初三数学二次根式.docx

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1、初三数学 二次根式Xupeisen110 初三数学 初三数学 二次根式 一、教 法 建 议 抛砖引玉 本章及本单元主要内容是二次根式的性质与运算.在教学时，以上一章学的平方根，算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根，算术平方根的方法为基础，先给出了二次根式的概念，自然过渡到新一章的课题，自始至终围绕着二次根式化简与运算，由浅入深地讲解二次根式的性质及有关概念：一、讲授积的算术平方根的性质，进而完善了二次根式的化简方法，同时，还要讲述简单的二次根式的除法，并初步引出分母有理化的概念与方法.从这些初步知识出发，引导学生归纳出最简二次根式的概念与化简二次根式加减方法.然后，从分配律出发，引出

2、二次根式加减，进而结合同类二次根式的概念给出了二次根式加减的方法.二、在基本的乘、除与加减法的基础上，讲述混合运算，包括进一步介绍分母有理化的方法.三、给出一个数的算术平方根的性质，在学习最后一个性质之前，算术中出现的字母，一般都只表示正数，在讲授最后一个性质时，则适当增加一些不限制字母只表示正数的练习，以进一步巩固二次根式的化简与运算.在教学中，要遵循以旧引新，不断扩充，层层递进，使所学新知识不断深化、强化、熟悉化，边讲边练，讲练结合，在实践中巩固，在实践中提高，以收到实效. 指点迷津 二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础，其中最重要的概念是最简二次根式.二次根式的性质是二次根式化简

3、与运算的依据，在进行二次根式的化简与运算时，先将式子中二次根式化简，注意运算顺序.二次根式乘、除运算中，使用公式时，要注意公式成立的条件，运算结果通常化为最简二次根式.只有明确a，a2的成立条件，它们2之间的区别与联系，才能在二次根次化简中正确使用.对本章中被开方数的规定要理解熟记，正确地进行二次根式化简与运算. 二、学 海 导 航 思维基础 基础知识是思维的源泉，掌握好基础知识能拓宽思路.请回答下列问题，以巩固基础知识. 1.二次根式的有关概念 式子a叫做， ，. 最简二次根式的条件是 和 . 叫做同类二次根式. 叫做到为有理化因式. 叫做分母有理化. 2.二次根式的性质： Xupeisen

4、110 初三数学 若a0，则(a)2= . 2a=a= (a0) (a0).ab=ab成立的条件是 . aa，则a ，b . =bb3.二次根式的运算： 二次根式加减法的步骤是 ，后合并 . 二次根式乘法的运算公式是 . 二次根式的除法通常把算式写成公式的形式，通过分母有理化进行运算，有时也可约分或利用公式 运算. 学法指要 一、例1.x取什么实数时，下列各式有意义. 3-4x； 3x-2； 2(x-3)； 3x-4+4-3x. 1.要使二次根式有意义，被开方数有什么条件限制？请叙述.2.怎样求不等式或不等式组的解？ 要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，遵循这一原则，可找到思路. 3时，

5、3-4x有意义； 42 当3x-20，即x时，3x-2有意义. 3当3-4x0，即x 不论x取何实数，总有0， 2 x取任意实数，(x-3)有意义. 2 3x-40 由 ,得x= 4-3x0 当x=4. 34时 33x-4+4-3x有意义. 例2.计算 Xupeisen110 初三数学 ； 23 4(32)2 (ab)2. 1.(a)2=a，a有什么条件限制？2.a=(a)2，a有什么条件限制？ 根据公式(a)2=a进行计算即可. (7)2=7. 33 =44 (32)2=32(2)2=92=18. (ab)2=a2(b)2=a2b. 例3.在实数范围内分解因式： 2342x-5； (2)x-

6、2x； x-6x+9. 1.在有理数范围内分解因式通常使用的方法有哪些？在实数范围内这些方法还使用吗？2.a=(a)2中a有什么条件制约？ 根据以前学习的因式分解方法，再结合a=(a)2(a0)的公式，便可对上述各例进行因式分解了. 原式=x2-(5)2 =(x+5)(x-5). 原式=x(x-2) =xx2-(2)2 =x(x+2)(x-2). 原式=(x-3) =x2-(3)22 =(x+3)2(x-3)2. 二、例1.化简 2222Xupeisen110 初三数学 9144； 0.524； 132-122； (-8)(-25). 1.二次根式的乘法：ab=ab.a，b有什么条件？这个公式

