十字相乘法解一元二次方程问题.docx

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1、十字相乘法解一元二次方程问题十字相乘法解一元二次方程问题 解答某些与一元二次方程有关的问题时，灵活应用十字相乘法，有时可独辟蹊径，化难为易，请看下面几例。 例1. 若abc0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实数根中，较大的一个实根等于_。 解：将已知方程变形，得 (x-1)a(-b)x-(c-a)=0， x1=1，x2=c-aa-b。 abc0 c-a0，x20。 故所求的较大的一个实根等于1。 例2. 已知二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根，那么1a+1b=_。 解：已知方程变形， 得(x-1)(ab-2b)x-(2a

2、-ab)=0 x1=1，x2= x1=x2，2a-abab-2b2a-ab， =1，即ab=a+b， ab-2b11a+b=1。 故+=abab22 例3. 若关于x的方程(1-m)x+2mx-1=0的两个根都是比1小的正数，则实数m的取值范围是_。 解：已知方程变形，得 (1-m)x+1(1+m)x-1=0， x1=1m-11m-1，x2=11+m11+m， 又0x11，0x21， 01且02且m0。 故实数m的取值范围是m2。 2222 例4. 已知方程ax-(3a-8a)x+2a-13a+15=0至少有一个整数根，则非负整数a=_。 解：已知方程变形，得 ax-(a-5)ax-(2a-3)=0， 1 xa-51=a，x2a-32=a 当x2a-31=a-5a，x2=a。 当xa-551=a=1-a为整数时， 非负整数a=1，5； 当x2a-32=a=2-3a为整数时， 非负整数.a=1，3。 故非负整数a=1，3，5。 2