函数定义域值域求法总结预习资料.docx
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1、函数定义域值域求法总结预习资料函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: 分母不为零 偶次根式的被开方数非负。 对数中的真数部分大于0。 指数、对数的底数大于0,且不等于1 y=tanx中xk+/2;y=cotx中xk等等。 ( 6 )x0中x0 二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法: 直接法 图象法 函数单调性法 配方法 换元法 反函数法 分离常数法 判别式法 复合函数法 不等式法 平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: 11
2、; f(x)=3x+2; f(x)=x+1+ x-22-x1解:x-2=0,即x=2时,分式无意义, x-21而x2时,分式有意义,这个函数的定义域是x|x2. x-223x+20,即x-时,根式3x+2无意义, 32而3x+20,即x-时,根式3x+2才有意义, 32这个函数的定义域是x|x-. 3 f(x)=当x+10且2-x0,即x-1且x2时,根式x+1和分式这个函数的定义域是x|x-1且x2 1 同时有意义, 2-xx+10另解:要使函数有意义,必须: 2-x0例2 求下列函数的定义域: f(x)=x-1 x2x2-3x-4x+1-24-x-1 f(x)=2 1 f(x)=11+11
3、+1x f(x)=(x+1)0x-xy=x-2+3+313x+7解:要使函数有意义,必须:4-x1 即: -3x3 函数f(x)=24-x2-1的定义域为: -3,3 x2-3x-40x4或x-1要使函数有意义,必须: x-3且x1x+1-20 x-3或-3x-1或x4 定义域为: x|x-3或-3x-1或x4 x01要使函数有意义,必须: 1+0 x1+1011+x1 函数的定义域为:x|xR且x0,-1,- 2x0x-1 x-12x+10x-1要使函数有意义,必须: x-x0x0 定义域为:x|x-1或-1x0 x-2+30xR7 要使函数有意义,必须: x-3x+703777即 x- 定
4、义域为:x|x- 333例3 若函数y=ax2-ax+21的定义域是R,求实数a 的取值范围 a解:定义域是R,ax-ax+10恒成立, aa01等价于00时,值域为y|y;当a0,y=x+121)+22, =(x-xxy=-(-x+当x0时,则当x=-时,其最小值ymin=2a4a2b(4ac-b). 当a0时,则当x=-时,其最大值ymax=2a4a若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. 若x0a,b,则f(x0)是函数的最小值时或最大值时, 再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大值. 若x0a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内,只需比较f(a),
5、f(b)的大小即可决定函数的最大值. 注:若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大值; 当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y=3+(23x)的值域 解:由算术平方根的性质,知(23x)0, 故3+(23x)3。 函数的值域为 3,+) . 2、求函数y=x-2x+5,x0,5 的值域 2解: Q对称轴 x=10,5 x=1时,ymin=4x=5时,ymax=20 值域为4,20例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 解:法一:设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+
6、g(x)= 4x1-3x 5 在定义域为x1/3上也为增函数,而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为y|y4/3。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+4-x 的值域。(答案:y|y3) 法二:换元法(下题讲) 例4 求函数y=x+21-x 的值域 解:设1-x=t,则y=-t2+2t+1(t0) Q对称轴t=10,+),且开口向下 当t=1时,ymax=2值域为(-,2 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最
7、值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=x-1 x的值域。求函数y=x-3+5-x 的值域 解:函数定义域为:x3,5 y2=(x-3)+(5-x)+2-x2+8x-15由x3,5,得-x2+8x-150,1y2,42原函数值域为2,2-1x1 设x=cosqq0,p 例6 求函数y=x+1-x2的值域 解: Qy=cosq+sinq=cosq+sinq=2sin(q+)-1,24 原函数的值域为-1,2p小结:若题目中含有a1,则可设 a=sinq,-p2q2p2(或设a=cosq,0qp) 2若题目中含有a+b=1则a=cos
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