7、逆向也成立吗？2.如果一个二次根式的被开方数中有因式，可以开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，可将这些因式开出来，从而将二次根式化简，你说对吗？ 根据二次根式乘法：ab=ab进行计算. 9144=32122=312=36. 0.524=0.5226=6. 2213-12=(13+12)(13-12)=251=5. 825=22252=102. (-8)(-25)=例2.计算 3y3x29xy(x+y)； ； xy323xx3+2x2y+xy2； baxbx-2ab-x-. axa1.单项式乘以单项式的法则内容是什么？2.单项式乘以多项式的法则的内容是什么？3.被开方数是多项式应先因式分解吗

8、？4.ab=ab这一公式成立吗？ 本例被开方数有单项式或多项式，有多项式必须考虑因式分解.被开方数相乘的运算必须按单项式乘以单项式或单项式乘以多项式的运算法则进行，然后再应用公式ab=ab正、逆进行思考例可求得结果. 3239xy(x+y)=32x2y2(x+y)2x(x+y) =3xy(x+y)x(x+y). 3y3x23y3x2=32x=3x. xyxy322xx+3xy+xy=xx(x2+2xy+y2) Xupeisen110 初三数学 =-xx2(x+y)2=x(x+y)=x2+xy. bax-bx-2ab axa =(-x)(-)(-2ab)axbxbx aab2x2 =-2ab 2

9、a2 =-2ab2bx=-2ab2x. a三、例1.化简： 1717； -4； 95102a2b2ab(-). c52c31.商的算术平方根aa中a，b有什么条件限制？2.被开方数是带分数，=bb通常要化成假分数吗？3.被开方数相除时用以一个数等于乘以这个数的倒数进行转化为乘法运算，你说对吗？ 本例只要按aa这一公式思考，进行计算即可. =bb17164=. 999-417 510 =-217=-6. 510 2a2b2ab-3c52c2a2b2ab2a2b22c3 =- 3=-55abc2ccXupeisen110 初三数学 =-4ab2=-ab. 2cc例2.对下列各式分母有理化. 148

10、；-4337；2x8x3y；2. a-b1.什么叫做分母有理化？2.在进行分母有理化之前，应先对二次根式化简吗？3.分式的基本性质请你叙述出来？4.=a，对于a有什么限制条件？ 2把分母中的根号化去，叫做分母有理化.弄清楚分母有理化的意义后，便好入手解决了.但分母有理化前，应先对二次根式化简. 1.148=1423=143=3433=3. 122.-43372x-437377=2x=-421. 21=2x2x2xy=2x2x2xy=12xy3.8xy32x2xyy2xyy=22 =y. 2xy4.2a-b=2a-ba-ba-b=2a-ba-b例3.计算 1.122718； 2.48bab5(-

11、6a3b)； a3a1.二次根式的乘除是系数相乘除，被开方数相乘除，你说对吗？2.ab=ab与ab=a中的a、b所限制的条件一样吗？若不一样，请指出它们的b限制范围. 对于二次根式的乘除混合运算，必须系数相乘除，被开方数相乘除.再结合二次根式的乘，除公式进行.结果必须化成最简形式. 1.122718 =12118=42=22. 27Xupeisen110 初三数学 2.48bab5(-6a3b) a3a48b6)ab5a3b a3a43a6)ab5a3b a8b =(- =(- =-955ab a2 =-9abab. 四、例1.把下列各式化成最简二次根式： 1.-63； 2.2.50.48；

12、411(ab) -22ab3ab1.请你说出最简二次根式的概念？2.最简二次根式应满足两个条件，你知道吗？请说出.3.被开方数为带分数或小数，必须将带分数化成假分数，小数化成分数，你说对吗？请思考.4.被开方数是多项式，需因式分解，使之化成因式积，你注意到了吗？ 要理解最简二次根式的概念，并熟练把握它满足的条件，在这两个前提下进行化简，便可顺利求得准确结果. 1.-63273=-=-3. 4424851252232.2.50.8=2.5=3. 21002252511b2-a213.ab2-2=ab=abb2-a2=b2-a2(ab). 22ababab例2.下列各式中，哪些是同类二次根式. 3

