北航空气动力学答案.docx

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1、北航空气动力学答案第三章理想不可压缩流体平面位流 3-1 设有直匀流V以正X轴方向流过位于原点的点源，点源的强度为Q，试求半无限体表面上最大垂直分速度vmax的位置及速度值，并证明，在该点处合速度的大小正好等于直匀流速度V。 解：根据叠加原理，流函数为 y=Vy+QQyq=Vy+arctg 2p2px利用流函数表达式，可以写出合速度场中的速度分量为 yQxu=V+y2px2+y2 yQyv=-=x2px2+y2由式可以确定流场中驻点A位置为 Qx=-A2pV y=0A过驻点A的流线，即为半无限体的表面，其方程为 y=rsinq=半无限体表面上的垂直分速度为 Q(p-q) 2pVQyQsinqV

2、sin2qv= 2px2+y22prp-q由 dvdVsin2q=dqdqp-q可得 2VsinqcosqVsin2q+=0 =2p-q(p-q)sinq=0 tgq=-2p-qVsin2q当sinq=0时，q=p，v=0 p-qtgqVsin2q2Vsin2q=-2时，v=-=-Vsin2q，即 当p-qp-qtgqq1=1.9760315=113.2183，v=-Vsin2q=0.724611V q2=4.3071538=246.7817，v=-Vsin2q=-0.724611V 所以，半无限体表面上最大的垂直分速度为 vmax=0.724611V 该点的位置为 Qy=，(p-q) q=1

3、.9760315=113.21832pV在半无限体表面的水平速度分量为 u=V+在该点处的水平速度分量为 VsinqcosqQxQcosq=V+=V+ 2px2+y22prp-q()Vsinqcosq=0.689158V (p-q)u=V+则该点处的合速度为 V=u2+v2=V 3-2令G(x,y)是二维拉普拉斯方程的解，请证明G(x,y)可以代表二维无粘不可压缩流动的位函数或流函数。 证明： DG(x,y)=0GG=0 +xxyyu=v=GxGy uvvu2G2G有：V=+=DG=0Wz=-=-=0xyxyxyxy； 同时满足不可压及无旋条件，所以可以代表二维无粘不可压缩流动位函数 Gu=y

4、v=-G xuv2G2Gvu2G2G有：V=+=-=0Wz=-=-=0xyxyxyxyxxyy； 满足不可压平面流动条件，所以可以代表二维无粘不可压缩流动流函数。 3-3 在正三角形的三个角点(a,0)，(-a,0)，0,3a处放入三个等强度的点源，试写出该流动的流函数，确定其驻点坐标，并粗略地勾画出对应的流谱。 解：设点源的强度为Q，根据叠加原理，该流动的流函数为 ()y=Q2pyyy-3aarctg+arctg+arctg x-ax+ax由可以给出流动的速度分量 yQx-ax+axu=+222y2px-a)+y2(x+a)+y2x2+y-3a( yQyyy-3av=-=+22222x2p(

5、x-a)+y(x+a)+yx2+y-3a()()由式可以确定流场中驻点A位置为 xA=0a yA=33-4 叠加中心在原点的点涡和点源，试证其合成流动是一种螺旋形流动。在这一种流动中，速度与极半径之间的夹角处处相等，其值等于arctg(-GQ)。 解：根据叠加原理，合成流动的位函数为 f=由可以给出流动的速度分量 QGlnr+q 2p2pfQV=rr2pr V=f=Gqrq2pr速度与极半径之间的夹角a为 a=arctgVqG=arctgVrQfQV=rr2prV=f=Gqrq2pr3-5 在(-a,0)和(a,0)分别放入强度相等的点源和点汇，直匀流V沿x轴流来。设点源的强度为Q=2pVa，

6、试求流动的流函数、前后驻点的位置和零流线的形状。该零流线所代表的封闭物体称之为兰金卵形，试确定该兰金卵形的短半轴值。 解：根据叠加原理，该流动的流函数为 y=Vy+yyarctg-arctgx+ax-ayy=Vy+Vaarctg-arctgx+ax-aQ2p由可以给出流动的速度分量 yx+ax-au=V+Va-2222y(x+a)+y(x-a)+y yyy=Va-v=-(x+a)2+y2(x-a)2+y2x前后驻点的位置为 xA=3a yA=0零流线的形状为 yyVy+Vaarctg-arctg=0 x+ax-a当x=0时，数值求解得y=1.3065a，所以该兰金卵形的短半轴为1.3065a。

7、 3-6 设有直匀流y=Vy绕过两种物体，一种是兰金卵形封闭物体，另一种是半径等于兰金卵形物体短轴的圆柱体，试比较在这两种物体表面上所产生的最大速度之比，并给出适当的物理解释。 解：由于兰金卵形和圆柱物体均为左右对称，因此最大速度位置均出现在左右的对称面上。 兰金卵形物体表面上对称面位置的坐标为(0，1.3065a)，该点处的速度为 x+ax-au1=V+Va-=1.738841V2222(x+a)+y(x-a)+y yy-=0v1=Va(x+a)2+y2(x-a)2+y2兰金卵形物体表面上所产生的最大速度为Vmax,1=u1=1.738841V。 根据叠加原理，圆柱绕流的流函数为 y=Vy-

