某一较小的恒定荷载持续作用下，其变形量虽然随时间增长有所增加，但蠕变变形的速率则随时间增长而减少，最后变形趋于一个稳定的极限值，这种蠕变称为稳定蠕变。,2)当荷载较大时，abcd 曲线所示，蠕变不能稳定于某一极限值，而是无限增长直到破坏，这种蠕变称为不稳定蠕变。这是典型的蠕变曲线，根据应变速率不同，其蠕变过程可分为三个阶段，即减速蠕变阶段或初始蠕变阶段、等速蠕变阶段及加速蠕变阶段。,在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩石流变性质的流变方程，通常有二种方法：,1经验法,岩石蠕变经验方程：,图7-5 岩石的典型蠕变曲线,式中：为时间

8、 的应变；瞬时应变；初始段应变；等速段应变；加速段应变。典型岩石蠕变方程：幂函数方程、指数方程、幂指数对数混合方程 2.理论模型模拟法 将介质理想化，归纳成各种模型，模型可用理想化的具有基本性能（包括弹性、塑性和粘性）的元件组合而成。,岩石的长期强度:由于流变作用，岩石强度随外载作用时间的延长而降低，通常把作用时间 的强度（最低值）称为长期强度。对于大多数岩石，长期强度/瞬时强度（）一般为0.40.8，软的和中等坚固岩石为0.40.6，坚固岩石为0.70.8。表7-1中列出某些岩石瞬时强度与长期强度的比值。,表7-1 几种岩石长期强度与瞬时强度比值,岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各

9、种应力状态下的强度准则的理论。强度准则：又称破坏判据，是表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数间的函数关系，可用如下的方程表示:1=f(2,3,C,t,C,),7.3 岩石强度理论与破坏判据,或处于极限平衡状态截面上的剪应力 和正应力 间的关系方程：,7.3 岩石强度理论与破坏判据,一、库仑强度准则二、莫尔强度理论三、格里菲斯强度理论四、Griffith强度准则的三维推广（Murrell强度准则）五、德鲁克一普拉格准则,一、库仑强度准则,岩石的破坏：剪切破坏。认为岩石的剪切强度等于岩石本身的粘结力和剪切面上由法向力产生的摩擦阻力。平面应力中的剪切强度准则（图）为：,或,（7-27）,图7-6

10、 坐标下库仑准则,最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角（称为破坏角）恒等为：,另外由图7-6可得：,并可改写为：,若取，则极限应力 为岩石单轴抗压强度，即有：,或,图7-7 13坐标系的库仑准则,坐标中库仑准则的强度曲线，如图 7-7所示，极限应力条件下剪切面上正应力 和剪力 用主应力可表示为：,由方程（7-27）式并取，得：,上式C，破坏不会发生，C，则发生破坏。,1,上式表示（图7-8)的直线交 于，且：,交 轴于。注意：并不是实际抗拉强度,图7-8 13坐标系中的库仑准则的完整强度曲线,1,=C,图 7-8 中直线 AP代表 的有效取值范围。为负值（拉应力）时，特别在单轴拉伸实

11、验中，当拉应力达到岩石抗拉强度时，岩石发生张断裂。基于试验结果和理论分析，库仑准则的有效取值范围由图7-8给出，并可用方程表示为：,图7-8 13坐标系中的库仑准则的完整强度曲线,二、莫尔强度理论,莫尔（Mohr，1900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极限状态时，滑动平面上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系表示：,上式在 坐标系中为一条对称于 轴的曲线，它可通过试验方法求得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏莫尔应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图7-9)，

12、称为莫尔强度包络线给定。,莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等。斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。这里主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。,图7-9 完整岩石的莫尔强度曲线,1、二次抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石。,式中：为岩石的单轴抗拉强度；n 为待定系数。利用图 7-10中的关系，有：,1.双向压缩应力圆，2.双向拉压应力圆，3.双向拉伸应力圆图7-10 二次抛物型强度包络线,其中：,消去式中的，得二次抛物线型包络线的主应力表达式为：,单轴压缩条件下，有：,解得：,利用这些式子可判断岩石试件是否

13、破坏。,2、双曲线型 砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包络线近似于双曲线（图 7-11)，其表达式为：,式中，1为包络线渐近线的倾角，,图7-11 双曲线型强度包络线,莫尔强度理论实质:剪应力强度理论。优点：(1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏；(2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性;(3)能解释岩石在三向等拉时破坏，在三向等压时不会破坏（曲线在受压区不闭合）的特点。缺点:(1)忽略了中间主应力的影响，与试验结果有一定的出入。(2)该判据只适用于剪破坏，受拉区的适用性还值得进一步探讨，不适用于膨胀或蠕变破坏。,三、格里菲斯强度理论,格里菲斯（Griffith，1920年）认为:脆