13、411110x2-y2b32. 318,-,-32,7,52,3x-xy,2,343ab2827x+ya1.什么叫同类二次根式？2.判断几个二次根式是否为同类二次根式，要首先看其是否为最简二次根式，如果不是，应该怎么办？请说出你的办法？3.同类二次根式与根号前面的系数有无关系？ 什么叫同类二次根式，这一概念必须理解，才能找出哪些二次根式是同类二次根式，再看是否是最简二次根式，若不是，必须先化简，再找出同类二次根式，本例必须遵循这一原则进行思维，才能找到思路. Xupeisen110 初三数学 318=3322=92 3432231 -=-=-3 243423 由上可知：318,-例3.计算：

14、11是同类二次根式. 32,7283112-3-8-3； 1.1422432.aa11+4b-b. ab21.二次根式的加减，首先一步应做什么？请说出.2.合并同类二次根式与合并同类项相类似吗？3.二次根式的加减法与整式加减法完全类似，你说对吗？ 二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并即可. 1.原式=143112 -3-8+32243312-2+6 2231 =(7+1)6-(+)2 22 =76- =86-22. 2.原式=a1a1 +4b-+ba2ba+2b-12 =a+b 2 =(1-)a+(2+1)b =1a+3b. 2例4.把下列各式分母有理化：

15、 Xupeisen110 初三数学 1.22-1a-b； 2.5+35-3ab； 3.a-b； 4.ab-ab22. 1.请说出分母有理化的意义.2.什么叫互为有理化因式？3.分母有理化通常采用哪些方法？4.请写出平方差公式. 分母有理化的概念必须理解，互为有理化因式必须熟知，以此找出有理化因式，此类问题便可“降服”. 1.22-1=2(2+1)(2-1)(2+1)=2+2(2)-1=22 2.5+35-3(5+3)(5+3)(5-3)(5+3)(5+3)2(5)-(3)22(5)2+253+(3)2 = 5-3 =8+2152(4+15) =22 =4+15. 3.a-ba-b=(a-b)(

16、a+b)(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)(a)-(b)22 =(a-b)(a+b)=a+b. a-b 又解:原式=(a)2-(b)2a-ba+b. =(a+b)(a-b)a-b =4.原式=abab-ba=ab(ab+ba)(ab-ba)(ab+ba) =abab+ba 22ab-ab =ab(ab+ba)ab(a-b)Xupeisen110 初三数学 =ab+ba. a-b五、例1.化简 21.8xy.； 2.(y-x)x.； 22x-2xy+y3.a2+6a+9+a2-10a+25. a 21.a=a= 是二次根式的性质，你会应用吗？2.你知道吗？应-a (a0) 用公式a2要特

17、别注意符号.3.如何脱去绝对值的符号？ 在没有学习a2的化简之前，被开方数均是非负数，而a也非负数.但a2便不一定是非负数，所以在应用此公式时，要特别注意a的符号，只有确定a的符号，才能正确地运用好公式a2进行化简，只要把握住这一点，此类问题便可迎刃而解. 1.原式=2x2y=-2xy. 2.原式=(y-x)x(x-y)2 =(y-x)1x-yx =-y-xx y-x =-x. 3.原式=(a+3)2+(a-5)2 =a+3+a-5 -3a0已隐含告知a-10、a1，这一隐含条件的发现，为解决本例扫清障碍，由a-1隐含条件知a1a-10a-1a-10 (a-1)-1-1 =-(1-a)a-1a

18、-12 =-(1-a)1 1-a =-1-a. 思维体操 例1.对下列化简并求值： ab+bab1b-.其中a=-35,b=3+5. a+bab-ba+ba-b1.a=(a)2，对a有什么限制？2.换元法在二次根式化简中是否能用到？你考虑过吗？3.什么叫整体思维方法？ 逆向思维，出奇制胜. 观察本例系根式混合运算，它将综合考查所学知识，在化简过程中力求其“简”，则要逆用公式：a=(a)2. 例如：ab+baa+b=(a)2b+(b)2aa+bab(a+b)a+b2 =ab. 总之，因势利导，抓住“简”字“精髓”，便可找到本例求解的捷径. (a)2b+bab1-原式= 2a+ba+bab-(b)

19、 b(a)-(b)22Xupeisen110 初三数学 =ab(a+b)b1- a+ba+bb(a-b)b(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b)11 ab-a+bba-b =aba+b-a+b(a+b)(a-b) (a+b)(a-b)b1b =ab2b =2ab. 当a=3-5,b=3+5时， 原式=2(3-5)(3+5) =23-(5) =22 =4. 又解：换元法开道，变隐为明. 设a=m,b=n,则a=m,b=n. 于是本例可化为： 2222m2n+mn2 m+n1nm -222m+nm-nmn-n=mn(m+n)n1n-(m+n)(m-n) m+nn(m-n)m+n11(m+n)

