初等数论知识点汇总.docx

《初等数论知识点汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等数论知识点汇总.docx（37页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、初等数论知识点汇总第一节 整数的p进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为am-1,am-2,L,a0，则此数可以简记为：A=am-1am-2La0。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的m-1次多项式，即A=am-110m-1+am-210m-2+

2、L+a110+a0，其中ai0,1,2,L,9,i=1,2,L,m-1且am-10，像这种10的多项式表示的数常常简记为A=(am-1am-2La0)10。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作A=am-1am-2La0，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还

3、是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示： A=am-1pm-1+am-2pm-2+L+a1p+a0，其中ai0,1,2,L,p-1,i=1,2,L,m-1且am-10。而m仍然为十进制数字，简记为A=(am-1am-2La0)p。 第二节 整数的性质及其应用 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设a,b是给定的数，b0，若存在整数c，使

4、得a=bc则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作b a。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若b|c且c|a，则b|a(传递性质)； (2)若b|a且b|c，则b|(ac)即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知b|a及b|c，则对于任意的整数u,v有b|(aucv)。更一般，若a1,a2,L,an都是b的倍数，则b|(a1+a2+L+an)。或着a|bi，则a|cibi其中i=1nciZ,i=1,2,L,n； (3)若b|a，则或者a=0，或者|a|b|，因此若b|a且a|b，则a

5、=b； (4)a,b互质，若a|c,b|c，则ab|c； (5)p是质数，若p|a1a2Lan，则p能整除a1,a2,L,an中的某一个；特别地，若p是质数，若p|a，则p|a； (6)(带余除法)设a,b为整数，b0，则存在整数q和r，使得a=bq+r，其中并且q和r由上述条件唯一确定；整数q被称为a被b除得的(不完全)商，数r称0rb，为a被b除得的余数。注意：r共有b种可能的取值：0,1，b-1。若r=0，即为a被b整除的情形； 易知，带余除法中的商实际上为，而带余除法的核心是关bb于余数r的不等式：0rb。证明b|a的基本手法是将a分解为b与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分

6、解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。 若n是正整数，则x-y=(x-y)(xnnn-1naa+xn-2y+L+xyn-2+yn-1)； 若n是正奇数，则x+y=(x+y)(xnnn-1-xn-2y+L-xyn-2+yn-1)； (7)如果在等式a=bi=1ik=1nmk中取去某一项外，其余各项均为c的倍数，则这一项也是c的倍数； (8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数； (9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除； 2奇数、偶数有如下性质： (1)奇数奇数=偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数

7、，偶数偶数偶数，奇数偶数偶数，奇数奇数奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数； 奇数的平方都可以表示成8m+1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m+4的形式； 任何一个正整数n，都可以写成n=2ml的形式，其中m为负整数，l为奇数。 若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 3完全平方数及其性质 能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： 平方

8、数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9； 偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1； 奇数平方的十位数字是偶数； 十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6； 不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7； 平方数的约数的个数为奇数； 任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂，若1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,L,c之积是一个正整数的k次方幂，若a,b

9、,L,c两两互素，则a,b,L,c都是正整数的k次方幂。 4整数的尾数及其性质 整数a的个位数也称为整数a的尾数，并记为G(a)。G(a)也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质： G(G(a)=G(a)；G(a1+a2+L+an)GG(a1)+G(a2)+L+G(an)； G(a1a2Lan)=GG(a1)G(a2)LG(an)；G(10a)=0；G(10a+b)=G(b)； 若a-b=10c，则G(a)=G(b)；G(aG(a4k+r4k)=G(a4),a,kN+； )=G(ar),k0,0r1，则a的除1以外的最小正因数q是一个质数。如果qa，则q若p是质数，a为任一整数，则必有p|a或1；

10、 设a1,a2,L,an为n个整数，p为质数，且p|a1a2Lan，则p必整除某个ai； 任何一个大于1的正整数a，能唯一地表示成质因数的乘积； aaa任何大于1的整数a能唯一地写成a=p11p22Lpkk,i=1,2,L,k a； 的形式，其中pi为质数。上式叫做整数a的标准分解式； 若a的标准分解式为，a的正因数的个数记为f(a)，则f(a)=(a1+1)(a2+1)L(ak+1)。 第三节 整数的性质及其应用 基础知识 最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。 定义1.设因为符号称为它们的公约数。的最大公约数，

