初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx

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1、初二数学上学期知识点和典型例题总结全等三角形 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角， 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC 和ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三： 如图，ABCDB

2、E.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 证明：由ABCDBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 如右图， 求证：AECF 第 1 页 共 16 页 ，。 AECF 2、如图，已知ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度数与EC的长。 思路点拨: 由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ABC中， ACB=180-A-B， 又A=30，B=50， 所以ACB=100. 又因为ABCDEF， 所以ACB=DFE， BC=EF。 所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=F

3、B=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 如图所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90. 求证：CDAB；EFAC. (1）因为ACDECD， 所以ADC=EDC. 因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90. 所以CDAB. (2）因为CEFBEF, 所以CFE=BFE. 因为CFE+BFE=180， 所以CFE=BFE=90. 因为ACB=90,所以ACB=BFE. 所以EFAC. 第 2 页 共 16 页 类型二：全等三角形的证明 3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFBCE 思路点拨: 欲证ADFBCE，由已知可知已具备一边

4、一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过ACBD而得 解析：ACBD(已知) AB-BDAB-AC(等式性质) 即 ADBC 在ADF与BCE中 ADFBCE(SAS) 总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形， (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三： 如图，已知ABDC，ABDC，求证：ADBC ABCD 34 在ABD和CDB中 ABDCDB(SAS) 12(全等三角形对应角相等) ADBC(内错角相等两直线平行) 如图，已知EBAD于B，FCAD于C，

5、且EBFC，ABCD 求证 AFDE EBAD(已知) EBD90(垂直定义) 同理可证FCA90 EBDFCA ABCD，BCBC ACAB+BC 第 3 页 共 16 页 BC+CD BD 在ACF和DBE中 ACFDBE(SAS) AFDE(全等三角形对应边相等) 类型三：综合应用 4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD. 思路点拨: 要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。 解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE 因为AD为ABC的中线， 所以BD=C

6、D. 在ACD和EBD中， 所以ACDEBD(SAS). 所以BE=CA. 在ABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD. 总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。 举一反三： 已知：如图，在RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD的延长线于E， 求证：BD=2CE. 分别延长CE、BA交于F. 因为BECF,所以BEF=BEC=90. 在BEF和BEC中， 第 4 页 共 16 页 所以BEFBEC(ASA). 所以CE=FE=CF. 又因为BAC=90,BECF. 所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90. 所以BDA=BFC.

7、 在ABD和ACF中， 所以ABDACF(AAS) 所以BD=CF.所以BD=2CE. 5、如图，ABCD，BEDF，BD， 求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF 思路点拨: (1)直接通过ABECDF而得，(2)先证明AEBCFD，(3)由(1)(2)可证明AEFCFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等 解析： (1)在ABE与CDF中 ABECDF(SAS) AECF(全等三角形对应边相等) (2)AEBCFD(全等三角形对应角相等) AECF(内错角相等，两直线平行) (3)在AEF与CFE中 第 5 页 共 16 页 AE

8、FCFE(SAS) AFECEF(全等三角形对应角相等) 总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件 举一反三： 如图，在ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DFBD，延长AB边上的中线CE到G，使EGCE，求证 AFAG 在AGE与BCE中 AGEBCE(SAS) AGBC(全等三角形对应边相等) 在AFD与CBD中 AFDCBD(SAS) AFCB(全等三角形对应边相等) AFAG(等量代换) 6、如图 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F 求证：AF平分BAC 思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于ADB、AEC都是直角

9、，可证得RtADFRtAEF，而要证AD=AE，就应先考虑RtABD与RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC是公共角，可证得RtABDRtACE 解析：在RtABD与RtACE中 第 6 页 共 16 页 RtABDRtACE(AAS) AD=AE(全等三角形对应边相等) 在RtADF与RtAEF中 RtADFRtAEF(HL) DAF=EAF(全等三角形对应角相等) AF平分BAC(角平分线的定义) 总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。 举一反三： 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 根据题意，画出图形，写出已知，求证 已知：如图，在A

10、BC与ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于 D且 AD=AD 求证：ABCABC 证明：在RtABD与RtABD中 (HL) RtABD RtABD B=B(全等三角形对应角相等) 在ABC与ABC中 第 7 页 共 16 页 ABCABC(SAS) 已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD C=D=90 ABD、ACB为直角三角形 在RtABD和RtABC中 AD=BC 在AOD和BOC中 RtABDRtABC(HL) AODBOC(AAS) OD=OC 7、ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DEAB，DFAC，CGAB垂足分别是

