北京四中抽样方法正态分布.docx
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1、北京四中抽样方法正态分布抽样方法、正态分布 重点、难点讲解: 1抽样的三种方法: 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。三种方法的异同比较见课本P22表。 2了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布,主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 3正态曲线及其性质 正态分布常记作N,其正态分布函数:f(x)=, x(-,+)。 把N(0,1)称为标准正态分布,相应的函数表达式:f(x)=, x(-,+)。 正态图象的性质: 曲线在x轴的上方,与x轴不相交。 曲线关于直线x=对称。 曲线在x=时位于最高点。
2、当x时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近。 当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;“瘦高”,表示总体的分布越集中。 4一般正态分布与标准正态分布的转化 对于标准正态分布,用表示总体取值小于x0的概率,即越小,曲线越=p(xx0),其几何意义是由正态曲线 ,并且N(0,1),x轴,直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知,标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。 任一正态总体N,其取值小于x的概率F(x)=。 5了解“小概率事件”和假设检验的思想。 知识应用举例: 例1为了了解某大学一年级新生
3、英语学习的情况,从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本,如何采用系统抽样方法完成这一抽样? 思路分析:因为总体的个数503,样本的容量50,不能整除,故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体,使剩下的个体数500能被样本容量50整除,再用系统抽样方法。 解:第一步:将503名学生随机编号1,2,3,503 第二步:用抽签法或随机数表法,剔除3个个体,剩下500名学生,然后对这500名学生重新编号。 1 第三步:确定分段间隔k=10,将总体分成50个部分,每部分包括10个个体,第一部分的个体编号为1,2,10;第二部分的个体编号11,12,20;依此类推,第50部分的个体编号491,49
4、2,500。 第四步:在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号,例如是7。 第五步:依次在第二部分,第三部分,第五十部分,取出号码为17,27,497,这样就得到了一个容量为50的样本。 例2对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 列出频率分布表; 画出频率分布直方图; 估计电子元件寿命在100h400h以内的概率; 估计电子元件寿命在400h以上的概率; 估计总体的数学期望。 思路分析:由于样本的取得具有代表性,因此,可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。 解:样本频率分布表如下: 频率分布直方图如下: 从频率分布表可知,寿命在100h400h的元件出现的概率为0.65; 2 由频率分
5、布表可知,寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。 样本的期望为: 所以,我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值为365h。 例3正态总体为=0, =1时的概率密度函数是f(x)=, x(-, +) , 证明f(x)是偶函数;利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。 证明:任意的xR,f(-x)= f(x)是偶函数。 , 任取x1x20,则 , , ,即f(x1)f(x2)。 这说明f(x)在(-,0)上是递增函数, 同理可证f(x)在(0, +)上是递减函数。 例4随机变量服从N(0,1),求下列值。 P(2
6、.55) P(-1.44) P(|1.52) (-x)=1-(x); 思路分析:标准正态分布,可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有:P(axb)=(b)-(a);p(xx0)=1-p(xx0)。 解:P(2.55)=1-p(2.55)=1- P(-1.44)= (-1.44)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。 (1.44)=1-0.9251=0.0749。 (-1.52) P(|1.52)=p(-1.521.52)=(1.52)- =2(1.52)-1=20.9357-1=0.8714。 3 例5设,且总体密度曲线的函数表达式为:f(x)及p(1-x1+)。 , x(-,
7、+)。 求,;求p(|x-1| 思路分析:对照正态曲线函数,可以得出,;利用一般正态总体N(的转化关系,可以求出。 )与标准正态总体N(0,1)概率间 解:整理得:f(x)= p(|x-1|)=p(1-x1+,所以,=1, ,故。 )=F(1+)-F(1-) =-=(1)-(-1)=2(1)-1 =20.8413-1=0.6826。 p(1-x1+2)=F(1+2)-F(1-) =-=(2)-(-1)=(2)+(1)-1 =0.9772+0.8413-1=0.8185。 例6某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走,第一条线路穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间服从正态分布N(50,
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