11、用只有有限多个，我们将其中最大一个称为）表示。显然，最大公约数是一个正整数。 ）1时，我们称与互素。这是数论中的非常重要的一个概念。 同样，如果对于多个的整数，可类似地定义它们的最大公约数。若1，则称互素。请注意，此时不能推出）1。 的）；）等两两互素；但反过来，若两两互素，则显然有的值，即；可以交换，作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有设是不全为0的整数，则存在整数，使得，使得； ； 使等式成立，不妨，从而。 两个整数互素的充要条件是存在整数事实上，条件的必要性是性质的一个特例。反过来，若有设若若，则，则，则，故，即及，于是，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数； ； 若整数；

12、 若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关，对于有，进而有对于乘法封闭。并由此可以推出：若有设。 ，若，则； 设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂，若1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,L,c之积是一个正整数的k次方幂，若a,b,L,c两两互素，则a,b,L,c都是正整数的k次方幂。 定义2.设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数。 a,b,L,c，可类似地定义它们的最小公倍数a,b,L,c 最小公倍数主要有以下几条性质：

13、 与的任一公倍数都是两个整数的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立； ； 若a,b,L,c两两互素，则a,b,L,ca,b,L,c； 若，且a,b,L,c两两互素，则a,b,L,c。 第四节 同余 同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。 基础知识 三个数论函数 对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数x及其性质，除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数它的计算公式。 1 高斯(Gau

14、ss)取整函数 设是实数，不大于的最大整数称为的整数部分，记为；记为。例如：0.50，由性质1.性质2.性质3.设性质4.，则;的定义可得如下性质： ； ； ； ; 称为的小数部分，等等。 和性质5. ； 性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立： 为了描述性质7，我们给出如下记号：若。例如：我们有aaa； ，且，则称为恰好整除，记为等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数a能唯一地写成a=p11p22Lpkk,i=1,2,L,k的形式，其中pi为质数。我们还可以得到：性质7.若，则。 请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的，必存在正整数，使得，因而，故，而

15、且对于时，都有。因此，上式实际上是有限项的和。另外，此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数的计算方法。 2除数函数d(n) 正整数的正因数的个数称为除数函数，记为d(n)。这里给出d(n)的计算公式： d(n)，为素数唯一分解定理中的指数。为了叙述地更加明确，我们组出素数唯一分解定理。 算术基本定理：任何一大于1的整数均可以分解为素数的乘积，若不考虑素数乘积的先后顺序，则分解式是唯一的。 例如：。当一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可以重复出现。例如在上面的分解式中，2出现了三次。把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，我们就可以把大于1的正整数写成此式称为的标准分解式。这样，算术基

16、本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是唯一的。 推论1.若的标准分解式是式，则 应说明不能称为是能不含有某个素因数推论2.设是的正因数的充要条件是： 的标准分解式，其原因是其中的某些） ，若是整数的次方，则也是整数的平方。 也是整数的次方。特别可能取零值在XX年左右给出的。设所得的余数相同，则称为与关于模于模不同余。 ，若对模同余，记作是正整数，若用去除整数，否则，称为与关定义1.设若不然，则称和，则称和对模不同余，记作同余，记作。例如：；，等等。 当时，则称是对模的最小非负剩余。 除得的余数相同。对于由带余除法可知，和对模同余的充要条件是与被固定的模，模的同余式与通常的等式有许多类似的

17、性质： 性质1. 的充要条件是也即。 性质2.同余关系满足以下规律： 若若若若； ，则，； ，则，则，则； ； ； 反复利用，可以对多个两个的同余式建立加、减和乘法的运算公式。特别地，由易推出：若，为整数且，则；但是同余式的消去律一般并不成立，即从是我们却有以下结果： 若，则未必能推出，可，由此可以推出，若，则有，即在与互素时，可以在原同余式两边约去而不改变模。 现在提及几个与模相关的简单而有用的性质： 若若若两两互素时，则有，则，则，则； ； ； ，特别地，若性质3.若，则； 性质4.设是系数全为整数的多项式，若，则。 这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时，可以改变成与它同余的小的