20、(m-n)-) m-nm+nn=mn(=mnm+n-m+n(m+n)(m-n) (m+n)(m-n)n1=2mn. n=mn2n即原式=2ab Xupeisen110 初三数学 当a=3-5,b=3+5时， 则ab=(3-5)(3+5)=4 原式=24=22=4. 这道例题逆用公式“a2=a”，使原来各种隐蔽关系明显暴露，这样便可利用因式分解转化为新算式，提供了约分的契机，使本来很繁琐的算式变得十分简洁，出奇制胜.逆向思维的方法得到充分显示.“又解”采取换元法开道，变根式运算为分式运算，各种隐蔽关系被“曝光”，再进行化简已是轻车熟路.可见，逆向思维，换元法是重要数学思维方法，它涉及初中数学各个

21、分支，在二次根式化简中，功不可没.一定要娴熟驾驭它，才能在遇到具体问题时，应用自如，左右逢源. 扩散思维是创造思维重要组成部分，培养训练扩散思维有利于创造思维发展.以下进行扩散. 例2.化简并求值： a+abab+b+ab-ba-ab 其中a=2+3,b=2-3. 逆用公式(a2=a 分而治之 原式=(a)2+abab+(b)2+ab-(b)2(a)-ab2 =a(a+b)b(a+b)ab+ba. +b(a-b)a(a-b) = =a+bab 当a=2+3,b=2-3时 原式=2+3+2-3(2+3)(2-3) =4. 常规方法分母有理化. 原式=(a+ab)(ab-b)(ab+b)(ab-b

22、)+(ab-b)(a+ab)(a-ab)(a+ab)Xupeisen110 初三数学 =aab-babaab-bab +22ab-ba-ab =ab(a-b)ab(a-b) +b(a-b)a(a-b)abab +ba = =ab(a+b). ab 当a=2+3,b=2-3时， 原式=4. 通分开道，旗开得胜. 原式=(a+ab)-(a-ab)(ab+b)(a-ab)a2-ab+ab-b2aab-bab(a+b)(a-b)ab(a-b)a+bab. +(ab-b)(ab+b)(a-ab)(ab+b) = = = 当a=2+3,b=2-3时 原式=4. 换元法相助，一路春风 设a=m,b=n,则a

23、=m2,b=n2 则原式可变为： m2+mnmn-n2+ mn+n2m2-mn =m(m+n)n(m-n)+ n(m+n)m(m-n)mn+ nm =Xupeisen110 初三数学 m2+n2 = mn 即原式=a+bab. 当a=2+3,b=2-3时 原式=4. 本例求解过程中，采用四种方法：逆和公式、分母有理化、通分、换元法等，各有千秋，在二次根式运算过程中，这些方法都常用，但也不是金科玉律，二次根式运算变化多端，必须因题而异，灵活选用，才能收到好的效果.请看下例. 例3.化简:(1+3)(3+5)1+23+5+(5+7)(7+3)5+27+31.本例应用上述几种方法还可以吗?2.几种方

24、法“大联合”，各扬其长，是否可以攻克呢？ 观察：通过仔细观察，可发现各项分子之和与分母之和相等，且为两数之积之和的比. 确定战略战术：通过观察的特点，可确定分而治之，试探拆项：23=3+3，27=7+7探索新的解题渠道. 创新的战术：根据题目特点，采取分子与分母倒置运算，便可确(1+3)(3+5)1+23+5定战术的实施，采用一分为二法，各个击破. 整体换元：在学习单一项换元的基础上，进行拓展整体换元，可创奇迹，给个惊喜. 本例采取拆项，分子分母颠倒，整体换元等一系列的探索，终于攻破这道难题，下面沿探索之路前进！ 设x=1+23+5(1+3)(3+5) =(1+3)+(3+5)(1+3)(3+

25、5)13+5+11+3 = =5-33-1+ 225-1 2 =Xupeisen110 初三数学 则 122(5+1) =x5-1(5-1)(5+1)5+1 2设y=5+27+3(5+7)(7+3)同法可求： 13+5 =y2故原式=11+ xy =5+13+5 +22 =2+5. 这道难题被攻克了，使我们体会到在科学道路上，要勇于探索，大胆创新，才能找到标新立异的解法，才能有所发明创造.然而探索，创新必须有扎实的基础知识，不然，将是无源之水.本例在具体探索过程中，用到整体换元，分母有理化，倒数关系等，有了扎实基础，在学海中游弋探索将会一帆风顺.请参考下题. 化简： 三、智 能 显 示 心中有