14、性材料断裂的起因是分布在材料中的微小裂纹尖端有拉应力集中（这种裂纹称之为Griffith裂纹）。格里菲斯原理认为:当作用力的势能始终保持不变时，裂纹扩展准则可写为：,式中：C为裂纹长度参数；Wd为裂纹表面的表面能；We为储存在裂纹周围的弹性应变能。,式中：a为裂纹表面单位面积的表面能；E为非破裂材料的弹性模量。,图7-12 平面压缩的Griffith裂纹模型 图7-13 Griffith强度曲线,Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂纹的扩展研究中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的均匀单轴拉伸应力的加载方向。当裂纹扩展时满足下列条件：,双向压缩下裂纹扩展准则（Griffith强度

15、准则）:假定条件：1)不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响；2)假定裂纹从最大拉应力集中点开始扩展（图7.12中的P点）。,图7-12 平面压缩的Griffith裂纹模型 图7-13 Griffith强度曲线,结论：(1)材料的单轴抗压强度是抗拉强度的8倍，其反映了脆性材料的基本力学特征。(2)材料发生断裂时，可能处于各种应力状态。不论何种应力状态，材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应力而断裂开始扩展，即材料的破坏机理是拉伸破坏。新裂纹与最大主应力方向斜交，而且扩展方向会最终趋于与最大主应力平行。Griffith强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。Mohr-coulomb强度准则的适用性一般的岩石材

16、料。,四、Griffith强度准则的三维推广（Murrell强度准则）,Murrell将Griffith强度准则从二维推广到三维，得到强度准则,特点：1)能够考虑中间主应力的影响，并且将单轴压拉强度比提高到12。2)Murrell准则在主应力之和小于3 t 时应为圆锥面，压拉强度比仍然是8。3)该式并不能全部用来表示岩石的强度准则，否则就得到3个主应力为零时材料也会屈服破坏这样的结论。因此必须考虑拉伸破坏时的强度准则。,五、德鲁克一普拉格准则 在 C-M 准则和 Mises 准则基础上的扩展和推广而得的，表达式为：,其中：,为应力第一不变量；,为应力偏量第二不变量；,Drucker-Prage

17、r 准则计入了中间主应力的影响，又考虑了静水压力的作用。,7.4 岩体变形及本构关系,一、岩体变形二、岩体变形机制与本构关系三、几种典型岩体变形的本构规律,一、岩体变形 在受力条件改变时，岩体产生的体积变化、形状改变及结构体位置变化的总和。,体积变化：在应力变化条件下岩体体积胀缩变化，由结构体胀缩和结构面闭合和张开变形贡献。形状改变:材料剪切变形；坚硬结构面错动；在剪切力作用下结构体转动；板状结构体弯曲变形。位置变形：软弱结构面滑动或坚硬结构面错动。两大类变形类型：材料变形（um）；结构变形（us）。,岩体变形：,式中：材料变形um=ub+ujn，ub为岩块受力条件改变时产生的体积形变和形状改

18、变量；ujn 为结构面闭合或张开变形量。结构变形 us 包括板状结构体横向弯曲和轴向缩短变形量usb，还包括软弱夹层挤出uc，结构体间位置移动usi及转动引起的变形ut，即,材料变形属于小变形，结构变形实际上是大变形。各种结构岩体的变形结构成分和机制见表7-2。岩体变形受温度、压力影响，主要受岩体结构控制。,表7-2 各种结构岩体变形成份,二、岩体变形机制与本构关系,岩体变形=F（岩石、岩体结构、压力、温度、时间）其中前两项为岩体的实体，后二者为岩体赋存环境，最后一项表征变形过程。其数学表达式称为本构方程。,图7-15高边墙地下室变形机制,图7-16 岩体变形机制与岩体结构关系,各种岩体变形。