11、E、F、G. 试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。 思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：板书此种方法 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 第 8 页 共 16 页 四边形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MC=DF MDCFCD DE+DF=GM+MC=CG 总结升华： 方法二作CMED交ED的延长线于M 方法三使用等积转化 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

12、 引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线第 9 页 共 16 页 上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三： 三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。 证明的过程使用三种证明方法，包括：截长法补短法面积法 轴对称 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1线段 2角 3直角三角形 4半圆，其中一定是轴对称图典例1下列几何图形中，形的有 A1个 B2个 C3个 D4个 2正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴 考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称 典例：1、如图，RtABC，C=90,B

13、=30,BC=8，D为AB中点， P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是 2、已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分DCE，P为射BC上一点，Q为 CF上一点，连接AP、PQ.若AP=PQ，求证APQ是多少度 考点四、线段垂直平分线的性质 线段是轴对称图形，它的对称轴是_ BPAFQ线EC图第 10 页 共 16 页 线段的垂直平分线上的点到_相等 归类回忆角平分线的性质 角是轴对称图形，其对称轴是_ 角平分线上的点到_相等 典例1、如图，ABC中，A=90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数。 2、 如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP

14、并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC BEAACPDADBDCBEC3、如图,DE是DABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则DEBC 的周长为 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米 4、 如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则AM= 5、如图，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分线交 BC于D. 过C点作MABPDCCGAB于G，交AD于E. 过D点作DFAB于F.下列结论：A CED=CDE； SDAECSDAEG=ACAG；ADF=2ECD； SDCED=SDDFB；CE=DF. 其中正确

15、结论的序号是( ) A B C D C E G F B D 第 11 页 共 16 页 考点五、等腰三角形的特征和识别 典例1、如图，ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE AB交AC于E，DFAC 交AB于F，则四边形AFDE的周长为_ 。 ADD F2、 如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EEF过B且EFBC，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则AEF周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且 AB=BC=CD=ED=EF,A=20,则FEB=_度 4、已知等腰三角形一腰上的高与另

16、一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_ 5、ABC中， DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若DAE=20，则BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 oCD F B A C E N M 7、已知，在ABC中，ACB=90，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则DCE = 度. 第 12 页 共 16 页 A8、如图：在ABC中，AB=AC，ADBC， DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DE=DF。 EBDFC9、如图,E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，D

17、E交BC于点F， DF=EF，BD=CE. 求证：ABC是等腰三角形. B D F C E A 考点六、等边三角形的特征和识别 等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_ 三个角相等的三角形是_三角形 有一个角是60的_三角形是等边三角形 第 13 页 共 16 页 特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_ 典例1、下列推理中，错误的是 ( ) AABC，ABC是等边三角形 BABAC，且BC，ABC是等边三角形 CA60，B60，ABC是等边三角形 DABAC，B60，ABC是等边三角形 2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足

18、为M。 求证：M是BE的中点。 考点七、30所对的直角边是斜边的一半 典例 DBA D B E M C 1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直 于横梁AC，AB=8m，A=30，则DE等于 AECA1m B2m C3m D4m 2、如图：ADC中，A = 15，D=90，B在AC的 垂直平分线上，AB =34，则CD = ( ) A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对 3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为120，求桌面到地面的距离是多少？ AEF

19、第 14 页 共 16 页 CADBAOC乙DBBDC第4题图 4、如图，AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，则DE+DF= 5、在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E如果DE=1，求BC的长 BEA甲 FC实数 例1、下列各数是否有平方根，请说明理由 2 0 2 -0.01 2 下列说法对不对？为什么？ 4有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0，a有两个平方根，它们互为相反数 解： 2 和0 2有平方根，因为2 和0 2是非负数。- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。 只有对，因为一个

20、正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 例2、求下列各数的平方根： (1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例3、设 A. ，则下列结论正确的是 B. 第 15 页 共 16 页 14169 C. D. 解析：因为，所以选B 1）1.25的算术平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_. 1）；.2）-3. 3） ， ，_， _，求下列各式中的 x=4或x=-2x=-4 例4、判断下列说法是否正确 的算术平方根是-3； 的平方根是15. 当x=0或2时，解析：错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故故表示225的算术平方根，即的平方根是. =，显然此式无意义，发生错误的=0. =15.实际上，本题是求15的平方根，注意到，当x=0时， 原因是忽视了“负数没有平方根”，故x0，所以当x=2时，x 第 16 页 共 16 页