26、数 本单元要了解二次根式，最简二次根式，同类二次根式概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.要熟练掌握二次根式的性质： (6+3)(3+2)6+43+32. ab=ab aa =bba2=a= a(a0). -a(a0)并会正、逆应用.对二次根式加、减、乘、除的运算法则要掌握，会用它们进行运算.了解分母有理化的概念和作用，会将分母中含有一个或二个二次根式的式子进行分母有理化.Xupeisen110 初三数学 对这一部分内容，必须认真学好，不断提高的思维能力，适应灵活多变的二次根式运算，计算能力才能得到进一步锤炼. 动脑动手 1.若a0，化简二次根式-ab3= . 8.当0x1时，x4-2x3+

27、x2+x2= . 9.计算：121a(-2175a3)= ； 67322)0.0256(0.5)10= . 3 (-Xupeisen110 初三数学 10.已知31.732，求12的近似值为 . ab311.把化成最简二次根式为 . ba312.(5-1)2= ，2-3= . 13.如果x满足112x2，化简x-2+x-x+的结果是 . 2414.(3+2)1999(3-2)2000= . 15.已知a-b=3+2,b-c=3-2，则2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= . 二、选择题 16.使分数式12-x有意义的x值为. x4的正实数 x4的非负实数 x0的实数 x2的实数. 17.

28、下列各等式中，正确的是. 81-16=9-4 -3-3 =-4-2-33-33 . =-42-42218.如果x-2，那么-(x+2)的值等于. x+2 (B)a为正实数 a为非负实数 a为零 19.若(a)2=a2成立的条件是. a为一切实数 a为正实数 a为非负实数 a为零 20.二次根式26，11b212t,7,x2+4,a2-b2,m2+2mn+n2中最 57a+1简根式有. 1个 2个 3个 4个 21.当ab1，下列式子正确的是. 1110 aa aaa26.若a0，b0，则-ab2等于. ab -ab -a-b a-b x3y-4x2y2+4xy327.当x0 ab0且b0 ab

29、0且a0 29.把1中称到根号内，正确的结果是. b-a a-b b-a -a-b -b-a 30.等式911123anm11=3,2=,=23a,+=(+)n+m中错 2242424mnmn误的有. 一个 二个 三个 四个 三、解答题 31.计算：(12+2)(3-18)+301. 6Xupeisen110 初三数学 xxx2x232.当x=2,y=1+3时，求x-y-x2-2xy+y2x+y-x2-y2. a3-b3a-b33.设a0，b0，且ab，化简：-. 2a+aba+ba-ab3aa+bb2-ab-234.当a=3，b=2时，求代数式2. 22a+2ab+ba-b35.化简再求值：

30、2x2+y2+yx其中+2222yyx+y+xx-x+yx2+y2x2+y2x=3-2，y=3+2. 1-2m+m2m2-2m+136.当m=时，求的值. -2m-1m-m2+3137.已知a(a+b)=3b38.已知a-5b+ab2. a+4b，其中ab0，求3a+b+abx-bx-a=2-，其中a、b是实数.且a+b0，把(x+1-x)(x+1+ abx)-1+(x+1+x)(x+1-x)-1. 39.已知a-3+a+b-1=0，求(a-b)2和b的值. a40.若a=2+1，求12+2+2+1112+1a参 考 答 案 动脑动手 1.略 2.原式=4a-b，求值为8 3.原式=2(x+y

31、)x-yXupeisen110 初三数学 4.原式=11(a+)2-(a-)2 aa11-a- aa13+2=3-2 =a+ a= 11=3+2 a3-211=230,a-=-220 aa11 原式=a+a- aa a+ =2a=23-22 亦可这样运算： 原式=23-22 =23-22 5.5+15-1=(5+1)2(5-1)(5+1)=6+25 4 =3+54+5-15-1=2+ 2225-1 2故a=2,b= 创新园地 1.证明：ax1+bx1+c 2-b+b2-4ac-b+b2-4ac =a+b+c 2a2ab2-2bb2-4ac+b2-4ac-b2+bb2-4ac+c =a22a4a2Xupeisen110 初三数学 b2-bb2-4ac-2ac-b2+bb2-4ac