典型例题用放缩法证明不等式.docx

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1、典型例题用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证1ab4。 3证明：由题设得a2abb2ab，于是2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab12，而2ababab12，即32ab，所以444ab4，故有1ab

2、4。 33例2. 已知a、b、c不全为零，求证： a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a23 23b2=a+ba+b，同理证明：因为a2+ab+b2=+4222222b2+bc+c2b+c，c2+ac+a2c+a。 22所以a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a23 2二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1abc2。 b+ca+ca+bbac证明：由于a、b、c为正数，所以a，b，c，所以b+ca+b+ca

3、+ca+b+ca+ba+b+c 1 / 4 abcaabc又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则1，b+ca+cabcabcabca+bb+c为真分数，则ab+c2a，同理b2b，c2c， a+b+ca+ca+b+ca+ba+b+c故babc+ca+ca+b2a2b2c=2. a+b+ca+b+ca+b+c综合得1abc2。 b+ca+ca+b三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*，求1+121312+13+1n2n。 证明：因为，则1+1n+ +1+2+2+2=2n-12n，证毕。 n(n+1)(n+1)2例5. 已知

4、nN且an=12+23+L+n(n+1)，求证：对所有正整数nann2=n，所以an1+2+L+n=又n(n+1)n(n+1)， 2n(n+1)， 2n(n+1)351+22+32n+1(n+1)2所以an。 2+1n+1证明：由题意知 2 / 4 n2-1n21122n-(2n+1)*又因为且nNf(n)-=n-=(1-n)-(1-)=-n=nn+12+1n+1n+1n+12+1(n+1)(2+1)，2+1nn3，所以只须证2n2n+1，又因为 2=(1+1)=nn0Cn1+Cn2+Cn+Ln-1+Cnn+Cnnn(n-1)所以。 f(n)=1+n+L+n+12n+12n+1例7. 已知f(

5、x)=1+x2，求证：当ab时f-fa-b。 证明：f-f=1+a2-1+b2=a+ba-ba+b(a+b)a-ba+ba2-b21+a2+1+b2=a+ba-b1+a2+1+b2bc，求证111+0。 a-bb-cc-a证明：因为abc，所以可设a=c+t，b=c+u(tu0)，所以t-u0则11111111t-u111+=+-=0，即+0。 a-bb-cc-at-uututtua-bb-cc-a例9. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有a2+b2=c2，当nN*且n3时，求证：an+bncn。 证明：由于a2+b2=c2，可设a=csina，b=ccosa，因为0sina1，0cosa1

6、，则当n3时，sinnasin2a，cosnacos2a， 所以an+bn=cn(sinna+cosna)cn(sin2a+cos2a)=cn。 六. 单调函数放缩 根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。 例10. 已知a，bR，求证a+b1+a+ba1+a+b1+b。 证明：构造函数f(x)=f(x1)-f(x2)=x(x0)，首先判断其单调性，设0x1x2，因为1+xx1x2x1-x2-=0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在0,+上是增函数，取1+x11+x2(1+x1)(1+x2) 3 / 4 x1=a+b，x2=a+b，显然满足0x1x2， 所以f(a+b)f(|a|+|b|)， 即 |a+b|a|+|b|a|b|a|b|。证毕。 =+1+|a+b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|1+|b| 4 / 4