19、在实际应用中可以简化为如图7-17的8种变形机制单元：,图7-17 岩体变形主要机制单元,8种变形机制单元可分为两种类型，即：l）材料变形型：结构体弹性变形机制单元；结构体粘性变形机制单元；结构面闭合变形机制单元；结构面错动变形机制单元。2）结构变形型：结构体滚动变形机制单元；板裂体结构变形机制单元；结构面滑动变形机制单元；软弱夹层压缩和挤出变形单元。材料变形型岩体变形机制单元的本构规律如表7-3。,表7-3 岩石材料变形本构规律及机制元件,三、几种典型岩体变形规律：1弹性均质完整结构岩体变形本构规律2弹性均质断续结构和碎裂结构岩体变形本构规律3粘弹性材料块状或平卧层状完整结构岩体变形本构规律

20、,1弹性均质完整结构岩体变形本构规律,如各类岩浆岩、厚层砂岩、厚层碳酸岩等岩体，在低地应力水平条下，可以抽象为这种力学模型。图a为这种岩体的地质模型，图b为其物理模型，图c为在轴向压力作用下的力学模型。本构方程可以用虎克法则描述，即,图7.18完整结构岩体变形机制及规律,岩体变形与加载历史无关，弹性模量为常量。,2弹性均质断续结构和碎裂结构岩体变形本构规律,假定岩体内发育二组正交裂隙，图7-19e为轴向压力下力学模型。弹性均质岩石材料的断续结构和碎裂结构的本构方程：,图7.19 弹性均质断续结构或碎裂结构岩体变形机制及规律,已知：,这类岩体变形由两个变形参数决定，即由两种变形成分构成，可由两种

21、变形元件组成。即：1）结构体弹性变形,式中：为结构体变形参数（弹性模量）；为正应力。2）结构面闭合变形,式中：为结构面闭合变形参数，为结构面闭合模量。,（7-65）,低地应力条件下：远远大于。高地应力水平条件下。高地应力水平条件下应力-应变曲线增量由结构体弹性变形贡献，即：,高地应力水平条件下岩体应力-应变曲线斜率为结构体弹性模量。因此可利用高地应力水平阶段的应力-应变曲线分析结构体弹性模量。,（7-66）,3粘弹性材料块状或平卧层状完整结构岩体变形本构规律,高地应力水平条件下的岩浆岩或碳酸岩及砂页岩互层、灰岩与泥灰岩互层的平卧层状岩体。在单轴压作用下的力学模型为Maxwell模型，其本构方程

22、：,图7-20 粘弹性材料组成的块状或平卧层状完整结构岩体变形机制,加载控制条件下岩体的变形有：（l）蠕变过程。对岩体施加一固定载荷，且在整个试验过程中保持不变；（2）松弛过程。对岩体施加一固定应变，且在整个试验过程中保持不变；（3）应力速率控制加载。模拟对岩体按一定的应力速度 进行加载；（4）应变速率控制加载。模拟对岩体按一定的变形速率 在进行加载。,1）蠕变过程的本构方程 加 常数，则式（7-67）变为：,（7-68）,积分得：,其曲线结构示于图7-20f 中变形 0-t 段。,（7-69）,得：,（7-70）,3）应力速率控制加载,在加载过程中令=常数，式（7-67）可改写为：,（7-7

23、5）,则,已知：,（7-76）,（7-77）,积分得：,曲线结构示见图7-20g。,4）应变速率控制加载,在加载过程中令=常数，式7-67可改写为：,上式可改写为：,对式（7-79）积分得：,（7-78）,（7-79）,（7-80）,已知，时，则（7-80）中：,据此式得：,或：,式（7-82）便是粘弹性材料块状完整结构岩体及平卧层状粘弹性岩体的本构方程，其曲线结构示于图7-20 g。,（7-81）,（7-82）,7.5 岩体破坏机制及破坏判据,一、岩体破坏机制二、张破坏判据三、剪破坏判据四、沿结构面滑动的判据五、结构体转动破坏判据六、倾倒破坏判据七、溃屈破坏判据八、弯折破坏判据,一、岩体破坏

24、机制,岩体破坏机理与岩体结构密切有关，常见的岩体破坏机制及其与岩体结构的关系（下表），在第4讲中已有讨论。,完整结构岩体破坏的主要机制为张破裂和剪破裂；碎裂结构的破坏机制复杂，如结构体张破裂及剪破裂、结构体滚动、结构体沿结构面滑动等，在最大主应力作用下产生板裂化的岩体还可以出现倾倒、溃屈及弯折破坏等。块裂结构岩体的主要破坏机制为结构体沿软弱结构面滑动。综合上述得：岩体破坏机制主要为七种：张破裂；剪破裂；结构体沿软弱结构面滑动；结构体转动；倾倒；溃屈破坏；弯折破坏。相应就应有7种破坏判据。,二、张破坏判据,张破坏产生条件：1)在无围压和低围压下，脆性岩块在轴向压力作用下产生的破裂面大多数与1 方