18、数字，使计算大大地简化。如例3。 定义2.设，是使成立的最小正整，则称为对模的阶。 在取定某数后，按照同余关系把彼此同余的整数归为一类，这些数称为模的剩余类。一个类的任何一个数，都称为该类所有数的剩余。显然，同类的余数相同，不同类的余数不相同，这样我们就把全体整数按照模划分为了个剩余类：。在上述的余，可以得到个数，称为模个剩余类中，每一类任意取一个剩的一个完全剩余系。例如关系模7，下面的每一组数都是一个完全剩余系： 0，1，2，3，4，5，6； -7，8，16，3，-10，40，20； -3，-2，-1，0，1，2，3。 显然，一组整数成为模的完全剩余系只需要满足两个条件有个数；各数关于模两两

19、不同余。最常用的完全剩余系是最小非负完全剩余系及绝对值最小完全剩余系。模的最小非负完全剩余系是：0，1，2，,数的全部值。 当为奇数时，绝对值最小的完全剩余系是：;即除数为时，余数可能取到的； 当为偶数时，绝对值最小的完全剩余系有两个： ； 。 以上只是我们个人对同余及剩余类的理解，为了方便大家研究，我们把有关材料上的具体概念给出，希望大家好好地研究： 定义3.设为模的同余类。 来分类，确切地说，若和模同余，则和属同一，每一个这样的类说明：整数集合可以按模类，否则不属于同一类，每一个这样的类为模恰与0,1,，因此模共有中的一个模的一个同余类。由带余除法，任一整数必这个数彼此模不同余，。 同余，

20、而0,1,，个不同的同余类，即例如，模2的同余类共有两个，即通常说的偶数类与奇数类，这两类中的数分别具有形式和。 是正整数，把全体整按对模，其中的余数分成类，相应的，称为模个集合的一个定义4。设记为：剩余类。以下是几条常用性质： 且； 的一个里； ，则的充要条件是称为模。 的完全剩余系，如果对任意有且仅每一个整数仅在对于任意定义5.一组数有一个设是对模为模的剩余，即。换一种说法更好理解： 中任取一个，得个数组的全部剩余类，从每个成的数组，叫做模的一个完全剩余系。 说明：在个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的余系，简称模彼此模完系。 的完系。换句话说，个数是模个数称为模的一个完全剩称为模的一个

21、完系，是指它们的最小非负不同余，例如0,1，2，的一个完系，这称作是模性质：个整数构成模的一个完全剩余系，则与两两对模不同余； 的完全剩余系。 若同时跑遍模第五节 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义一组数，的剩余，即且对于任意的。并定义称为是模，若的既约剩余系，如果对任意的是对模1，则有且仅有一个中和互质的数的个数，称为欧拉函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然中与引理：互素的数的个数，比如说，而对于，。 就是1,2，是素数，则有；可用容斥定理来证。 定理1：定理）设证明：取模互质，故的一个既约剩余系仍与1，则，考虑互质，且有，使得。 ，由于与，于是对每个，这种对应关系是都能找到唯

22、一的一个一一的，从而，。 ，故。证毕。 分析与解答：要证想到中与互质的也是与，我们得设法找出的个数：互质的个相乘，由，由于个数我们1，从而个数，且两两余数不一样，故，而1，故。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：小定理）对于质数设为质数，若是的倍数，则，互质的任一整数，则为质数，则及任意整数有。若不是。 的倍数，则，由此即得。 。 。 由引理及欧拉定理得定理推论：设为质数，是与定理3：定理）设分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找证明：对于，在则好是 从而对 若对于，有，则个数，然后来对应乘法。 中，必然有一个数除以余1，这是

23、因为的一个剩余系去0。 ，使得，。即对于不同的对应于不同的余1，然后有，使，或； ，故，即中数可两两配对，其积除以己配对，这时或 除定义：设。 ，即与它自，外，别的数可两两配对，积除以为整系数多项式，我们把含有。 的一组同余式）称为同余方组程。特别地，当均为的一次整系数 ）称为同多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：，则剩余类余方程组的一个解，写作定理4：设。 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。 定理5：设是一个模解，则同余方程至多有个为次的整系数多项式。 定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。 以上介

