初一 整式运算综合复习.docx

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1、初一 整式运算综合复习初一 整式运算综合复习 第一讲 整 式 运 算 整 式 一.本讲知识要点: (一)单项式: 1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。如mn是数、字母m、n的积，它是单项式，但不是单项式，因分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。，a，b都是单项式。在a2b， ，2x2+3x+5中，只有a2b是单项式。 2.单项式的系数:单项式中，数字因数 叫做这个单项式的系数。如数是5 。 的系数是 ，5a3的系3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的 和 叫做这个单项式的次数。 如: x3y2的次数是x的指数 3 与y的指数 2 的和为 5

2、，即x3y2的次数是 5 ； (二)多项式: 1.几个单项式的和叫做 多项式 。在多项式中，每个单项式叫做多项式的 项 ，其中，不含字母的项叫做 常数项 。 如：多项式-2x+3中，-2x，3是它的项，3是常数项；多项式5x2-3x+4中，5x2，-3x，4是它的项，4是它的常数项. 2、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 如:；m2+mn+n2是 二次三项式 ； x4y+xy4是 五次二项式 。 3. 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂 排列

3、。 (三)整式:单项式和多项式统称为整式。即练习: (一)判断正误: 如:-3，a2b，a2-b2都是整式。 1.单项式-的系数是-，次数是n+1。 ( ) 2.多项式6x3-4x2y+3xy2-y3的项是6x3，4x2y，3xy2，y3。 ( ) 3.多项式ab3-a2b2-3a3b+2是按a的升幂排列的。 ( ) 4.m2n没有系数。 ( ) 5.-13是一次一项式。 ( ) (一)判断正误: 1. 2. 3. 4. 5. 整 式 加 减 初一整式运算复习 1 初一 整式运算综合复习 一、本讲知识重点 1同类项：在多项式中，所含字母 相同，并且相同字母的次数 也相同的项叫做同类项。几个常数

4、项也是同类项。 例如，在多项式3m2n+6mn2-mn2-m2n中，3m2n与-m2n两项都含字母m,n，并且m的次数都是2，n的次数都是1，所以它们是同类项； 2.合并同类项的法则是：同类项的系数 相加，所得的结果作为系数 ，字母和字母的指数 不变。 例如，合并下式中的同类项：-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9= -10x2y-xy2-5 3整式加减运算 整式加减的一般步骤： 如果遇到括号，按去括号法则先去括号； 合并同类项 结果写成代数和的形式，并按一定字母的降幂排列。 整式加减的结果仍是整式。 二、练习 (3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6) = 7x2-7xy+

5、1 幂的运算 一、学习指导 1同底数幂的乘法：aman=am+n (m, n都是正整数) 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题： 先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。 指数都是正整数 这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即amanap.=am+n+p+. (m, n, p都是自然数)。 不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计

6、算，即底数不变指数相加，如： x5x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加， 如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。 练习 (x-y)3(y-x)(y-x)6 =- (x-y)10 x5xn-3x4-3x2xnx4 =-2x6+n 2幂的乘方(am)n= amn ，与积的乘方(ab)n=anbn (1)幂的乘方，(am)n=amn，(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点： 幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。如(x+y)23的底数为(x+y)，是一个多项式， (x+y)23=(x+y)6 要和同底数

7、幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：(a3)4=a7； (-a)34=(-a)7； a3a4=a12 初一整式运算复习 2 初一 整式运算综合复习 (2)积的乘方(ab)n=anbn，运用法则时注意以下几点： 注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3 如(a1a2an)m=a1ma2manm 练习：(a2m)n (am+n)m (-x2yz3)3 -(ab)8 3. 同底数幂的除法： 同底数幂的除法：aman=am-n (a0, m, n均为正整数，并且mn) 同底数幂的除法是整式除法的

8、基础，要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这里底数a是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了。又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又规定mn。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。 同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于1，即amam=1,m是任意自然数。a0, 即转化成a0=1(a0)。 同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即m-n0时，指数部分为负整数则转化成负整数指数幂，再用负整数指数幂法则。 要注意和其它几个幂的运算法则相区别。 还应强调：aman=am+n与