8、Myx2+y2yx2-y2u=y=V-M222x+y() 2xyv=-y=M222xx+y()圆柱表面上左右对称面位置的坐标为(0，1.3065a)，该点处的速度为 x2-y2=Vu2=V-M222(x+y) 2xyv=M=02222(x+y)圆柱表面上所产生的最大速度为Vmax,2=u2=2V。 兰金卵形物体和圆柱物体表面上所产生的最大速度之比为 Vmax,1Vmax,2=1.738841=0.869721 2a）3-7在(-a,0)和(a,0)有等强度的点源和点汇，试证明它们对无穷远处 =2222x+ypx+y根据叠加原理，强度为Q的分别位于在(-a,0)和(a,0)的点源和点汇构成的流动

9、的位函数为 f1=QQ22ln(x+a)+y2-ln(x-a)+y24p4p22 Q(x+a)+yQ4ax=ln=ln1+22224p(x-a)+y4p(x-a)+y当x,ya时，有4ax(x-a)2+y24ax0，固有 x2+y2QQ4ax4axf1=ln1+ln1+x2+y2224p4px-a+y() Q4axQax=f22224px+ypx+y3-8位于(0,a)和(0,-a)处有两个强度相等的旋转方向相反的点涡，当a0时保持2paG为常数，试证其对应的流动与轴线在x轴的偶极子完全相同。 证明： 位于原点的轴线沿-x轴方向的强度为M的偶极子的流函数为 y=-My 22x+y根据叠加原理，

10、位于(0,a)和(0,-a)处的强度为G的旋转方向相反的点涡产生的复合流场的流函数为 G2G222lnx+(y-a)+lnx+(y+a)4p4p 22x+y+a()=Gln1+G4ay=ln22224p4px+(y-a)x+(y-a)对式两端取极限，有 y1=-G4ayGayGayy1=limln1+2=lim= 22222a04pa0ppx+yx+(y-a)x+(y-a)Ga当M=-时，y=y1。 p3-9在(-a,0)和(a,0)处分别布置强度为Q的等强度的点汇和点源，直匀流V沿x轴方向流来，试写出合成流动的流函数，并证明其包含驻点的流线方程为 y=0 x2+y2-a2=2aytan(2p

11、VyQ) 设a=V=Q2p=1，请画出合成流动对应的物体形状。 证明： 合成流动的流函数为 y=Vy+Q2pyyarctg-arctg x-ax+a流场中各点的速度分量为 x+a)(yQ(x-a)u=V-2222y2p(x-a)+y(x+a)+y yQyy=+-v=-2222x2p(x-a)+y(x+a)+yQa2+a,0由可求得驻点的位置为pV，因此包含驻点的流线方程为 Vy+Q2pyyarctg-arctg=0 x-ax+a流线方程可以进一步改写为 2pVyyy =arctg-arctgQx+ax-atan2pVyyy2ay =tanarctg-arctg=222Qx-ax+ax+y-a所

12、以，包含驻点的两条流线方程为 y=0 x2+y2-a2=2aytan(2pVyQ)当a=V=Q2p=1时，包含驻点的流线方程简化为 x2+y2=1+2y tany3-10相距2a、强度为Q的等强度点源和点汇，位于一条与正x轴成45度的直线上，点源和点汇相对于原点对称。试证当a0时，并保持2paQ等于常数M时，此时形成的偶极子的流函数为 y=证明： M2y-x2p2x2+y22222设点源位于2a,2a，则点源与点汇合成流-2a,-2a，点汇位于动的流函数为 y=对式进行变换有 Q2py+22ay-22aarctg-arctg x+22ax-22ay+22pyx+2tan=Qy+1+x+2ay-

13、2ax-22ay-22ax-22a2a(x-y)22a =22222ax+y-a22ay=对式两端取极限，有 2a(x-y)Q arctg2222px+y-ay=lim=-2a(x-y)QQarctg2=22a02px+y-a2p2a(x-y)x2+y2Qa2(y-x)M2(y-x)=-2px2+y22p22x2+y23-11试证在直匀流中，半径为a的圆柱体表面上的压强系数为 GCp=1-4sin2q1+ 4paVsinq设绕圆柱体的环量为G。 证明： 绕圆柱流动的位函数为 a2Gf=V1+2rcosq-q 2pr则圆柱表面的速度分量为 a2f=V1-2cosq=0ur=rr 2u=f=-V1+asinq-G=-2aVsinq-G2qrq2pr2par圆柱表面的合速度为 V=uq=-2Vsinq-G2pa则圆柱表面的压力系数分布为 Vp-pGCp=1-=1-4sin2q1+12rVV4pVasinq2