第三章概率论与数理统计教程ppt课件.ppt

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1、大纲要求,3.1 数学期望3.2 随机变量函数的数学期望3.3 关于数学期望的定理 3.4 方差与标准差3.5 某些常用分布的数学期望及方差 3.6 原点矩与中心矩3.7 协方差与相关系数3.8 切比雪夫不等式与大数定律,学 习 内 容,3.1 数学期望,离散随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望,记作,设X是离散随机变量，其概率函数为,离散随机变量的数学期望,解:计算X1的数学期望,由定义有 E(X1),例1.甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的概率分布表分别为:X1 0 1 2 X2 0 1 2P(xk)0 0.2 0.8 p(xk)0.6 0.3

2、 0.1试评定他们的成绩好坏.,而乙的得分为,=00+1 0.2+2 0.8=1.8,(如甲进行很多次射击,其得分的平均分为1.8),E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5,显然,乙的成绩比甲的差.,连续随机变量的数学期望,二维随机变量的数学期望,离散r.v.,连续r.v.,3.2 随机变量函数的数学期望,离散r.v.的函数的数学期望连续r.v.的函数的数学期望,是X的函数，它的取值为,则有,（1）设X是离散随机变量，其概率函数为,例1 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该

3、汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求X的概率分布与。,例3 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。,解：已知，其概率密度为,设随机变量Y是游客等候电梯的时间，则,则随机变量Y的数学期望为,3.3 关于数学期望的定理,定理1 E(c)=c;其中c是常数；定理2 E(aX)=aE(X);定理3 E(X+Y)=E(X)+E(Y)；,定理4,注意：E(X-Y)=?,定理5 两个独立随机变量X，Y，则,定理6 有限个独立随机变量，则,例1 某保险公司规

4、定，如果一年内，顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿a元，若一年内事件A发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的10%，该公司应该要求顾客交多少保险费？,3.4 方差与标准差,方差、标准差的定义方差的计算公式方差的性质定理,(1)设X为随机变量,E(X)存在,称X-E(X)为离差;,显然,EX-E(X)=0,方差、标准差的定义,方差的计算公式,方差的性质定理,(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=D(X),(4)D(aX+b)=a2D(X),(5)两个独立随机变量,(6)有限个独立随机变量,注意：若 相互独立，,课 堂 练 习,3.随机变量X只取-1,0,1三

5、个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求(1)E(X),(2)D(X),(3)E(Y),(4)D(Y)。,4.X,Y独立，D(X)=6，D(Y)=3，则D(2X-Y)=（）。,3.5 某些常用分布的数学期望及方差,（1）若,则,（2）若,则,（3）若,则,（4）若,则,（5）若,则,（6）若,则,1 设随机变量XP(2),则E(X)=(),D(X)=(),E(X2)=(),2 若随机变量XB(n,p),已知E(X)=2.4，D(X)=1.44,则n=(),p=(),例题,3 若随机变量XU(a,b),已知E(X)=2.4，D(X)=3,则a=(),b=(),3.6 原点矩与中心矩,若E(

6、Xk),k=1,2,存在,则称它为X 的k阶原点矩.记作,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X 的k阶中心矩.记作,特别：k=1时，,特别：k=1时，k=2时，,3.7 协方差（相关矩）与相关系数,离散 r.v.,连续 r.v.,注：相关矩描述随机变量之间的相关性；,相关矩的性质,3.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,4.Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其中a1,a2,b1,b2是常数;,5.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,1.Cov(X，X)=DX；,2.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);

7、,6.若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0;反之不成立.,注意：若随机变量X与Y不相互独立，则（X+Y）和（X-Y）的方差与协方差的关系,相关系数,标准化随机变量 与 的协方差，称为随机变量X和Y的相关系数，记作 即 由协方差的定义，得,相关系数的性质,定理1,定理2 当且仅当随机变量Y与X之间存在线性关系 时，相关系数 的绝对值等于1，并且,定理3 设随机变量X与Y独立，则他们的相关系数 等于零，即。,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,切比雪夫不等式大数定律,切比雪夫定理辛钦大数定理伯努利定理,切比雪夫不等式,等价形式为：,设随机变量X有数学期望E(X)和方差D(X)，则对于任意正数，下列不等式成立,课 堂 练 习,大数定律：切比雪夫定理,大数定律！描述了大数量的随机试验的平均结果的稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性.,设随机变量序列 相互独立，且均存在数学期望，方差(n=1,2,.),则对任意的0，有,依概率收敛,切比雪夫定理!,设随机变量序列Xn是独立同分布的，且有相同的期望与方差：，(n=1,2,.),则对任意的0，有,算术平均值法则！,辛钦大数定理,伯努力定理,频率的稳定性！小概率事件！,设每次实验中事件A发生的概率为p，则事件A在n次试验中发生的频率，当试验次数 时，则对任意的0，有,本章小结,