9、am+nan=am的互逆运算关系，同时指数的变化也是互逆运算关系，应沟通两者的联系。 零指数：a0=1 (a0) 条件是a0，00无意义。 它是由aman=am-n当a0，m=n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数与除式的指数相等时即转化成零指数幂，它的结果为1。 负整数指数幂：a-p=(a0, p是正整数） 当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义。 它是由aman=am-n 当a0, mn时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数小于除式指数时即转化成负指数幂。a-p结果为ap的倒数，也就是说一个不为零的数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，也可以等于这个

10、数倒数的正整数指数幂，即a-p=(为自然数） ap=()-p与a-p=()p这两个等式反映出正整数指数幂与负整数指数幂的相互联系，这两个)p (a0,p指数幂的互化，即负整数指数幂用正整数指数幂来表示，或正整数指数幂用负整数指数幂来表示，只要将它们的底数变倒数，指数变相反数即可，然后再进行计算。例如(的倒数，再将指数-2变成它的相反数2再进行计算，即：()-2=()2=)-2先将底数。又如：变成它可进行这样的变形：先将底数-1，也就是变成它的倒数x，再将x的指数1变成它的相反数 =x-1。以上这样的变形可用四个字来概括即：“底倒指反”。 初一整式运算复习 3 初一 整式运算综合复习 练习：(1

11、) (2a+b)5(2a+b)3 (2) x8(x4x2) 整式的乘法 一、学习指导 1单项式乘法： 利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法。对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点： 积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值。 相同字母因数相乘，是同底数幂的乘法。 要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉。 单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。 字母因式的底也可以是一个多项式，如：-2a(x+y)24ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用。例如：ab2(-2a2b)

12、(-4abc)=a4b4c 练习：(-3a2b)(-a2c2)4c3 -3(a-b)22(a-b)3(a-b) 2单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：m(a+b+c)=ma+mb+mc，实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。 单项式与多项式相乘的积仍是一个多项式，而且积的项数和乘式中的多项式的项数相同，在运算过程中不要漏乘造成漏项。 运算时要注意符号，因为多项式由若干个单项式组成，其中每一个单项式都包括前面的符号，因此要注意 确定积中每一项的符号。 最后结果一般按某一字

13、母的降幂或升幂排列。 练习：(1)ab(-a2b+b-3ab) (2) 6xy-3(xy- x2y)3xy 3多项式与多项式相乘 多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。 如：=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd. 为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。 初一整式运算复习 4 初一 整式运算综合复习 如：= ac+bc+ad+bd.项数为22

14、=4项。 对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。 练习：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2) 乘法公式 一、平方差公式：(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： 等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数； 等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方 值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式平方差公式可以作为多项式乘以多项式的

15、简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具 练习 ； (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) 二、完全平方公式： (ab)2a 22abb 2 (ab)2a 22abb 2 二项式的平方，等于其中每一项的平方，加上这两项积的两倍 完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆运用中要防止出现2a2b2，或2a22abb2等错误 需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式 练习 2 ； 2 初一整式运算复习

16、 5 初一 整式运算综合复习 整式的除法 一、学习指导 1.两个单项式相除： 两个单项式相除可分为三个步骤： 把系数相除，所得的结果作为商的系数。 把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式。 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式。 这里显然指的是被除式能被除式整除的情况，所以两个单项式相除，在现阶段仍是一个单项式。 练习：(1) (-0.5a2b3x2)(- 2.多项式除以单项式 ax2) (2) (5xm+2yn)2(-xy)2n 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 不管是多项式的乘法还是多项式的除以单项式，都是应用分配律:ab，ma

17、mbmcm，将其转化为已经熟知的单项式的乘法和单项式的除法从这里可以看出乘、除法分配律的功用这种将尚未解决的问题转化为已经解决的问题的形式的思想在数学上称为化归思想望同学们深刻体会 练习 2342xy 整式知识拓展 立方差公式 a3-b3 = (a-b)(a2+b2+ab) 立方和公式 a3+b3 = (a+b)(a2+b2-ab) 33练习 1. 已知a-b=-1 ，求a-b+3ab 的值 练习. 设M=357246357240，N=，试比较M与N的大小。 456321456312 解：令M=xx-6，则N=，且y-90，y0 y-9yxx-6x(y-9)-y(x-6)3(2y-3x) 所以M-N=- =yy-9y(y-9)y(y-9)Qx=357246，y=456321 3x2y 2y-3x0 M-N0，即MN 初一整式运算复习 6