24、绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到意想不到的作用，如：，。这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。 下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例： 例3求证：对于任意整数，证明：令由3，5是素数及Fetmat小定理得；而=1，故例4求证：证明：令所以含有因式7|能整除，即。 ，则 。 ； 是15的倍数。所以，则只需证，是一个整数。 是15的倍数即可。 ，则 是整数。 由Fetmat小定理，知13|又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=例5设是直角三角形的三边

25、长。如果是整数，求证：。 ，又因为可以被30整除。 证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则若2 ，2 ，2 c，则所以2|若3 . ，3 ，3 c，因为. ，矛盾！ 矛盾！ ，则，又，矛盾！从而3|若 5 ，5 ，5 c，因为所以或0(mod5)与， 从而5|. 又(2,3,5)=1，所以30|. 下面讲述中国剩余定理的应用 例6证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。 证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的素数组因为于是，连续个数 显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。分别被平方数整除。 ，而考虑同余注：本题的解法体现了中

26、国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。 本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数两两互素，故将中的转化为后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。 例7证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都不是幂数。 分析：我们来证明，存在连续个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幂数。 证明：取个互不相同的素数因为对于因为，考虑同余组显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。 ，故，但由式可知，即在的标

27、准分解中恰好出现一次，故例8 设是给定的偶数，使得且是偶数。 ，且都不是幂数。 证明：存在整数。 使 证明：我们先证明，当为素数幂 若若且： 时结论成立。实际上，能够证明，存在，则条件表明为偶数，此时可取，则与； 中有一对满足要求。 是的一个标准分解，上面已经证明，对每一般情形下，设个存在整数使得且，而由中国剩余定理， 有解， 有解。 ， ， 同余式同余式现不难验证解于是故符合问题中的要求：因，又由知。 ，故注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数的问题，化为为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。 第六节 不定方程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且

28、未知数受到某些的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 基础知识 1不定方程问题的常见类型： 求不定方程的解； 判定不定方程是否有解； 判定不定方程的解的个数。

29、2解不定方程问题常用的解法： 代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； 不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； 同余法：对等式两边取特殊的模，缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； 构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； 无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理： 二元一次不定方程 定义1.形如定理1.方程定理2.若(有解的充要是，且为不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 ； 的一个解，则方程的一切解都可以表示成 为任意整数)。 定理3.元一次不定方程条件是方法与技巧： . ，有解的充要1解二元一

30、次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止； 2解元一次不定方程，.若，则方程无解；若时，可先顺次求出|，则方程有解，作方程组： ， 求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。 3个元一次不定方程组成的方程组，其中，可以消去个未知数，从而消去了个不定方程，将方程组转化为一个元的一次不定方程。 高次不定方程及其解法 1因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；

31、 2同余法：如果不定方程足有整数解，则对于任意，其整数解满，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石； 3不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解； 4无限递降法：若关于正整数的命题小正整数，可以推出：存在，使得对某些正整数成立，设是使成立的最成立，适合证明不定方程无正整数解。 方法与技巧： 1因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会； 2同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过

32、多次尝试； 3不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式； 4无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。 特殊的不定方程 1利用分解法求不定方程将转化为整数解的基本思路： 后，若可分解为，则解的一般形式为，再取舍得其整数解； 2定义2：形如对于方程此时易知的方程叫做勾股数方程，这里，如果，则为正整数。 的情形，从而只需讨论两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。 满足

33、条件，其中的一切解可表示为： 且为一奇一偶。 定理3.勾股数方程推论：勾股数方程的全部正整数解可表示为： 其中数，是一个整数。 是互质的奇偶性不同的一对正整 勾股数不定方程3定义3.方程殊情况，称为沛尔(Pell)方程。 的整数解的问题主要依据定理来解决。 且不是平方数)是的一种特这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程都是整数，体的且非平方数，而的研究，其中。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具，则称使可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解的最小的正整数解为它的最小解。 且不是平方数)必有正整数解，则它的全部解可以表示成： 定理4.Pell方程它的最小解为，且若设. 上面的公式也可以写成以下几种形式： ；. 定理5.Pell方程穷多组正整数解且不是平方数)要么无正整数解，要么有无，且在后一种情况下，设它的最小解为，则它的全部解可以表示为 定理6. 大定理）方程为整数)无正整数解。 费尔马大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在XX年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。