25、向平行；2)受单向压力的岩体，如矿柱等，破坏方式与此相似，常产生轴向拉裂。,张破裂力学模型如图7-21 所示。据虎克定理：,当张应变达到允许张应变 时，岩体产生破裂。其破坏条件为：,或,（7-84）,或：,式中：0 为单轴压下极限应变，,图7-21 张破裂机制,（7-86）,将式（7-86）代人式（7-84）得：,当 时，有：,（7-88）、（7-89）为在三维应力场内产生的张破裂判据。式中 为发生破裂时的 与之 比，即：,（7-87）,（7-88）,（7-89）,（7-90）,三、剪破坏判据,岩体剪破坏可以用库伦-莫尔判据进行研究，其判据式在岩石破坏判据中已有讨论。但应注意，对于岩体，在用库

26、伦-莫尔判据时，必须用岩体的应力与强度参数，才能进行正确的判据。,四、沿结构面滑动的判据,常可用库仑-莫尔直线型判据进行判别，即：,式中：，分别为结构面的摩擦角和粘聚力。,适用于：坚硬结构面和软弱结构面。，包括结构面起伏效应的修正部分，即爬坡角修正部分在内。,图7-22块体滑动力学模型,（7-92）,五、结构体转动破坏判据,其力学模型见图7-23。结构体产生转动破坏的力学条件为：,根据图7-23力学模型及第一个条件，结构体转动条件为：,由此得结构体转动条件为：,即：,（7-95）,（7-93）,（7-94）,(7-96),（7-97）,（7-98）,图7-23 结构体转动破坏机理模型,这个条件

27、说明作用力P方向与结构体对角线方向一致时，结构体会产生转动。,根据第二个条件，结构体滑动的条件为:,六、倾倒破坏判据,处于斜坡浅表层的反倾向板裂结构或板裂化岩体常会出现倾倒变形而导致破坏现象。倾倒变形破坏的两个过程：在自重作用下板裂体产生弯折；折断点联贯成面，上覆岩体在重力作用下产生滑动或溃屈，最后导致斜坡破坏（图7-24）。,图7-24 斜坡岩体倾倒破坏过程,1）板裂体弯折折断，其破坏判据为：在自重和传递力作用下产生的倾复力矩MT大于内部摩擦力产生的抵抗力矩Mr，即：,取图7-25中的A点力矩可以写出,如果岩体内水平应力分布已知时，便可利用上式求得折断深度l。,图7-25倾倒变形力学模型,（

28、7-102）,倾倒破坏必须满足两个条件，即：,2）倾倒体失稳破坏条件，其破坏有两种可能，即滑动和溃屈破坏，此处仅就滑动破坏简要讨论如下，溃屈破坏见下部分内容。板裂岩体折断后，板裂体折断面以上岩体沿折断面滑动（7-24b）的条件为下滑力S大于抗滑力T，即,如果S T 时，则不发生滑动破坏。但应注意，还可能产生溃屈破坏（7-24c）。,七、溃屈破坏判据,这是板裂介质岩体工程和自然斜坡中经常出现的一种破坏机制。如图7-26 所示，其破坏条件与板裂体变形的弹性曲线形态密切相关。最常见的一种弹性曲线为：,其破坏判据为：,图7-26 倾倒溃屈失稳力学模型,式（7-105）对地基工程、地下洞室工程、边坡工程

29、岩体都有效。如当 时,相当于水平岩层板裂介质岩体抗力体抵抗水平载荷的情况，此时：,当 时,相当于直立边坡和地下洞室边墙，此时其极限抗力为：,(7-106),(7-107),式中：E为板裂体弹性模量；I 为板裂体截面矩；q 为单位长度板裂体的重量；l为分析段板裂体长度；为板裂体倾角，为板裂体破碎特征系数，它与板裂体内节理发育程度有关。如板裂体为完整的，则=1。,八、弯折破坏判据,破坏机制与梁相同，其力学模型如图7-27所示，其破坏判据为：,式中：为材料抗拉强度；为梁板内拉应力，即：,式中：M 为梁板截面内弯矩；y为中性轴距梁表面距离；I为梁板截面对中性轴的惯性矩，对矩形截面为：,式中：b为板裂体宽度；h为板裂体厚度。,图7-27 弯折破坏力学模型 a.固定梁；b.悬臂梁,(7-108),(7-109),